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必修四、必修五数学模块综合复习测试试题


必修④、必修⑤综合测试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知向量 a 学号_____________ A.-1
? ( 3 ,1) , b ? ( 2 k ? 1, k )

,a
3 5

? b

,则 k 的值是( D.
3 5



B.

3 7

C.-

2. 在下列函数中,图象的一部分如图所示的是( A. y
? ? ? ? 2 sin ? 4 x ? ? 6 ? ?
? ?



B. y

? ? ? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? 3 ? ?
? ?

C. y ? 2 cos ? 2 x ?

? ?
? 6 ?
?

D. y ? ? 2 cos ? 2 x ?
2

? ?
? 3 ?

3. △ABC 中, B A.锐角三角形

? 60

,b

? a c ,则△ABC

一定是(

) D.等边三角形

B.钝角三角形
y ?1? x ? 4 x

C.等腰三角形 ) D.6

· · · · · · · · ·密·封·线·外·不·许·答·题·

4.若 x>0,则函数 A.3 5.将 y A.
? sin 4 x

的最小值为( C.5
?
12

姓名

B.3

3

4

的图象向左平移 B.
?

个单位,得到 y C.
?
12

? sin( 4 x ? ? ) 的图象,则 ?

等于(



?

?
12 2 5

?
3

D.
?
4 ) 的值为(

?
3

6.已知 tan( ?
1

? ?) ?

, tan( ?
22

?

?
4

) ?

1 4

, 则 tan( ?
3

?


13

班级

A. 6 B. 1 3 C. 2 2 D. 1 8 ???? ???? ???? ? ? ??? ???? ? ???? ? 7.已知 ? A B C 和点 M 满足 M A ? M B ? M C ? 0 ,若存在实数 m 使得 A B ? A C ? m A M 成立, 则m ? ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 等比数列{an}的前 3 项的和等于首项的 3 倍,则该等比数列的公比为( ) A.-2 B.1 C.-2 或 1 D.2 或-1 9.等差数列 { a n } 的首项 a 1 ? ? 5 ,它的前 11 项的平均值为 5,若从中抽去一项,余下的 10

学校

项的平均值为 4.6,则抽去的是( A. a 6 B. a 8

) C. a 9 D. a 1 0

10.不等式 y ? 3 x ? b 所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内,而点(4,4)在此区域 内,则 b 的范围是( ) A .
?8 ? b

<-5

B.

b ? ?8 或

b>-5

C.

?8 ? b ? ?5

D.

b ? ?8 或b ? ?5

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. )
?x ? 2 ? 11.满足约束条件 ? y ? 2 ?x ? y ? 6 ?

,则 z

? 2x ? 4 y

的最大值为

.

························· -121- ······················· ························· ·······················

12.已知 a 、 b 、 c 分别是 ? ABC 角
? ?

A、 B、 C

所对的边,向量 m

?

? ( 3 , ? 1)



?

n ? (cos A , sin A )

.若

且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则角 B ? . 13. 一个有 11 项的等差数列,奇数项之和为 30,则它的中间项为
m ? n,

. .

14.数列

1?

1 2

,2 ?

1 4

,3 ?

1 8

,? , n ?

1 2
n

,?

的前 n 项和是

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.) 15.(本题满分 12 分) 已知向量 m
? (cos ? ?
? cos ?

2 3

, ? 1 ) , n ? (sin ? ,1 ) , m

与 n 为共线向量,且 ?

? [?

?
2

,0 ]

(1)求 sin ? (2)求

的值; 的值.

sin 2 ? sin ? ? cos ?

16. (本题满分 l2 分) 已知函数 (1)求 (2)求
f ( x ) ? A sin (3 x ? ? )( A ? 0, x ? ( ? ? , ? ? ), 0 ? ? ? ? ) 在 x ?

?
12

时取得最大值 4。

f ( x ) 的最小正周期;
f ( x ) 的解析式; (3)若 f (

2 3

? ?

?
12

)?

12 5

,求 s in ? 。

························· -122- ······················· ························· ·······················

17.(本题满分 12 分) 已知等差数列 ? a n ? 满足: a 3 (1)求 a n 及 S n ; (2)令 bn=
1 an ? 1
2

? 7

, a5

? a7 ? 26

, ? a n ? 的前 n 项和为 S n .

( n ? N * ),求数列 ? b n ? 的前 n 项和 T n .

18. (本题满分 14 分) 某农场预算用 5600 元购买单价为 50 元(每吨)的钾肥和 20 元(每吨)的氮肥,希望使两种肥料 的总数量(吨)尽可能的多,但氮肥吨数不少于钾肥吨数,且不多于钾肥吨数的 1.5 倍. (1)设买钾肥 x 吨,买氮肥 y 吨,按题意列出约束条件、画出可行域,并求钾肥、氮肥各买多少 才行? (2)设点 P ( x , y ) 在(1)中的可行域内,求 t (3)已知 A (10 , 0 ) ,O 是原点,
P ( x, y)

?

y ? 20 x ? 10

的取值范围;
? OA ? OP OP

在(1)中的可行域内,求 s

的取值范围.

························· -123- ······················· ························· ·······················

19.(本题满分 14 分) 2 围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) ,其 它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,如图所示,已 知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:m), 修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位:元) (1)将 y 表示为 x 的函数: (2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。

· · · · · · · · ·密·封·线·外·不·许·答·题·

20. (本题满分 16 分) 已知函数
f (x) ? 1 2
y ? f ( x ) 的图像上.

x

2? 3 x 2

,数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,点( n , S n ) n ? ? )均在函数 (

?

(1)求数列 ? a n ? 的通项公式 a n ; (2)令 b n (3)令 c n
? 2 ? an n ?1 an an ?1

,求数列{ b n }的前 n 项和 T n ;
? an ?1 an

,证明: 2 n < c 1 ?

c 2 ? ? ? ? ? c n<2n ?

1 2

.

························· -124- ······················· ························· ·······················

必修④、必修⑤综合测试题
参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 题号 答案 5. [解析] 1 B 2 B 3 D
?
12

4 C

5 D

6 C
? sin 4 ( x ?

7 B
?
12

8 C
?
3 )

9 B

10 A
?
3

y ? sin 4 x

的图象向左平移

个单位得 y
2

) ? sin( 4 x ?

, 等于 ?

, 故选 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11、20 12、
?
6

13、5

14、 n

? n 2

?

1

2

n

?1

11.[解析]解:画可行域如图,z 为目标函数 z=2x+4y,可看成是直线 z=2x+4y 的纵截距四倍,画直 线 0=2x+4y,平移直线过 A(2,4)点时 z 有最大值 20.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.) 15. (本题满分 12 分) 解:(1)
? m

与 n 为共线向量,
2 3

? (cos ? ?

2 3

) ? 1 ? ( ? 1 ) ? sin ? ? 0

,

即 sin ? (2)

? cos ? ?

………………………………4 分
2

? 1 ? sin 2 ? ? (sin ? ? cos ? )
2

?

2 9

,? sin 2 ?

? ?

7 9

……………………6 分

? (sin ? ? cos ? ) ? (sin ? ? cos ? )
? (sin ? ? cos ? )
2

2

? 2



? 2?(

2 3

)

2

?

16 9

………………………………8 分 , sin ?
? cos ? ? ? 4 3

又? ?

? [?

?
2

, 0 ] ,? sin ? ? cos ? ? 0 sin 2 ? ? 7 12

…………………10 分

因此,

sin ? ? cos ? 2? 3

………………………………12 分

16.(本题满分 12 分) 解:(1) T (2)由
?

………………………………3 分 4 知, A
? 4

f ( x ) 的最大值为

,………………………………4 分

························· -125- ······················· ························· ·······················

f ( x ) max ? f (

?
12

) ? 4 sin( 3 ?

?
12 5? 4

??) ? 4 ,?

,即 sin(
?
2

?
4

? ? ) ? 1 ………………………………6



又0 ∴ (3)
f(

? ? ? ? ,?

?
4

?

?
4

?? ?

?
4

?? ?

,? ? ?

?
4

. ………………………………7



f ( x ) ? 4 sin( 3 x ?
2 3

?
4

)
2 3

………………………………9 分
? ?
3 5

? ?
?
2

?
12

) ? 4 sin[ 3 ( 3 5

?
12

)?

?
4

]?

12 5
2

, 即 sin sin[ 3 ( 3 5

2 3

? ?
1 5

?
12

)?

?
4

]?

3 5

,……………10 分
.……………12 分

s in ( 2 ? ?

)?

, c o s 2? ?

,1 ? 2 s in ? ?

, s in ? ?
2

, s in ? ? ?

5 5

17.(本小题满分 12 分) 解: (1)设等差数列 ? a n ? 的公差为 d,因为 a 3
? a1 ? 2 d ? 7 ? ? 2 a1 ? 1 0 d ? 2 6
? 7

, a5

? a7 ? 26

,所以有

,解得 a 1

? 3, d ? 2



……… 3 分
n (n -1 ) 2

所以 a n

? 3 ? ( n ? 1)= 2 n + 1 ; S n 2

=3n+

?2

= n 2 +2n 。

……… 6 分

(2)由(Ⅰ)知 a n

? 2 n + 1 ,所以
1
2

bn=
1 4 1 2 1 2

an ? 1 (2n+1) ? 1
2

=

1

=

1

?

1

=

1 4

?(

1 n

-

1 n+1

) ,………

9分

4 n (n + 1 )
1 4 ? (1 1 n+1

所以 T n =

? (1 -

+

?

1 3

+? +

1 n

-

1 n+1

)=

)=

n 4 (n + 1 )



……… 12 分
3 2

即数列 ? b n ? 的前 n 项和 T n = 18.(本题满分 14 分) 解: (1)设肥料总数为 z , 由题意得约束条件
?x ? y ? y ? 1 .5 x ? ? ? 50 x ? 20 y ? 5600 ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?

n 4 (n + 1 )



y ?

x

z ? x? y



……1 分

y ? x

?x ? y ? 3 ?y ? x 2 ? ? ,即 ? 5 x ? 2 y ? 560 ?x ? 0 ? ?y ? 0 ? ?
? ?x ? z



……3 分

y ? ?x ? z

画出可行域(如图) 目标函数: z ? x ? y ,即 y 上截距为 z 的平行直线系. 当直线过点 N 时, z 最大.

……4 分 ,表示斜率为 ? 1 , y 轴

5 x ? 2 y ? 560

························· -126- ······················· ························· ·······················

3 ? x ?y ? 联立方程 ? 2 ? 5 x ? 2 y ? 560 ?

,解得 N ( 70 ,105 .

)

……5 分 ……6 分 ……7 分

此时 z max (2) t
?

? x ? y ? 70 ? 105 ? 175
y ? 20 x ? 10

? 购买钾肥

70 吨,氮肥 105 吨时,两种肥料的总数量最大为 175 吨.……(没有结论倒扣 1 分) 表示(1)中可行域内动点 P ( x , y ) 与定点 B (10 , ? 20 ) 连线的斜率. ,解得 M
( 80 ,80 )
? 10 7

联立方程 ?
k BO ?

?y ? x ? 5 x ? 2 y ? 560

? 20 ? 0 10 ? 0

? ? 2 , k NO ?

80 ? ( ? 20 ) 80 ? 10



……9 分(两个斜率各 1 分)
? t ? ?? ? ,? 2 ? ? ? 10 ? , ?? ? ? 7 ? ?

……10 分

(3) s

?

OA ? OP OP

OA ? OP ? cos ? ? OP ? OA ? cos ?

, OA

? 10

, ? 为 OA , OP 的夹角 ……11 分

? s ? 10 cos ?

. 有图可知:
2 2

当点 P 在线段 OM 时, cos ? 最大为 当点 P 在线段 ON 时, cos ? 最小为
? 20 13 ? s? ? ,5 ? 13 ? 2? ?

,此时 s 最大值为 5 ,此时 s 最小值为

2
20


13

……12 分 . ……13 分 ……14 分

2 13 13

13

另解: s

?

OA ? OP OP

? x

10 x
2

?
2

10 ? y? 1? ? ? ? x?
2

? y

, k OP

?

? 3? ? 1, ? 2? x ? ? y

,代入可得 s ?

? 20 13 ,5 ? ? 13

? 2? ?

19.(本小题满分 14 分) 解: (1)设矩形的另一边长为 a m………………………………………… 1 分 则 y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360……………………………………… 4 分 由已知 xa=360,得 a= 所以 y=225x+ (II)?
360 x x ? 0 ,? 225 x ? 360 x
2 2

360 x

,……………………………………………… 5 分 ……………………………………………… 7 分
225 ? 360
2

? 360 ( x ? 0 ) 360 x
2

? 2

? 10800

………………………… 9 分

? y ? 225 x ?

? 360 ? 10440

.……………………………………………… 11 分

当且仅当 225x=

360 x

2

,即 x=24 时等号成立. ………………………………………… 13 分

即当 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元. ws……………… 14 分 20.(本小题满分 16 分)
························· -127- ······················· ························· ·······················

……………………2分 ……………………4分 ……………………5分

……………………6分

……………………7分

……………………8分

……………………11分

……………………12分 ……………………13分

……………………16分

························· -128- ······················· ························· ·······················


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