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1.3 弧度制 导学案(北师大版必修4)


1.3 弧 度 制 1.了解弧度制的概念及其意义,会将角度制与弧度制互相转化. 2.了解弧度制下的弧长公式和扇形公式并能应用公式解决有关问题. 3.理解角的集合与实数集 R 之间的一一对应关系. 自行车大链轮有 48 个齿,小链轮有 20 个齿,当大链轮转过一周时,小链轮转过的角度是 多少度?多少弧度? 问题 1:弧度制的定义 以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制,把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作 1 弧度的角,记作 1 rad. 问题 2:角度与弧度之间的转换 ①将角度化为弧度:360°= ②将弧度化为角度:2π= ,180°= ,π= ,1°= ,1 rad=( ≈0.01745 rad,n°= )°≈57.30°=57°18',n rad=( rad. )°. 问题 3:弧度制下终边相同的角的表示 (1)与任意角 α 终边相同的角组成的集合为 数. ,其中 α 为角的弧度 (2) 用弧度制表示角省掉单位 “ 弧度 ” 后 , 就使角的集合与实数集 R 之间建立了一种 的关系,即每一个角都有 的一个角与之对应. (3)在表示与角 α 终边相同的角时,要注意统一单位,应避免出现 30°+2kπ 或 +k· 360°,即 同一表达式中度量单位要 的一个实数与它对应;反过来,每一个实数也都有 . 问题 4:弧长公式及扇形的面积公式 (1)弧长公式: ①弧度制: ②角度制: (2)扇形的面积公式: ; . ①弧度制: ②角度制: ; . 上述公式中,由 α、r、l、S 中的两个量可以求出另外两个量,即知二得二;使用弧度制下 的弧长公式有很多优越性(如公式简单,便于记忆、应用),但是如果已知的角是以“度”为单位 时,则必须先把它化成弧度后再用公式计算. 1.225°角的弧度数为( A. B. ). C. D. ). 2.若一扇形的圆心角为 72°,半径为 20 cm,则扇形的面积为( A.40π cm2 B.80π cm2 C.40 cm2 D.80 cm2 3.半径为 2 的圆中,弧长为 4 的弧所对的圆心角是 4.两角差为 1°,两角和为 1 rad,求这两角的弧度数. . 角度与弧度的互化 (1)把 22°30'化成弧度; (2)把 化成角度. 用弧度表示终边相同的角 (1)将-1485°表示成 2kπ+α(k∈Z)的形式,且 0≤α<2π; (2)若 β∈[0,4π],且 β 与(1)中 α 的终边相同,求 β. 与弧度制有关的综合题 已知一扇形的中心角是 α,所在圆的半径是 R. (1)若 α=60°,R=10 cm,求扇形的弧所在的弓形面积; (2)若扇形的周长是一定值 c(c>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积? 设角 α1=-570°,α2=750°,β1= ,β2=- . (1)将 α1、α2 用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的象限; (2)将 β1、β2 用角度制表示出来,并在-720°~0°之间找出与它们有相同终边的所有角. 单位圆上一点 A(1,0)依逆时针方向做匀速圆周运动,已知点 A 每分钟转过 θ 角(0<θ≤π), 经过 2 分钟到达第三象限,经过 14 分钟回到原来的位置,那么 θ 是多少弧度? (1)已知扇形的圆心角是 α=120°,弦长 AB=12 cm,求弧长 l. (2)已知扇形的圆心角为 90°,弧长为 l,求此扇形内切圆的面积. 1.圆的半径是 6 cm,则圆心角为 15°的扇形面积是( A. cm2 B. cm2

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