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2015年高考数学一轮复习热点难点精讲精析:8.4椭 圆_图文

张喜林制 [选取日期] 2015 年高考一轮复习热点难点精讲精析:8.4 椭 圆 (一)椭圆的定义以及标准方程 ※相关链接※ 1.椭圆定义的应用 利用椭圆的定义解题时,一方面要注意常数 2a>|F1F2|这一条件;另一方面要注意由椭圆上任意一点 与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系. 2.椭圆的标准方程 (1)当已知椭圆的焦点在 x 轴上时,其标准方程为 x2 y 2 + =1 (a>b>0);当已知椭圆的焦点在 y 轴 a2 b2 上时,其标准方程为 y2 y2 + =1(a>b>0); a 2 b2 x2 y 2 (2)当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时,其标准方程可设为 + =1(m>0,n>0,m≠n),这 m n 样可避免讨论和复杂的计算;也可设为 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)这种形式,在解题时更简便. 求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法,有时还可根据条件用代入法。用待定系数法求椭圆方程 的一般步骤是: (1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上,还是在 y 轴上,还是两个坐标轴都有可能。 x2 y 2 x2 y 2 (2)设方程:根据上述判断设方程 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)或 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 。 a b b a (3)找关系:根据已知条件,建立关于 a、b、c或m、n 的方程组。 (4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求。 注:当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时,可设 2 2 x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) ,可 m n 以避免讨论和繁杂的计算,也可以设为 Ax ? By ? 1( A ? 0, B ? 0且A ? B ) ,这种形式在解题时更简便。 ※例题解析※ 〖例 1 〗已知 F1 、 F2 为椭圆 x2 y 2 + =1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A 、 B 两点,若 25 9 1/8 |F2A|+|F2B|=12,则|AB|=____; 方法诠释: 注意|AF1|+|AF2|=10, |BF1|+|BF2|=10,且|AF1|+|F1B|=|AB|, 再结合题设即可得出结论; 解析:由椭圆的定义及椭圆的标准方程得: |AF1|+|AF2|=10,|BF1|+|BF2|=10, 又已知|F2A|+|F2B|=12, 所以|AB|=|AF1|+|BF1|=8. 答案:8 〖例 2〗已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且 P 到两焦点的距离分别为 5、3,过 P 且长轴垂直 的直线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程。 方法诠释:设椭圆方程为 程。 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) 或 ? ? 1(a ? b ? 0) →根据题意求 a、b →得方 a 2 b2 b2 a 2 x2 y 2 x2 y 2 解析:设所求的椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)或 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b b a 由已知条件得 ? ? 2a ? 5 ? 3 ?(2c) ? 5 ? 3 2 2 2 , a ? 4, c ? 2, b 2 ? 12 故所求方程为 x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1或 ? ? 1 16 12 16 12 方法指导:1.在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时,经常联想到椭圆的定义,即利用椭圆上的点到 两焦点距离之和等于 2a 求解; 2.在求椭圆方程时,若已知椭圆上的点到两焦点的距离,可先求出椭圆长轴长,再想法求短轴长,从 而得出方程;若已知点的坐标,可先设出椭圆的标准方程,再利用待定系数法求解; ⒊当椭圆的焦点不确定时,应考虑焦点在 x 轴、在 y 轴两种情形,无论哪种情形,始终有 a>b>0. (二)椭圆的几何性质 ※相关链接※ 1.椭圆几何性质中的不等关系 椭圆的几何性质涉及一些不等关系,例如对椭圆 x2 y 2 ? ? 1 ,有 ?a ? x ? a, ?b ? y ? b, 0 ? e ? 1 等, a 2 b2 2/8 在求与椭圆有关的一些量的范围,或者求这些量的最大值时,经常用到这些不等关系。 2.利用椭圆几何性质应注意的问题 求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆 的基本量时,要理清它们之间的内在联系. 3.求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率时,一般是依据题设得出一个关于 a、b、c 的等式(或不等式) ,利用 a2=b2+c2 消去 b,即可求得离心率或离心率的范围.或者是: 应先将 e 用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于 e 的等式或不等式,从而求出 e 的值或范围。离心率 e 与 a、b 的关系: e2 ? c2 a 2 ? b2 b2 b ? ? 1 ? ? ? 1 ? e2 . 2 2 2 a a a a 注:椭圆离心率的范围:0<e<1. ※例题解析※ x2 y 2 〖例〗已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴、短轴端点分别为 A、B,从椭圆上一点 M(在 x 轴上方) a b 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1 ,向量 AB 与 OM 是共线向量。 (1) 求椭圆的离心率 e ; (2) 设 Q 是椭圆上任意一点, F1 、 F2 分别是左、右焦点,求∠ F1 Q F2 的取值范围。 思路解析:由 AB 与 OM 是共线向量可知 AB∥OM,从而可得关于 a、b、c 的等量关系,从而求得离 心率 e ;若求∠ F1 Q F2 的取值范围,即需求 cos∠ F1 Q F2 的范围,用余弦定理即可。 解答: (1)设 F1 (-c,0),则 xM ? ?c, yM ? b2 b2 ,? kOM ? ? . a ac b k AB ? ? , OM 与 AB是共线向量, a 2 b

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