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云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试 理科数学


玉溪一中高 2013 届高三上学期期中考试 数学(理科)
一、选择题:第小题 5 分,共 60 分。 1.复数 z1=3+i,z2=1-i,则复数 A.2 【答案】A
z1 = 3?i 1? i ? (3 ? i )(1 ? i ) (1 ? i )(1 ? i ) ? 2 ? 4i 2 ? 1 ? 2i
z1 z2

的虚部为 D.2i





B.-2i

C.-2

【解析】

z2

,所以虚部为 2,选 A. ) D. ?

2. 设全集 U A. ? 5 ? 【答案】B 【解析】 C U A

?

?1, 2 , 3, 4 , 5? ,集合 A ? ? 2 , 3, 4 ? , B ? ? 2, 5? ,则 B ? ( C U A ) =(

B. ?1 , 2 , 5?

C. ?1 , 2 , 3 , 4 , 5?

? {1, 5}

,所以 B ? ( C U A ) ={1, 5} ? {2, 5}={1, 2, 5} ,选 B.
?
2 ) ? c o s(

3、函数 y ?

3 2

sin ( x ?

?
6

? x ) 的最大值为

(

)

A.

13 4

B.

13 4

C.

13 2

D. 13

【答案】C 【解析】
y ? 3 2 s in ( x ?

?
2

) ? cos(

?
6

? x) ?

3 2

cos x ?

3 2

cos x ?

1 2

s in x

=

3 cos x ?

1 2

s in x ,所以函数的最大值为

1 2 2 ( 3) ? ( ) ? 2

3?

1 4

?

13 4

?

13 2

,选 C.

4、椭圆的中心在原点,焦距为 4 ,一条准线为 x ? ? 4 ,则该椭圆的方程为( ) A.
x
2

?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

16

12

12

8

8

4

12

4

【答案】C 【解析】因为椭圆的焦距是 4,所以 2 c ? 4 , c ? 2 又准线为 x ? ? 4 ,所以焦点在 x 轴且

?

a

2
2 2 2 2 ? ? 4 ,解得 a ? 8 ,所以 b ? a ? c ? 8 ? 4 ? 4 ,所以椭圆的方程为

x

2

?

y

2

? 1 ,选

c

8

4

C. 5、已知曲线 y ?
x
2

? 3 ln x 的一条切线的斜率为

1 2

,则切点的横坐标为( )
1 2

4

A. 3 【答案】A

B. 2

C. 1

D.

【 解 析 】 函 数 的 定 义 域 为 ( 0 ,? ? ), 函 数 的 导 数 为
y'?

x 2

?

3 ,由 x

y'?

x 2

?

3 x

?

1 ,得 2

2 ,选 A. x ? x ? 6 ? 0 ,解得 x ? 3 或 x ? ? 1 (舍去)

6、已知某程序框图如图所示,则输出的 i 的值为(



A.7 【答案】C

B.8

C.9

D.10

【解析】解:第一次循环, S =1 ? 3, i ? 5 ;第二次循环, S =1 ? 3 ? 5, i ? 7 ;第三次循环,
S =1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 1 0 0, i ? 9 ,此时退出循环,输出 i ? 9 ,故选 C.

7、某教师一天上 3 个班级的课,每班一节,如果一天共 9 节课,上午 5 节、下午 4 节,并且 教师不能连上 3 节课(第 5 和第 6 节不算连上) ,那么这位教师一天的课的所有排法有( )

A.474 种 【答案】A

B.77 种

C.462 种

D.79 种

【解析】首先求得不受限制时,从 9 节课中任意安排 3 节,有 A9 ? 5 0 4 种排法,其中上午连
3

排 3 节的有 3 A3 ? 1 8 种,下午连排 3 节的有 2 A3 ? 1 2 种,则这位教师一天的课表的所有排法
3 3

有 504-18-12=474 种,故选 A. 8、一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为 1 的两个全等的

等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为( A. 1 2 ? 【答案】C B. 4 3? C. 3?



D. 1 2 3?

【解析】由主视图和左视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形,得到这是一个四棱锥, 底面是一个边长是 1 的正方形,一条侧棱 AE 与底面垂直,∴根据求与四棱锥的对称性知,外 接球的直径是 AC 根据直角三角形的勾股定理知 A C ?
1?1?1 ? 3 ,半径为
3 2

,所以外接

球的面积为 4 ? (

3 2

2 ) ? 3 ? ,选 C.

9.设 l , m , n 表示不同的直线, ? , ? , ? 表示不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ∥ l ,且 m ? ? . 则 l ? ? ; ②若 m ∥ l ,且 m ∥ ? .则 l ∥ ? ;

③若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m , ? ? ? ? n ,则 l ∥m∥n; ④若 ? ? ? ? m , ? ? ? ? l , ? ? ? ? n , 且 n∥ ? ,则 l ∥m. 其中正确命题的个数是( A.1 【答案】B 【解析】①正确;②中当直线 l ? ? 时,不成立;③中,还有可能相交一点,不成立;④正确, B.2 ) C.3 D.4

所以正确的有 2 个,选 B. 10.已知向量 a ? ( x ? 1, 2 ), b ? ( 4, y ) ,若 a ? b ,则 9 x ? 3 y 的最小值为( A. 2 3 【答案】C
? ? ? ? ? 【 解 析 】 因 为 a ? b , 所 以 a ?b ? 0 , 即 4 (x ? 1?) y 2

?

?

?

?



B.12

C.6

D. 3 2

0 , 所 以 2x ? y ? 2 。 则

9 ? 3 ? 3
x y 2

x

? 3 ? 2
y

2

3 ?
x

3 ?
y

2

2 ?

3

x

y

?

2

2

,当且仅当 3 2 x ? 3 y , 2 x ? y ? 1 取等号,所 3? 6

以最小值为 6,选 C. 11.已知对数函数 f ( x ) ? lo g a x 是增函数,则函数 f (| x | ? 1) 的图象大致是( )

A 【答案】B

B

C

D

【 解 析 】 因 为 函 数 为 增 函 数 , 所 以 a ? 1 , 又 函 数 f ( | x |? 1 )为 偶 函 数 。 当 x ? 0 时 ,
f ( | x |? 1 )? f (x ? 1 ) ? l ao g x (?
2

1) ,当 x ? 0 时, f (| x | ? 1) ? f ( ? x ? 1) ? lo g a ( ? x ? 1) ,选 B.

12.已知抛物线方程为 y ? 4 x ,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d 1 ,P 到直线 l 的距离为 d 2 ,则 d 2 ? d 2 的最小值 (
5 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2

)

A.

?2

B.

?1

C.

?2

D.

?1

【答案】D 【解析】因为抛物线的方程为 y ? 4 x ,所以焦点坐标 F (1, 0 ) ,准线方程为 x ? ? 1 。因为点 P
2

到 y 轴 的 距 离 为 d 1 , 所 以 到 准 线 的 距 离 为 d1 ? 1 , 又 d1 ? 1 ? P F, 所 以
d1 ? d 2 ? d1 1 ? ? d 2 1? ?P F ? 2d1 ? ,焦点到直线的距离 d ?
1? 0? 4 2
5 2 2 5 2 2

?

5 2

?

5 2

2

,而

PF ? d2 ? d ?

,所以 d 1 ? d 2 ? P F ? d 2 ? 1 ?

? 1 ,选 D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13. ( x ?
3

1 x

) 展开式中常数项为

4

【答案】 ? 4 【解析】展开式的通项为 T k ? 1 ? C 4 ( x )
k 3 4?k

(?

1 x

) ? ( ? 1) C 4 x
k k k

12 ? 4 k

,由 12 ?4 k ?0 ,得 k ? 3 ,

所以常数项为 T 4 ? ( ? 1) C 4 ? ? 4 。
3 3

14.已知函数 f ( x ) ? 3 x ? 2 x ? 1 ,若 ?
2

1 ?1

f ( x )d x ? 2 f ( a ) ,则 a ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

【答案】 a ? ? 1 或 a ? ? 【解析】因为

1 3

?

1 ?1

f ( x )d x ?

?
2

1 ?1

(3 x ? 2 x ? 1)d x ? ( x ? x ? x )
2 3 2

1 ?1

? 4

,所以 2 f ( a ) ? 4 ,即
1 3

f ( a ) ? 2 ,所以

f (a ) ? 3a ? 2 a ? 1 ? 2

,即

3a ? 2 a ? 1 ? 0
2

,解得 a ? ? 1 或 a ? ?



?x ? y ? 2 ? 0 ? 15.若变量 x、y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,若 2 x ? y 的最大值为 ? 1 ,则 a ? ?y ? a ?

【答案】 ? 1 【解析】令 2 x ? y ? z ,则 y = 2 x ? z ,因为 2 x ? y 的最大值为 ? 1 ,所以 2 x ? y ? ? 1 ,由图 象可知当直线经过点 C 时,直线的截距最小,此时 z 有最大值,由 ?
?2 x ? y ? ?1 ?x ? y ? 2 ? 0

,解得

? x ? ?1 ,即 a = ? 1 。 ? ? y ? ?1

16. 已知等差数列 ? a n ? 的公差为 2 , 项数是偶数, 所有奇数项之和为 1 5 , 所有偶数项之和为 3 5 , 则这个数列的项数为______________ ; 【答案】 2 0 【解析】因为项数是偶数,所以由题意知 a1 ? a 3 ? ? ? a n ? 1 ? 1 5 , a 2 ? a 4 ? ? ? a n ? 3 5 ,两

式 相 减 得 ( a 2 ? a 1 )? a( ? a 4
n ? 40 d ? 40 2 ? 20 。

? ) ? an ? an? ? ( 3

?1 ) ? 3 ? 5

n 1 , 即2 0 d ? 2 0 , 所 以 5 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分. 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? (Ⅰ)当 x ? [ ?
?
5?
3 2 1 2

s in 2 x ? c o s x ?
2

,(x ? R)

,

] 时,求函数 f ( x ) 的最小值和最大值;

12 12

(Ⅱ)设 ? A B C 的内角 A , B , C 的对应边分别为 a , b , c ,且 c ?
?? ?

3 , f (C ) ? 0 ,

若向量 m ? (1, sin A ) 与向量 n ? ( 2 , sin B ) 共线,求 a , b 的值。

18. (本小题满分 12 分) 某校从 6 名学生会干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中选 3 人参加市中学生运动会志愿 者。 (Ⅰ)所选 3 人中女生人数为ξ ,求ξ 的分布列及数学期望。 (Ⅱ)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率

19. (本小题满分 12 分) 在直三棱柱 A B C ? A1 B1 C 1 中, A B ? B C ? 2 , A A1 ? 2 2 ∠ACB=90°,M是 A A1 的中点,N是 B C 1 的中点 (Ⅰ)求证:MN∥平面 A1 B1 C 1 ; (Ⅱ)求点 C 1 到平面 BMC 的距离; (Ⅲ)求二面角 B ? C 1 M ? A1 的平面角的余弦值大小。

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆
???? ?

x

2

?
???? ?

y

2

? 1 上任一点

P,由点 P 向 x 轴作垂线段 PQ,垂足

4

9

为 Q,点 M 在 PQ 上,且 P M ? 2 M Q ,点 M 的轨迹为 C. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过点 D(0,-2)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,设 N 是过点 ( 0 , ?
???? ??? ? ??? ?

4 17

)

且平行于

x 轴的直线上一动点,满足 O N ? O A ? O B (O 为原点) ,问是否存在这样的直线 l, 使

得四边形 OANB 为矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在说明理由

21. (本小题满分 13 分)设函数 f ( x ) ? x 3 ? a x 2 ? a 2 x ? m ( a ? 0 ) (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区 间; (Ⅱ)若函数 f(x)在 x∈[-1,1]内没有极值点,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对任意的 a∈[3,6],不等式 f ( x ) ? 1 在 x∈[-2,2]上恒成立,求 m 的取值范围.

请考生在第 22、23 两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分 22. (本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为
? x ? 3c o s ? ? (?为参数) ? ? y ? s in ? ?



(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴 正 半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,
?
2

) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

23. (本小题满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 ? x ? 5 . (I)证明: ? 3 ? f ( x ) ? 3 ; (II)求不等式 f ( x ) ? x ? 8 x ? 1 5 的解集.
2

高 2013 届高三上学期期中考试题解析

一、选择题:第小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 1 A 2 B 3 C 4 C 5 A 6 C 7 A 8 C 9 B 10 C 11 B 12 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在答题卷相应位置上.) 13
?4

14
?1 或
1 3

15

16
20

?1

三、解答题 17. f ( x ) ? ∵?
?
12
3 2 1 ? cos 2 x 2 1 2

s in 2 x ?

?

?

3 2

s in 2 x ?

1 2

c o s 2 x ? 1 ? sin ( 2 x ?

?
6

) ?1 。

? x ?

5? 12

,∴ ?
?
6

?
3

? 2x ?

?
6

?

2? 3
3


?
6

∴?

3 2

? s in ( 2 x ?

) ? 1 ,从而 ? 1 ?

? sin( 2 x ?

)?1? 0



2

则 f ( x ) 的最小值是 ? 1 ? (2) f ( C ) ? s in ( 2 C ? ∵ 0 ? C ? ? ,∴ ?
?
6

3 2

,最大值是 0 。
?
6

?
6

) ? 1 ? 0 ,则 sin( 2 C ?

) ? 1,

? 2C ?

?
6

?

1 1? 6

,∴ 2 C ?

?
6

?

?
2

,解得 C ?

?
3



∵向量 m ? ( 1 , sin A ) 与向量 n ? ( 2 , sin B ) 共线,∴ sin B ? 2 sin A , 由正弦定理得, b ? 2 a 由余弦定理得, c
2


2

? a

? b

2

? 2 ab cos

?
3

,即 a ? b ? ab ? 3
2 2



由①②解得 a ? 1 , b ? 2 。
C4 C6 C 4C 2 C6
3 1 2 3 3

18. 解: (I)ξ 得可能取值为 0,1,2;由题意 P(ξ =0)=

?

1 5

, P(ξ =1)=

C4C2 C6
3

2

1

?

3 5

, P(ξ

=2)=

?

1 5

…………3 分 ∴ξ 的分布列、期望分别为: ξ p 0
1 5

1
3 5

2
1 5

Eξ =0×

1 5

+1×

3 5

+2 ×

1 5

=1

…………6 分

(II)设在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的事件为 C 男生甲被选中的种数为 C 5 ? 1 0 ,男生甲被选中,女生乙也被选中的
2

种数为 C 4 ? 4
1

∴P(C)=

C4 C5

1 2

?

4 10

?

2 5

…………11 分
2 5

在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为

……12 分

19. (1)如图所示,取 B1C1 中点 D,连结 ND、A1D ∴DN∥BB1∥AA1 又 DN=
1 2 BB 1 ? 1 2 AA 1 ? A 1 M

∴四边形 A1MND 为平行四边形。 ∴MN∥A1 D 又 MN ? 平面 A1B1C1

AD1 ? 平面 A1B1C1

∴MN∥平面 A1 B 1 C 1 --------------------------4 分 (2)因三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 为直三棱柱, ∴C1 C ⊥BC,又∠ACB=90°∴BC⊥平面 A1MC1 在平面 ACC1 A1 中,过 C1 作 C1H⊥CM,又 BC⊥C1H,故 C1H 为 C1 点到平面 BMC 的距离。在等腰三 角形 CMC1 中,C1 C=2 2 ,CM=C1M= 6 ∴C1H
? CC
1

? AC

?

4 3 3

.--------------------------8 分

CM

(3)在平面 ACC1A1 上作 CE⊥C1M 交 C1M 于点 E,A1C1 于点 F, 则 CE 为 BE 在平面 ACC1A1 上的射影, ∴BE⊥C1M, ∴∠BEF 为二面角 B-C1M-A 的平面角, 在等腰三角形 CMC1 中,CE=C1H=
2 7
4 3 3

,∴tan∠BEC=

BC CE

?

3 2

∴ cos∠BEC=

7 .

二 面 角 B ? C 1 M ? A 的 平 面 角 与 ∠ BEC 互 补 , 所 以 二 面 角 B ? C 1 M ? A 的 余 弦 值 为
? 2 7 7 --------------------12 分

法 2: (1)同上。如图所示建系, (2)可得, B ( 2 , 0 , 0 ), A (0 , 2 , 0 ), C 1 (0 , 0 , 2 2 ) , M (0, 2, 2 ), ,设 n ? ( x , y , z ) 是平面 BMC 的 法向量,C1 点到平面 BMC 的距离 h。
? 可求得一个法向量为 n ? (0,1, ? ??? ? ?

????? 2 ) , C 1 M ? (0, 2, ?

????? ? C1M ? n 4 3 ? 2) , h ? ? 3 n

(3)可知 C B ? ( 2, 0, 0 ) 是平面 C 1 A1 M
??

的法向量,设 m ? ( x1 , y 1 , z 1 ) 是

??

平面 B M C 1 的法向量,求得一个法向量 m ? ( 2,1, 2 )

??? ?? ? CB ?m 2 7 ? 设 ? 是 为 二 面 角 B ? C 1 M ? A1 的 平 面 角 , 则 c o s ? ? ??? ?? ? ,又因为二面角 7 CB ? m
2 7 7

B ? C 1 M ? A1 的平面角是钝角,所以 c o s ? ? ?



20.

因为 ON ? OA ? OB ,所以四边形 OANB 为平行四边形, 假设存在矩形 OANB,则 OA ? OB ? 0 即 x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? x 1 x 2 ? k 2 x 1 x 2 ? 2 k ( x 1 ? x 2 ) ? 4 ? (1 ? k 2 ) x 1 x 2 ? 2 k ( x 1 ? x 2 ) ? 4 ? 0 ,
2 所以 (1 ? k ) ?

12 1 ? 4k
2

? 2k ?

16 k 1 ? 4k
2

? 4 ? 0,即 k

2

? 4, k ? ?2 ,

…………10

分 设 N(x0,y0) ,由 ON ? OA ? OB ,得
16 k
2 2

y 0 ? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 4 ?

1 ? 4k

? 4 ?

? 4 1 ? 4k
2

? ?

4 17

,即 N 点在直线 y ? ?

4 17



所以存在四边形 OANB 为矩形,直线 l 的方程为 y ? ? 2 x ? 2 21.解: (Ⅰ)∵f′(x)=3x +2ax-a =3(x- 又 a>0,∴当 x<-a 或 x>
a 3
2 2

a 3

)(x+a),

时 f′(x)>0;

当-a<x<

a 3

时,f′(x)<0.
a 3

∴函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,-a) ,( (-a,
a 3

,+∞),单调递减区间为

).(4 分)
2 2

(Ⅱ)由题设可知,方程 f′(x)=3x +2ax-a =0 在[-1,1]上没有实根 ∴ ? f ? (1) ? 0 ,解得 a>3.
?a ? 0 ? ? f ? ( ? 1) ? 0 ?

(8 分)

(Ⅲ)∵a∈[3,6],∴由(Ⅰ)知 又 x∈[-2,2] ∴f(x)max=max{f(-2),f(2)} 而 f(2)-f(-2)=16-4a <0
2

a 3

∈[1,2],-a≤-3

f(x)max=f(-2)= -8+4a+2a2+m (10 分)
又∵f(x)≤1 在[-2,2]上恒成立 ∴f(x)max≤1 即-8+4a+2a +m≤1 即 m≤9-4a-2a ,在 a∈[3,6]上恒成立 ∵9-4a-2a 的最小值为-87 ∴m≤-87. (13 分)
2 2 2

22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
P (4,

?

解: (I)把极坐标系下的点

) 2 化为直角坐标,得 P(0,4) 。

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上, (II)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 co s ? , sin ? ) , 从而点 Q 到直线 l 的距离为
2 c o s (? ? ? 2

?
6

d ?

|

3 c o s ? ? s in ? ? 4 | 2

)?4 ? 2 c o s (? ?

?
6

)?2

2



c o s (? ?

?
6

) ? ?1

由此得,当

时,d 取得最小值,且最小值为 2 .

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
? ? 3, ? f ( x ) ? | x ? 2 | ? | x ? 5 |? ? 2 x ? 7 , ? 3, ? 解: (1) x ? 2, 2 ? x ? 5, x ? 5.

当 2 ? x ? 5时 , ? 3 ? 2 x ? 7 ? 3 . (II)由(I)可知,

所以 ? 3 ? f ( x ) ? 3 .

………5 分

当 x ? 2时 , f ( x ) ? x ? 8 x ? 1 5 的解集为空集;
2
2 当 2 ? x ? 5时 , f ( x ) ? x ? 8 x ? 1 5的 解 集 为 { x | 5 ?

3 ? x ? 5}





x ? 5时 , f ( x ) ? x ? 8 x ? 1 5的 解 集 为 { x | 5 ? x ? 6}
2
2

. 综 上 , 不 等 式

f ( x ) ? x ? 8 x ? 1 5的 解 集 为 { x | 5 ?

3 ? x ? 6} .

…………10 分


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