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2012年山东省春季高考数学试题


山东省 2012 年春季高考
数学试题 第Ⅰ卷(选择题,共 75 分)
一.选择题(本大题 25 个小题,每小题 3 分,共 75 分,在每小题列出的四个选 项中,只有一项符合题目要求,请将符合题目要求的选项字母代号选出,填涂在 答题卡上) 1.已知全集U

? {1,2,3},集合 M ? {1,2} ,则 ?U M 等于
B. {3} B. a2 ? b2 C . {1,2} C. a ? b D. {1, 2 , 3} D. a ? b

A. {1}
2.若均为实数,且 a

? b ,则下列关系正确的是

A. ?b ? ?a
3. 已 知 函 数

?x ?1 ? 0 的解集,则函数 y ? f ( x) 的 定 义 域 是 不 等 式 组 ? x ? 2 ? 0 ?

y ? f ( x) 的图像可以是
y y y y

-1

0 1

2 x

-1

0 1

2 x

-1

0 1

2 x

-1

0 1

2 x

A.

B.

C.

D.

4.已知1 和 4 的等比中项是 log 3

x ,则实数 x 的值是

A. 2 或

1 1 1 1 B. 3 或 C . 4 或 D. 9 或 3 9 2 4

5.已知函数 y

? f ( x)( x ? R) 是偶函数,且在区间 [0, ??) 上是增函数,则下
B. f ( 2 ) ? f ? ( 1) ?f ? ( 3) D. f (?3) ? f (?1) ? f (2)

列关系正确的是

A. f (?1) ? f (2) ? f (?3) C . f (?3) ? f (2) ? f (?1)

6.已知角 ? 的终边经过点 P(?1,3) ,则 sin ? 的值是

10 3 10 D. 10 10 7.如图所示, 已知 P, Q 是线段的两个三等分点, O B uur r uur r Q 是线段 AB 外的一点,设, OA ? a , OB ? b , uur b P 则 OP 等于 A 1r 1r 1r 2r A. a ? b B. a ? b a 3 3 3 3 O r r 2r 1 2r 2 C. a ? b D. a ? b 3 3 3 3 8.如果 ?p 是真命题, p ? q 也是真命题,那么下列说法正确的是
A. ?

1 3

B.

3 10

C. ?

A. p, q 都是真命题 C . p, q 都是假命题

B. p 是真命题, q 是假命题 D. p 是假命题, q 是真命题

9.若直线 ax ? 2 y ? 3 ? 0 与直线 x ? 4 y ? 1 ? 0 互相垂直,则实数 a 的值是

1 1 D. ? 2 2 10.已知以坐标原点为顶点的抛物线,其焦点在 x 轴的正半轴上,且焦点到准线
A. 8 B. ?8 C.
的距离是 3 ,则抛物线的标准方程是

A. y 2 ? 6 x
11. 已 知 二 次 函 数

B. y 2 ? ?6 x

C. y 2 ? 3x

D. y 2 ? ?3 x

f ( x) ? x2 ? ( m ? 1) x ? m ? 1 的图像经过原点,则使
B. (?2,0) C . (??,0) U (2, ??)

f ( x) ? 0 的 x 的取值集合是
A. (0,2) D. (? ?, ?2 U ) ( 0? ,? )
12.已知 lg a ? lg b ? 0 (其中 a ? 1, b ? 1) , 则函数 的图像

f ( x) ? a x 与 g ( x ) ? b x

A. 关于坐标原点对称 C . 关于 y 轴对称

B. 关于 x 轴对称 D.关于直线 y ? x 对称

x2 y 2 13.椭圆 ? ? 1的离心率是 9 8
17 2 2 2 C. D. 3 4 3 14.编排一张由 4 个语言节目和 2 个舞蹈类节目组成的演出节目单, 若要使 2 个舞
A.

1 3

B.

蹈类节目不相邻,则不同排法的种数是

A. 120 A. 充分不必要条件 C . 充要条件

B. 240

C . 360

D. 480

15.若 M 、N 表示两个集合,则 M

I N ? M 是M ? N的
B. 必要不充分条件 D.既不是充分条件也不是必要条件

16.若 ?、? 为任意实数,则下列等式恒成立的是

A. 5? ? 5? ? 5? ?

B. 5? ? 5? ? 5? ? ?

C . (5? ) ? ? 5? ? ?

5? D. ? ? 5? ? ? 5
17.已知二次函数 y 数y

? x 2 ? 4 x ? 3 图像的顶点是 A ,对称轴是直线 l ,对数函

? log 2 x 的图像与 x 轴相交于点 B ,与直线 l 相交于点 C ,则 ?ABC 的

面积是

C. 3 D. 4 uur uuu r uur uuu r 18.已知平行四边形 OABC ,OA ? (4,2), OC ? (2,6) ,则 OB 与 AC 夹角
的余弦值是

A. 1

B. 2

A.

2 2

B. ?

2 2

C.

5 5

D. ?
19.函数

5 5
5? ? ? 2k? , ? k 2? k ]? , Z 6 6

f ( x) ? sin x ? 3 cos(? ? x) 的单调递增区间是
[?

A.

B. [?

?
6

? 2 k? ,

5? ? 2k? ], k ? Z 6 [? 2? ? ? 2k? , ? k 2? k ]? , Z 3 3

C.

D. [?

?

2? ? 2k? , ? k 2? k ]? , Z 3 3
n

20.若 ( a ? b) 展开式的第 4 项与第 7 项的系数相等,则此展开式共有

A. 8 项
标函数 z

B. 9 项

C . 10 项

D.11项

21.如图所示,若图中阴影部分所表示的区域是线性目

? x ? 3 y 的可行域,则 z 的最小值是

A. 2 B. 3 C. 4 D.15 22.从 5 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加某项公益活
动,其中至少有1 名女生的概率是

17 42 23.已知空间四边形 ABCD 中,E, F , G, H 分别是边 AB, BC, CD, DA 的中
A. B.

3 5

5 7

C.

10 21

D.

点,给出下列四个命题: ① AC 与 BD 是相交直线; ③四边形 EFGH 是平行四边形; 其中真命题的个数是 ② AB // DC ; ④ EH // 平面 BCD 。

A. 4

B. 3

C. 2

D.1

x2 y 2 ? ? 1的左焦点是 F1 ,右焦点是 F2 ,点 P 在椭圆上,如果 24.已知椭圆 25 20
线段 PF1 的中点在 y 轴上,那么 |

PF1 |:| PF2 | 等于

A. 3 : 2 D.1 : 9

B. 2 : 3

C . 9 :1

25.已知函数

f ( x) ? 3sin(? x ?

2? )(x ? R ,? ? 0)的图像与 x 轴的交点的 3

? 的等差数列,若将 f ( x) 的图像向左平移 | ? | 个单位 2 后,所得到的图像关于坐标原点对称,则实数 ? 的值可以是
横坐标构成一个公差为

A.

? 2

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 6

第Ⅱ卷(非选择题,共 75 分)
二.填空题(本大题 5 小题,每题 4 分,共 20 分,请将答案填在答题卡相应题 号的横线上) 26.已知函数

? x ? 1, x ? [0,3] f ( x) ? ? ,则 f (0) 等于 ? x , x ? [ ? 3,0) ?
??



4 ,且 ? 是第二象限角,则 tan ? 等于 5 28.已知圆锥的底面半径为1 ,高为 3 ,则该圆锥的体积是
27.已知 cos ? 29.圆 ( x ? 1) 值是
2

。 。

? ( y ? 1) 2 ? 4 上的点到直线 3x ? 4 y ? 14 ? 0 的距离的最大


30.为了了解某中学男生的身体发育情况,对随机抽取的100 名男生的身高进行 了测量(结果精确到1cm ) ,并绘制了如图所示的频率分布直方图,由图可知男 生身高超过172cm 的频率是 。

三.解答题(本大题 5 小题,共 55 分,请在答案卡相应的题号处写出解答过程)

31.(本小题 10 分)已知函数 (1)求证:函数

f ( x) ?

x 。 x2 ? 1

f ( x) 是奇函数;
f (a) 和 f (b) 的大小。

(2)若 a ? b ? 1 ,试比较

32.(本小题 10 分)为减少沙尘暴对城市环境的影响,某市政府决定在城市外围 构筑一道新的防护林,计划从 2011年起每年都植树 20000 棵。 2011年年底 检查发现防护林内损失了 1000 棵树,假设以后每一年损失的树都比上一年多

300 棵,照此计算:
(1) 2020 年这一年将损失多少棵树? (2)到 2020 年年底,该防护林内共存活多少棵 树?(不考虑其他因素影响) 33. (本小题 11 分)如图所示,已知正四棱锥

S ? ABCD,E, F 分别是侧棱 SA, SC 的中点。
求证: (1) EF // 平面 ABCD ; (2) EF

? 平面 SBD 。

34.(本小题 12 分)如图所示,甲、乙两船同时从港口 O 处出发,甲船以 25 海 里/小时的速度向东行驶,乙船以15 海里/小时的 速度向北偏西 30 的方向行驶, 2 小时后,甲船 到达 A 处,乙船到达 B 处。 (1)甲、乙两船间的距离 AB 是多少海里? (2)此时乙船位于甲船北偏西多少度的方向上? 35.(本小题 12 分)如图所示,已知双曲线的中心 在坐标原点
o

O

,焦点分别是

F1 (? 2 , 0 , )

F2 (2,0) ,且双曲线经过点 P(2,3) 。
(1)求双曲线的标准方程; (2)设点 A 是双曲线的右顶点,若直线 l 平行于 直线

AP ,且 l 与双曲线相 交于 M , N 两点,

uuur uuu r | AM ? AN |? 4 ,试求直线 l 的方程。

山东省 2012 年春季高考 数学试题答案及评分标准 第Ⅰ卷(选择题,共 75 分)
一. 选择题(本大题 25 个小题, 每题 3 分,共 75 分)

? ? f ( x). ……………………2 分
所以函数

f ( x) 是奇函数。…………1 分
f ( x) ? x ,所 x2 ? 1

A 3. B 4. D 5. C 7. C 8. D 9. A 10. A 11. B 13. A 14. D 15. C 16. D 18. C 19. B 20. C 21. B 23. C 24. A 25. D
1. 2. 第Ⅱ卷(非选择题,共 75 分) 二.

B

6.

D A B

(2 ) 【解】因为 以

12. C 17. 22.

f (a) ?
…… 1 分

a b , f ( b ) ? a2 ? 1 b2 ? 1



填空题(本大题 5 个小题,每

f (a) ? f (b) ?

a b ? a 2 ? 1 b2 ? 1

题 4 分,共 20 分) 26.

?1

27.

?

3 4

28.

?

29.

5

30.

a(b2 ? 1) ? b(a 2 ? 1) ? (a 2 ? 1)(b2 ? 1)

0.36
【评分标准】 (1)第 27 题填 ?0.75 亦 可; (2)第 28 题填 3.14 亦可。 三. 解答题(本大题 5 个小题,共

?
分 由

(a ? b)(1 ? ab) , …………………… (a 2 ? 1)(b2 ? 1)

1

a ? b ?1

, 得

a ?b ? 0



55 分) 31.(本小题 10 分) (1) 【证明】 函数

1 ? ab ? 0
………………………………………………………1 分 又因为 a 所以
2

f ( x) 的定义域关于

? 1 ? 0, b 2 ? 1 ? 0 ,

坐标原点 R 对称,…………………… 1 分

f ( ? x) ?


?x …………………… 2 ( ? x) ? 1

(a ? b)(1 ? ab) ? 0, (a 2 ? 1)(b2 ? 1)

2



f (a) ? f (b) ? 0 ,
f (a) ? f (b)。………………………1

因此

??

x x ?1
2

分 32.(本小题 10 分)

【解】 (1 )由题意知,每年损失树的 数量成等差数列{an } ,其中 首项 a1

因为 E , F 分别是 SA, SC 的中点, 所以 EF // AC ,………………………2 分 又因为 EF ? / 平面 ABCD , AC ? 平面
ABCD ,………………………1 分

? 1000 ,……………………1 分

公差,……………………1 分 由等差数列通项公式得

所以 EF // 平面 ABCD ;………………2 分 (2)设 AC 交 BD 于点 O ,连结 SO 。 ………………………1 分 因为四棱锥 S ? ABCD 是正四棱锥,所 以四边形 ABCD 是正方形, 故 AC ? BD ,………………………1 分 因为 O 是正方形 ABCD 的中心,所以
SO ? 平面 ABCD ,

a10 ? a1 ? (10 ?1)d
? 1000 ? (10 ?1) ? 300 ……………………1 分

? 3700. ……………………1 分

即 2020 年这一年损失 3700 棵树。 ( 2 ) 到 2020 年 年 底 , 共 栽 树
20000 ?10 ? 200000 (棵) 。………1 分
a ?a 共损失树 S10 ? 1 10 ?10 2

又因为 AC ? 平面 ABCD , 所以, SO ? AC ………………………1 分 又因为 AC ? BD , SO ? 平面 SBD ,
BD ? 平面 SBD , SO

?

1000 ? 3700 ?10 C 2

? 23500 (棵) ,………………………1 分

BD ? O ,

?0 0 工 存 活 树 2 0 0 0

? 2 3 5 0 0

1 7 6 5? 0平面 0 SBD ,………………1 分 AC 所以

(棵) 。………………………………………1 分 即到 2020 年年底,该防护林共存活
176500 棵树。……………………………1 分

又因为 EF // AC , 所以 EF ? 平面 SBD 。………………1 分 34.(本小题 12 分) 【解】 (1)由题意得,
OA ? 25 ? 2 ? 50 (海里) ,……………1 分 OB ? 15 ? 2 ? 30 (海里) ,……………1 分

33.(本小题 11 分) 【证明】 (1)连结 AC 。………………1 分 在 ?SAC 中,

?AOB ? 90 ? 30 ? 120 。……………1 分

由余弦定理得

AB2 ? OA2 ? OB2 ? 2OA ? OB cos120

? 502 ? 302 ? 2 ? 50 ? 30 ? cos120 …1 分

? 4900 ,

解得 AB ? 70 (海里) 。……………1 分 即 甲 、 乙 两 船 的 距 离 AB 是 70 海 里。……………1 分 (2)由正弦定理可知:
OB AB ? ,……………2 分 sin ?OAB sin ?AOB sin ?OAB ? OB sin ?AOB AB

【解】 ( 1 )设双曲线的标准方程是
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , ………………1 分 a 2 b2

因 为 点 P( 2 , 3 在 ) 双曲线上,所以
22 32 ? ? 1 。①………………1 分 a 2 b2

?

30sin120 70

?

3 3 ,……………1 分 14

由 焦 点 坐 标 可 知 , 半 焦 距
c ? 2 ,………………1 分

因为在 ?AOB 中, ?AOB ? 120 ,所以
?AOB 是锐角,

又因为 a 2 ? b2 ? c2 ,所以 a2 ? b2 ? 4 , ②………………1 分 联立①②解得 a 2 ? 1, b2 ? 3 , ………………1 分 所以双曲线的标准方程是 x 2 ? ………………1 分 (2)因为 a 2 ? 1 ,所以 a ? 1 ,故双曲 ' ' 线 的 右 顶 点 A 的 坐 标 是
( 1 , 0 ) ,………………1 分

所以 ?AOB ? 21.79 ,……………1 分
90 ? 21.79 ? 68.21 。……………1 分

即乙船位于甲船北偏西 68.21 的方向 上。……………1 分 【 评 分 标 准 】 第 34 题 ( 2 ) 中 ,
?O A B? 2 1 4 7 '
9 ? 0 ?6 2

y2 ? 1。 3






3 7

8 1 1 4 亦可。

35.(本小题 12 分)

由 此 得 到 直 线 AP 的 方 程 是
y? 3?0 ( x ? 1) ,即 y ? 3x ? 3 , 2 ?1

因为 l // AP ,所以可设直线 l 的方程为
y ? 3x ? n ,………………1 分

设 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ,

联立直线 l 与双曲线的方程得
? y ? 3x ? n ? , ? 2 y2 ?1 ?x ? 3 ?

而是求出 n ? 7 ? 1 或 n ? ? 7 ?1 ,将 其代入方程③并验证根的判别式
? ? 0 是否成立,亦可得分。

消去 y ,并整理得到
6 x 2 ? 6nx ? n2 ? 3 ? 0 ,③

于是, x1 ? x2 ? ?n ,………………1 分
y1 ? y2 ? (3x1 ? n) ? (3x2 ? n) ? 3( x1 ? x2 ) ? 2n ? ?n.

因为直线 l 与双曲线有两个交点, 所以 (6n)2 ? 4 ? 6 ? (n2 ? 3) ? 0 , 解得 n ? ? 6 或 n ? 6 ,即 n 的取值范 围 是

{n n ? ? |



6

n ? 6} 。………………1 分
因为,AM ? ( x1 ?1, y1 ), AN ? ( x2 ?1, y2 ) 所以, AM ? AN ? ( x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 )
? (?n ? 2, ?n) ,

又因为 | AM ? AN |? 4 , 所以 (? n ? 2) 2 ? (? n) 2 ? 4 , 整理得, n2 ? 2n ? 6 ? 0 , 解 得

n ? 7 ?1



n ? ? 7 ?1 。………………1 分
又 因 为

(

? 7 ? 1n ) n ? ?{

|或

6

n ? 6} ,
, (? 7 ?1) ?{n | n ? ? 6 或 n ? 6} , 所 以 直 线
l

的 方 程 是

y ? 3x ? 7 ?1 。………………1 分
【评分标准】若未求出 n 的取值范围,


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