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华南师大附中2012—2013学年度第二学期高三综合测试(二)(数学理)


华南师大附中 2012—2013 学年度第二学期高三综合测试(二)

数学(理)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔成签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答 题卡的密封线内. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目 指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回.

第一部分

选择题(40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.集合 M ? {( x, y) | y ? 1 ? x 2 } , N ? {( x, y) | x ? 1, y ? R} ,则 M ? N 等于 A. {(1, 0)} B. { y | 0 ? y ? 1} C. {1, 0} D. ?

2.等差数列 {an } 中, a1 ? 1 , a5 ? a9 ? 98 , Sn 为其前 n 项和,则 S9 等于 A.291 3.设 tan(? ? ? ) ? A. B.294 C.297 D.300

13 18

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,则 tan(? ? ) ? 5 4 4 4 13 3 B. C. 22 22 b a
x

D.

1 6

2 4.在下列图象中,二次函数 y ? ax ? bx 与指数函数 y ? ( ) 的图象只可能是

A.

B.

C.

D.

本卷第 1 页(共 11 页)

5. 己知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 , 当 那么不等式 f ( x ) ? 的解集是 A. {x | 0 ? x ? } C. {x | ?

1 2

5 2

3 5 ? x ? 0 或0 ? x ? } 2 2

6.函数 f ( x) ? cos 2 x ? sin( x ? A.非奇非偶函数 C.仅有最大值的偶函数

?

3 ? x ? 0} 2 3 5 D. {x | x ? ? 或 0 ? x ? } 2 2
B. {x | ?

2

)是
B.仅有最小值的奇函数 D.既有最大值又有最小值的偶函数

7.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S8 ? 132 , Sm ? 690 , Sm?8 ? 270(m ? 8) ,则 m 为 A.2l B.20 C.19
o

D.18

8.设 M 是△ ABC 内一点,且 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30 ,定义 f ( M ) ? (m, n, p) , 其中 m 、n 、 p 分别是△ MBC 、 M A 、 MA 的面积, f ( P ) ? ( , x, y ) , △ C △ B 若 则 的最小值是 A.8 B.9 C.16 D.18

??? ??? ? ?

1 2

1 4 ? x y

第二部分
?
12

非选择题(110 分)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.若 x ? ,则 sin x ? cos x ?
4 4



?1 10.已知函数 f ( x) ? log 3 ( ? 2) ,则方程 f ( x) ? 4 的解是

4 x

11.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , a2 ? 7 , an?2 等于 an an?1 的个位数,则 a2008 ? 12.已知 sin x ? sin y ? ?

2 2 , cos x ? cos y ? ,且 x, y 为锐角,则 sin( x ? y) ? 3 3
n

13.已知数列 {an } 满足: a1 ? 3 , an ? 2an?1 ? 2 ?1(n ? N*, n ? 2) ,且存在实数 ? 使得

{

an ? ? } 为等差数列,则 {an } 的通项公式是 an ? 2n



14. 设函数 f ( x ) 的定义域为 R, 若存在正常数 M 使得 | f ( x) |? M | x | 对一切实数 x 均成立,

本卷第 2 页(共 11 页)

则 称 f ( x ) 为 F 函 数 , 给 出 下 列 函 数 : ① f ( x) ? x2 ; ② f ( x) ?

x ;③ x ? x ?1
2

f ( x)?

2 ( s ix n ?

c x;④) f ( x) ? 2sin x ,其中是 F 函数的序号为 os



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 12 分) 已 知 数 列 {an } 中 , 其 前 n 项 和 为 Sn , 满 足 Sn ? 2an ? 1,n ? N *, 数 列 {bn } 满 足

bn ? 1 ? log an n ? N * , 1
2

(1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设数列 {anbn } 的 n 项和为 Tn ,求 Tn .

16. (本小题满分 12 分)
2 设函数 f ( x) ? kx ? 2 ,不等式 [ f ( x)] ? 36 的解集为 (?1, 2) .

(1)求 k 的值; (2)求不等式 log a

6 ? log a (1 ? x)(0 ? a ? 1) 的解集. f ( x)

本卷第 3 页(共 11 页)

17. (本小题满分 14 分)

?? C C ? C C a, b, c 为△ ABC 的内角 A、 C 的对边,m ? (cos ,sin ) ,n ? (cos , ? sin ) , B、 2 2 2 2 ?? ? ? 且 m 与 n 的夹角为 3
(1)求 C; (2)已知 c ?

7 3 3 ,△ ABC 的面积 S ? ,求 a ? b 2 2

18. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? x ?
3

1 2 x ? bx ? c 2

(1)若 f ( x ) 的图象有与 x 轴平行的切线,求 b 的取值范围;
2 (2)若 f ( x ) 在 x ? 1 时取得极值,且 x ? (?1, 2), f ( x) ? c 恒成立,求 c 的取值范围.

本卷第 4 页(共 11 页)

19. (本小题满分 14 分) 若 a ? ( 3 cos ? x,sin ? x) , b ? (sin ? x,0) , 其 中 ? ? ( ?

?

?

? ? ? 1 ? f ( x) ? (a ? b) ? b ? ,且 f ( x) 的图象关于直线 x ? 对称. 2 3
(1)求 f ( x ) 的解析式及 f ( x ) 的单调区间;

1 5 , ) , 函 数 2 2

? 个单位,再将得到的图象的横坐标变为原来的 2 3 ? 倍 (纵坐标不变) 后得到的 y ? g ( x) 的图象; 若函数 y ? g ( x) ,x ? ( ,3? ) 的图象与 y ? a 2
(2)将 y ? f ( x) 的图象向左平移 的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列,求 a 的值.

本卷第 5 页(共 11 页)

20. (本小题满分 14 分) 已知 a1 ? 1 ,点 (an , an ?1 ) 在函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 2 的图象上,其中 n ? 1, 2,3, 4, ??? (1)证明:数列 {lg(an ? 2)} 是等比数列; (2)设数列 {an ? 2} 的前 n 项积为 Tn ,求 Tn 及数列 {an } 的通项公式; (3)已知 bn 是

1 1 与 的等差中项,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,求证: an ? 1 an ? 3

3 1 ? Sn ? . 8 2

本卷第 6 页(共 11 页)

华南师大附中 2012—2013 学年度第二学期高三综合测试(二)

数学(理)参考答案
第一部分选择题(40 分) A、C、C、A D、D、B、D

第二部分非选择题(110 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. ?

3 2

10.1

11.8

12. ?

2 14 9

13. n ? 2 ? 1
n

14.②④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本题满分 12 分) (1)7 分(2)5 分 (1)解:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 1, a1 ? 1 …………1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ?1) ? (2an?1 ?1) ,∴ an ? 2an?1 ……2 分 ∴数列 {an } 是首项为 a1 ? 1 ,公比为 2 的等比数列, ∴数列 {an } 的通项公式是 an ? 2n?1 ……2 分

bn ? 1 ? log 1 2n?1 ? 1 ? (1 ? n) ? n ,∴数列 {bn } 的通项公式是 bn ? n ……2 分
2

(2) {anbn } ? n ? 2n?1 ∴ Tn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3? 22 ???? ? (n ?1) ? 2n?2 ? n ? 2n?1

2Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ???? ? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n …………2 分
∴ ?Tn ? 1 ? 21 ? 22 ???? ? 2n?1 ? n ? 2n ? 2n ?1 ? n ? 2n ………·2 分 ∴ Tn ? (n ?1) ? 2n ? 1……1 分 16. (本小题满分 12 分) (1)5 分(2)7 分
2 解: (1)∵ (kx ? 2) ? 36 ,即 k x ? 4kx ? 32 ? 0 ………1 分
2 2

? 4k ?? k 2 ? ?1 ? 2 ? 由题设可得: ? ,解得 k ? ?4 ………4 分 ?? 32 ? ?1? 2 ? k2 ?
本卷第 7 页(共 11 页)

(2) f ( x) ? ?4 x ? 2 …………1 分

由 log a

6 6 ? log a (1 ? x) ……1 分 ? log a (1 ? x)(0 ? a ? 1) ,得 log a ?4 x ? 2 f ( x)

1 ? ? x? ? ? ?4 x ? 2 ? 0 2 ? ? 则 ?1 ? x ? 0 ,即 ? x ? 1 ……4 分 ? 6 ? (2 x ? 1)( x ? 2) 1 1 ? ? ? 1? x ? 0 ? ? ? x ? 或x ? 2 2x ?1 2 2 ? ?4 x ? 2 ?
∴原不等式的解集为 {x | ?

1 1 ? x ? } …………1 分 2 2

17. (本小题满分 14 分) (1)5 分, (2)9 分 解: (1)∵ m ? (cos

? C C C C ,sin ) , n ? (cos , ? sin ) 2 2 2 2 ?? ? C 2 C ? sin 2 ? cos C …………2 分 ∴ m ? n ? cos 2 2 ?? ? ?? ? ? ? 1 又 m ? n ?| m | ? | n | cos ? cos ? …………2 分 3 3 2 1 ? ∴ cos C ? ,∴ C ? …………1 分 2 3 7 1 2 2 2 (2)∵ c ? a ? b ? 2ab cos C , c ? , cos C ? 2 2 49 ? a 2 ? b 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? 3ab …………3 分 ∴ 4
∵S ?

??

1 1 3 3 3 ab sin C ? ab ? ? ,∴ ab ? 6 …………4 分 2 2 2 2
2

∴ ( a ? b) ?

49 49 121 11 ? 3ab ? ? 18 ? ,∴ a ? b ? …………2 分 4 4 4 2

18. (本小题满分 14 分) (1)5 分, (2)9 分 解: (1) f '( x) ? 3x ? x ? b …………2 分
2

由己知 f '( x) ? 0 有实数解,∴ ? ? 1 ? 12b ? 0 ,故 b ?
2

1 …………3 分 12

(2)由题意 x ? 1 是方程 3x ? x ? b ? 0 的一个根,设另一根为 x0

1 ? 2 ? ? x0 ? 1 ? 3 ? ? x0 ? ? 则? ,∴ ? 3 …………2 分 ? x ?1 ? b ?b ? ?2 ? ? 0 3 ?

本卷第 8 页(共 11 页)

1 2 x ? 2 x ? c , f '( x) ? 3x2 ? x ? 2 2 2 2 当 x ? ( ?1, ? ) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (? ,1) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (1, 2) 时, 3 3
∴ f ( x) ? x ?
3

f '( x) ? 0
2 22 ?c 时, f ( x ) 有极大值 3 27 1 又 f ( ?1) ? ? c , f (2) ? 2 ? c , 2
∴当 x ? ? 即当 x ? [?1, 2] 时, f ( x ) 的量大值为 f (2) ? 2 ? c
2

…………3 分

∵对 x ? (?1, 2) 时, f ( x) ? c2 恒成立,∴ c ? 2 ? c ,∴ c ? ?1 或 c ? 2 ……3 分 故 c 的取值范围是 (??, ?1] ? [2, ??) 19. (本小题满分 14 分) 解: (1)∵ a ? ( 3 cos ? x,sin ? x) , b ? (sin ? x,0) ∴ a ? b ? ( 3 cos ? x ? sin ? x,sin ? x) …………1 分

?

?

? ?

f ( x) ? ( 3 cos ? x ? sin ? x,sin ? x) ? (sin ? x, 0) ?

1 2

? 3 sin ? x cos ? x ? sin 2 ? x ?

1 3 1 ? cos 2? x 1 ? sin 2? x ? ? 2 2 2 2

?

3 1 ? sin 2? x ? cos 2? x ? sin(2? x ? ) 2 2 6

∵ f ( x ) 的图象关于直线 x ? ∴ 2? ?

?
3

对称,

?
3

6 2 1 5 1 3 5 ∵ ? ? ( ? , ) ,∴ ? ? k ? 1 ? ,∴ ?1 ? k ? 1(k ? Z ) ,∴ k ? 0, ? ? 1 2 2 2 2 2
∴ f ( x) ? sin(2 x ?

?

?

? k? ?

?

, k ? Z ,解得 ? ?

3 k ?1 2

?

6

)

? ( 2 ) 将 f ( x)

f ( x) ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x ,再将得到的图象的横坐标变为原来的 2 3 6 2
倍(纵坐标不变)后,得到 y ? g ( x) ? cos x

?

?

s i n x( 2 的 图) 象 向 左 平 移 ? 个 单 位 后 , 得 到 6 3

?

?

?

本卷第 9 页(共 11 页)

x 函数 y ? g ( x) ? cos x , ? (

?
2

,3? ) 的图象与 y ? a 的图象有三个交点坐标分别为

( x1, a),( x2 , a),( x3 , a) 且

?
2

? x1 ? x2 ? x3 ? 3? ,

? 2 ? x2 ? x1 x3 ? 4? ? x ? x2 则由已知结合如图图象的对称性有 ? 1 ? ? ,解得 x2 ? 3 ? 2 ? x2 ? x3 ? 2 ? 2? ?
∴ a ? cos

4? 1 ?? 3 2

20. (本小题满分 14 分) (1)4 分, (2)4 分, (3)6 分
2 解: (1)证明:由已知 an?1 ? an ? 4an ? 2 ,∴ an?1 ? 2 ? (an ? 2)2

2分 1分 1分

∵ a1 ? 1 ? an ? 2 ? 1 ,两边取对数,得 lg(an?1 ? 2) ? 2lg(an ? 2) ∴ {lg(an ? 2)} 是等比数列,公比为 2,首项为 lg(a1 ? 2) ? lg3 (2)由(1)得 lg(an ? 2) ? 2n?1 lg 3 ? lg 32 ,∴ an ? 32
n?1 n?1

?2

2分

∵ lg Tn ? lg[(a1 ? 2)(a2 ? 2) ??? (an ? 2)] ? lg(a1 ? 2) ? lg(a2 ? 2) ???? ? lg(an ? 2)

?

n (2n ? 1) lg 3 ? lg 32 ?1 2 ?1

1分

∴ Tn ? 32

n

?1

1分
n?1

1 1 1 1 1 1 32 1 1 (3)∵ bn ? ( ? ) ? ( 2n?1 ? 2n?1 ) ? 2n ? 2n ?1 ? 2n 2 an ? 1 an ? 3 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1
? 1 1 ? an ? 1 an ?1 ? 1
3分

(另法: bn ?

1 1 1 1 1 1 1 ( ? )? ? ( ? ) 2 an ? 1 an ? 3 an ? 1 2 an ? 1 an ? 3

?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? ? ) an ? 1 (an ? 1)(an ? 3) an ? 1 an ? 4an ? 3 an ? 1 an ?1 ? 1
1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ? ??? ? ( ? ) a1 ? 1 a2 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 an?1 ? 1

∴ Sn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? (

本卷第 10 页(共 11 页)

?

1 1 1 1 ? ? ? 2n a1 ? 1 an?1 ? 1 2 3 ? 1
3 8

1分

显然 bn ? 0 ,∴ S n ? S1 ? 又 Sn ?

3 1 1 1 1 ? 2n ? ,∴ ? S n ? 8 2 2 3 ?1 2

2分

本卷第 11 页(共 11 页)


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