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考点28 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


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考点 28 二元一次不等式(组)与 简单的线性规划问题
一、选择题

1.(2012·安徽高考文科·T8)若 x , y 满足约束条件

则z ? x? y

的最小值是( (A)-3

) (B)0
3 (C) 2

(D)3

【解题指南】先作出可行域,根据 x ? y 的几何 意义求出最小值. 【解析】选 A .约束条件对应 ?ABC 及其内部区域
3 A(0,3), B(0, ), C (1,1) 2 (含边界) ,其中 ,则
t ? x ? y ?[?3, 0] ,其中 A(0,3) 为最小值点. z

?x ? y ? 1 ? ?x ? y ? 1 . ?x ?1 ? 0 2.(2012·广东高考文科·T5)已知变量 x,y 满足约束条件 ? 则

z=x+2y 的最小值为( (A)3

) (C)-5 (D)-6

(B)1

【解题指南】解本小题的关键是正确作出可行域,按照“直线定界,特殊点定 域”的原则进行,在找最优解时,要判断准 z 的值与直线 z=x+2y 在 y 轴的截距
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是正相关,还是负相关.本题是正相关. 【解析】选 C. 作出如图所示的可行域,当直线 z=x+2y 经过点 B(-1,-2)时,z 取 得最小值,最小值为-5.

3. (2012· 广东高考理科· T5) 已知变量 x, y 满足约束条件 的最大值为( (A)12 ) (B)11 (C)3

?y ? 2 ? ?x ? y ? 1 ?x ? y ? 1 ?

, 则 z=3x+y

(D) ?1

【解题指南】解本小题的关键是正确作出可行域,按照“直线定界,特殊点定 域”的原则进行,在找最优解时,要判断准 z 的值与直线 z=3x+y 在 y 轴的截距 是正相关,还是负相关. 【解析】选 B.作出如图所示的可行域,当直线 z=3x+y 经过点 B(3,2)时,z 取得最大值,最大值为 11.

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4. ( 2012 ·福建高考文科·T 10 )若直线 y ? 2 x 上存在点 ( x , y ) 满足约束条件
?x ? y ? 3 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?x ? m ? ,则实数 m 的最大值为(

) (D) 2

(A) ?1

(B)1

3 (C) 2

【解题指南】本题考查线性规划问题,检验学生的数形结合能力和转化能力. 【解析】选 B. 如图,

当 y ? 2 x 经过且只经过 x ? y ? 3 ? 0 和 x ? m 的交点时, m 取到最大值, 此时, 即 (m, 2m) 在直线 x ? y ? 3 ? 0 上,则 m ? 1. 5.(2012·辽宁高考文科·T9)与(2012·辽宁高考理科·T8)相同
? x ? y? 10, ? x ? y 20, ?0剟 ? 0剟y 15, ?

设变量 x,y 满足 (A) 20

则 2x+3y 的最大值为( (C) 45

) (D) 55

(B) 35

【解题指南】作出线性约束条件表示的可行域,找到最优解. 【解析】选 D. 如图,线性约束条件表示的可行域(图中阴影部分) ,最优解为 点(5,15) ,则 zmax ? 2 ? 5 ? 3 ?15 ? 55 .
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6.(2012·福建高考理科·T9)若函数 y ? 2 图象上存在点 ( x, y ) 满足约束条件
x

?x ? y ? 3 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?x ? m ? ,则实数 m 的最大值为(
1 (A) 2

) (D)2

(B)1

3 (C) 2

【解题指南】结合不等式先画可行域,描出动直线 x ? m ,其他直线和函数都是 确定的,当 x=m 向右移动到 y=2x 的最终可接触点时,即为所求. 【解析】选 B.如图,

当 y ? 2 经过且只经过 x ? y ? 3 ? 0 和 x ? m 的交点时,即三条线有唯一公共点,
x

m m 取到最大值,此时,即 (m, 2 ) 在直线 x ? y ? 3 ? 0 上,由选项知, m ? 1是解.

7. (2012· 新课标全国高考文科· T5) 已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1), B(1,3),
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顶点 C 在第一象限, 若点 (x, y) 在△ABC 内部, 则 z=-x+y 的取值范围是 ( (A)(1- 3,2) (B)(0,2) (C)( 3-1,2) (D)(0,1+ 3)



【解题指南】先求得点 C 的坐标,然后画出可行域,通过平移目标函数,求得 z 的取值范围. 【解析】选 A.由顶点 C 在第一象限且与 A,B 构成正三角形可求得点 C 坐标为

?1 ?

3, 2

? ,将目标函数化为斜截式为 y ? x ? z ,

结合图形可知 当 y ? x ? z 过点 C 时 z 取到最小值,此时 zmin ? 1 ? 3 ,当 y ? x ? z 过点 B 时 z 取到最

?1 ? 3, 2 ? . 大值,此时 zmax ? 2 ,综合可知 z 的取值范围为
? 2 x +y ? 2 ? 0, ? 8.(2012·天津高考文科·T2)设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则目标 ? x ? 1 ? 0, ?

函数 z = 3x - 2 y 的最小值为( (A)-5 (B)-4

) (C)-2 (D)3

【解题指南】作出可行域可知,所求目标函数的图象经过直线 2 x+y - 2=0 与直线
x-2 y +4=0 的交点 A(0,2)时取得最小值-4.

【解析】选 B.作出可行域, 设直线 2 x+y - 2=0 与直线 x-2 y +4=0 的交点为 C,解得 C(0,2) ,故目标函数的图象 经过点 C 时取得最小值-4. 9.(2012·山东高考文科·T6)与(2012·山东高考理科·T5)相同
? x ? 2y ? 2 ? ? 2x ? y ? 4 ? 4 x ? y ? ?1 ?

设变量 x, y 满足约束条件
3 [ ? , 6] (A) 2

,则目标函数 z ? 3x ? y 的取值范围是
3 [?6, ] 2 (D)

3 [? , ?1] (B) 2

(C) [?1, 6]
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【解题指南】本题可先根据题意画出可行域,将目标函数化为斜截式,平移目 标函数得取值范围.
? x ? 2y ? 2 ? ? 2x ? y ? 4 ? 4 x ? y ? ?1 ?

【解析】选 A. 画出约束条件

表示的可行域如图所示,

由目标函数 z ? 3 x ? y 得直线 y ? 3x ? z ,当直线平移至点 B(2,0) 时 , 目标函数
1 A( ,3) z ? 3x ? y 取得最大值为 6, 当直线平移至点 2 时, 目标函数 z ? 3x ? y 取得最
3 3 [ ? , 6] 小值为 2 .所以目标函数 z ? 3x ? y 的取值范围是 2 .

?

10.(2012·江西高考理科·T8)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超 过 50 亩,投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价 如下表: 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4 吨 韭菜 6 吨 1.2 万元 0.9 万元 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和 韭菜的种植面积(单位:亩)分别为( (A)50,0 (B)30,20 ) (D)0,50

(C)20,30
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【解题指南】由题意列出约束条件,写出关于总利润的目标函数,画出可行域, 结合图形,将目标函数平移求得总利润最大时,黄瓜和韭菜的亩数. 【解析】选 B .设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x 亩, y 亩,总利润为 z 万元, 则 z 关于 x, y 的关系式为 z ? 4 x ? 0.55 ? 1.2 x ? 6 y ? 0.3 ? 0.9 y ? x ? 0.9 y ,

且 x, y 满足约束条件为

画可行域如图,



l1 : y ? ?

10 x A 30, 20 ? 9 , 将 l1 上下平移可知, 当直线 z ? x ? 0.9 y 过点 ? 时,z 取最大值,

因此,当总利润 z 最大时, x ? 30 , y ? 20 . 二、填空题
? x ? y ? ?1 ?x ? y ? 3 ? ? ?x ? 0 ? 11. (2012· 新课标全国高考理科· T14) 设 x,y 满足约束条件 ? y ? 0 则 z=x-2y

的取值范围为

.

【解题指南】由约束条件画出可行域,然后将目标函数化为斜截式后平移求得 z 的取值范围.
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【解析】作出不等式组的可行域,如图阴影部分,

作直线 x ? 2 y ? 0 ,并向左上,右下平移,过点 A 时, z ? x ? 2 y 取得最大值,过点 B 时, z ? x ? 2 y 取最小值.
?x ? y ?1 ? 0 ?y ? 0 ? ? B ?1, 2 ? A 3, 0 x ? y ?3 ? 0 ? 由 得 ,由 ? x ? y ? 3 ? 0 ,得 ? ? .
? zmax ? 3 ? 2 ? 0 ? 3 zmin ? 1 ? 2 ? 2 ? ?3

,

.

? z ? ? ?3,3?

【答案】 ?

?3,3?
? x?0 ? ?x ? 2 y ? 3 ?2 x ? y ? 3 ?

12. (2012·安徽高考理科·T11)若 x, y 满足约束条件: 取值范围是 .

;则 x ? y 的

【解题指南】先作出可行域,根据 x ? y 的几何意义求出最大值和最小值即得到 取值范围.
3 A(0,3), B(0, ), C (1,1) 2 【解析】约束条件对应 ?ABC 边界及内部区域: 则
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t ? x ? y ?[?3, 0] ,其中 A(0,3), C(1,1)为最值点.

【答案】 [?3, 0]

13.(2012·湖北高考文科·T14)若变量 x,y 满足约束条件 数 z=2x+3y 的最小值是________.

则目标函

【解题指南】本题考查线性规划,解答本题的关键是正确地画出可行域,找到最 小值点,再代入求解即可. 【解析】先作出可行域,如图:

当线性目标函数经过点 A(1,0)时,目标函数 z=2x+3y 有最小值 2. 【答案】2 14.(2012·江苏高考·T14)
b 5 c ? 3 a ≤ b ≤ 4 c ? a , c ln b ≥ a ? c ln c , a , b , c 已知正数 满足: 则 a 的取值范围是

.

【解题指南】考查不等式的性质、导数的应用以及转化和化归的思想.关键是对 不等式的变形和构造函数 h( x) ? x ? ln x ,利用导数求最值. 【解析】 5c ? 3a ? b ? 4c ? a 变形为
5? c b c ? 3 ? ? 4 ? ?1 a a a ,

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x?

a 1 , h( x) ? x ? ln x( x ? ) 1 c 2 ,利用导数可以证明 h( x) 在[ ( ,1) 上单调递减,在[ (1, ??) 2

b b b b b e? ?7 ln ln? 1? ? 1?? e? e 上单调递增,所以 h( x) ? h(1) ? 1 ,故 a a ,a a ②,由①②可得 a .

【答案】 [e, 7]

15.(2012·浙江高考文科·T14)设 z=x+2y,其中实数 x,y 满足 则 z 的取值范围是_________. 【解题指南】利用线性规划的方法求出其最大值和最小值.
?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? y ? 2 ? 0
1 3 ( , ) 解得 2 2 .

【解析】由

? 2 ?y ,平移 0 作直线 l : x l 至原点时取得最小值0;

1 3 7 ( , ) 平移 l 至点 2 2 时取得最大值 2 .
? 7? ?0, ? 【答案】 ? 2 ?

?ln x, x ? 0 f ( x) ? ? ??2 x ? 1, x ? 0 , D 是由 x 轴和曲 16.(2012·陕西高考理科·T14)设函数

线 y ? f ( x) 及该曲线在点 (1, 0) 处的切线所围成的封闭区域, 则 z ? x ? 2 y 在 D 上的最 大值为 .

【解题指南】先确定封闭区域 D 的大致范围和关键点,其中求出切线方程是关 键,然后确定 z 的含义,最后再把点的坐标代入求最大值.
1 f ?( x) ? f ( x ) ? ln x x ? 0 x ,所以曲线在点(1,0)处的切线的斜 【解析】当 时, ,所以

率 k ? 1 ,该曲线在点 (1, 0) 处的切线方程是 y ? x ?1 ,所以区域 D 是一个三角形,当 直线 x ? 2 y ? z 过点(0, ?1 )时,z 的值最大为 2.
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【答案】2

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