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【2015届备考】2015届全国名校数学试题分类解析汇编(12月第三期):C单元三角函数]

C 单元三角函数 目录 C1 角的概念及任意角的三角函数 - 2 C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 - 2 C3 三角函数的图象与性质 -6C4 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C5 C6 C7 C8 C9 - 12 -

两角和与差的正弦、余弦、正切 - 15 二倍角公式 - 18 三角函数的求值、化简与证明 - 19 解三角形 - 22 单元综合 - 35 -

C1 角的概念及任意角的三角函数 【数学 (文) 卷· 2015 届安徽省安庆一中等江淮名校高三第二次联考 (201411) word 版】 5. 已 知角 ? 的顶点与原点重合,始边与横轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则 cos2 ? =

3 4 2 A.一 5 B.- 5 C. 3

3 D. 4

【知识点】三角函数的定义 C1 C6

?1, 2? , 则 【 答 案 】【 解 析 】 A 解 析 : 由 题 意 可 找 ? 角 终 边 上 一 点
sin ? ? 2 5 5 ,cos ? ? 5 5 cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2? ? ? 3 5

【思路点拨】根据三角函数的定义及二倍角公式可求出正确结果. C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 【数学理卷· 2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试( 201411 ) word 版】 2 .已知

sin x ? cos x ?
18 A. 25

3 2 5 ,则 sin 2 x ? (
7 B. 25 ?



7 C. 25
C6

16 D. 25 ?

【知识点】同角三角函数关系;二倍角公式. C2

sin x ? cos x ?
【答案】 【解析】C 解析

18 3 2 2 ? ? sin x ? cos x ? ? 25 5

? 1 ? 2sin x cos x ?

18 7 ? sin 2 x ? ? 25 25 ,故选 C.

【思路点拨】已知等式两边平方后,利用平方关系和二倍角公式求得结果.

【数学理卷·2015 届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考(201412)word 版】6.△ ABC 中,锐角 A 满足 sin4A-cos4A≤sin A-cos A,则

? A.0 ? A≤ 6

? B.0 ? A≤ 4 ? ? D. 4 ≤A≤ 3

? ? C. 6 ≤A≤ 4

【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式 C2 【答案】B 【解析】 由 sin4A-cos4A≤sin A-cos A, 得 sin A ? cos A ? sin A-cos A,则
2 2

2 sin( A ?

?

) 4 ? 1,

? 所以 0 ? A≤ 4 。
【思路点拨】化简然后根据辅助角公式确定范围。

【 数 学 理 卷 · 2015 届 湖 南 省 衡 阳 市 五 校 高 三 11 月 联 考 ( 201411 ) 】3.已知

3 cos(? ? x ) ? , x ? (? , 2? ) 5 ,则 sin x ? 【】 3 4 3 4 ? A. 5 B. 5 C. 5 D. 5 ?
【知识点】诱导公式的作用.C2 【答案】 【解析】B 解析:∵ ,∴ ,即 ;

又 x∈ (π,2π) ,∴ ; 故选 B. 【思路点拨】由 sin2α+cos2α=1 及诱导公式可解之.

【 数 学 理 卷 · 2015 届 湖 南 省 衡 阳 市 五 校 高 三 11 月 联 考 ( 201411 ) 】3.已知

3 cos(? ? x ) ? , x ? (? , 2? ) 5 ,则 sin x ? 【】 3 4 3 4 ? A. 5 B. 5 C. 5 D. 5 ?
【知识点】诱导公式的作用.C2 【答案】 【解析】B 解析:∵ ,∴ ,即 ;

又 x∈ (π,2π) ,∴ ; 故选 B. 【思路点拨】由 sin2α+cos2α=1 及诱导公式可解之.

【数学理卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 13. 已

cos(? ?


?
4

)?

3 ? 3? ?? ? 5,2 2 ,则 cos 2? ? _____▲ ____.

【知识点】诱导公式倍角公式 C2 C6

?? 4 ? 24 ? 3? 3? ? 7? sin ? ? ? ? ? ? ?? ? , ?? ? ? 4? 5, 2 4 4 4 ,所以 ? 【答案】 【解析】 25 解析:因为 2
?

?? ? ?? 24 ?? ? ? ? 4? 3 cos 2? ? sin ? ? 2? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 4? 4? 25 . ?2 ? ? ? ? 5? 5 则
【思路点拨】遇到给值求值问题,通常从角入手,观察所求角与已知角之间是否具有和差倍 角关系,再利用相应的公式计算.

【数学文卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】18.(原创) (本 题满分 13 分) 已知 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且有 ( 2a ? c) cos B ? b cos C .⑴ 求角 B 的大小;

tan( ? A) 4 ⑵设向量 m ? ?cos 2 A ? 1,3 cos A ? 4 ?, n ? ?5,4 ? ,且 m ? n ,求 的值.
【知识点】正弦定理;两角和与差的三角函数;三角形的内角和;诱导公式;向量垂直的性 质,三角函数的求值. C8 C5 C2 C7 F2

?

? 【答案】 【 解 析 】 (1) 4 ; (2)7. 解 析 : ⑴ 由 条 件 ( 2a ? c) cos B ? b cos C 可 得 :

?

2 sin A ? sin C cos B ? sin B cos C

?

整理得: 2 sin A cos B ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin ?B ? C ? ? sin A

cos B ?
所以

2 ? B? 2 ,又 0 ? B ? ? ,故 4

⑵由 m ? n 可得: 5?cos 2 A ? 1? ? 4?3 cos A ? 4 ? ? 0 整理得: 5 cos A ? 6 cos A ? 8 ? 0
2

cos A ?
从而

4 或 cos A ? ?2 5 (舍去)

又 0 ? A ? ? ,? A 为锐角

sin A ?


3 3 tan A ? 5, 4

?? ? 1 ? tan A tan? ? A ? ? ?7 4 1 ? tan A ? ? 于是
【思路点拨】(1)利用正弦定理,两角和与差的三角函数,三角形的内角和,诱导公式,将已

知等式化为 2 sin Acos B=sinA

? cos B ?

2 ? B? 2 ,从而得 4; (2)由 m ? n 可得

5 cos A ? 6 cos A ? 8 ? 0
2

? cos A ?

? 4 3 3 tan( ? A) ? sin A ? ? tan A ? 5 5 4 ,可得 4 的值.

【数学文卷· 2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试( 201411 ) word 版】 4. 函数

?? ? y ? sin x sin ? ? x ? ?2 ? 的最小正周期是(



?
A. 2 B.

?

C. 2π

D. 4π C2 C6 C4

【知识点】诱导公式;二倍角公式;弦函数的周期公式.

?? ? y ? sin x sin ? ? x ? sin x cos x ? 1 sin 2 x ?2 ?= 2 【答案】 【解析】B 解析: ,所以其周期
T? 2? ?? 2 ,故选 B. y?
【思路点拨】利用诱导公式,二倍角公式,把已知函数化为

1 sin 2 x 2 ,从而得正确.

【数学文卷·2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试(201411) 】

sin(
7.若

?
6

??) ?

1 2? cos( ? 2? ) ? 4 ,则 3 () 7 D. 8

1 1 7 ? A. 8 B . 4 C . 4 ?

【知识点】诱导公式,二倍角公式 C2 C6

cos(
【答案】 【解析】A 解析:因为
2 2

2? ? ?? ?? ?? ? ? 2? ) ? cos ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 cos 2 ? ? ? ? ? 1 3 ?? ?3 ? ? ?3

7 ?? ? ?1? ? 2sin ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? ? 8 ,所以选 A.. ?6 ? ?4?
cos(
【思路点拨】由二倍角公式得

2? ? ?? ?? ?? ? ? 2? ) ? cos ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 cos 2 ? ? ? ? ? 1 3 ?? ?3 ? , ? ?3

?? ? ?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ?3 ? ?6 ? ,代入即可求解. 再由诱导公式得

C3 三角函数的图象与性质 【数学理卷·2015 届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考(201412)word 版】16. (本 小题满分 12 分)

4 cos4 x ? 2 cos 2 x ? 1 ?? ? ?? ? sin ? ? x ? sin ? ? x ? ?4 ? ?4 ?。 已知函数 f (x)=
? 11? f ?? (1)求 ? 12 ? ? ? 的值;

? ?? 1 x ? ?0, ? ? 4 ? 时,求 g(x)= 2 f(x)+sin 2x 的最大值. (2)当
【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案】 (1) 3 (2) 2

4 cos4 x ? 2 cos 2 x ? 1 2 ?? ? ?? ? sin ? ? x ? sin ? ? x ? 2cos 2 x ?4 ? ?4 ? = cos 2 x =2os2x 【解析】∵f(x)=
11? 11? (1)f(- 12 )=2os(- 6 )= 3 1 ? ? ? ? 3? (2)g(x)= 2 f(x)+sin2x= 2 sin(2x+ 4 )∵x∈[0, 4 ],∴(2x+ 4 )∈[ 4 , 4 ],

? ∴当 x= 8 最大为 2 。

【思路点拨】利用二倍角公式及平方差公式对已知函数进行化简可得 f(x)=cos2x

11? (1)直接把 x=- 12 代入可求函数值
(2)利用辅助角公式对 g(x)化简,由 x 的范围求出整体角的范围,结合正弦函数的性质可 求函数的最大值与最小值

【数学理卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 16. 设 向量 a ? (? ? 2, ? ? 3 cos 2? ) ,
2

b = (m,

m ? sin ? cos ? ) 2 , 其中 ? , m, ? 为实数. 若 a ? 2b ,

?
则 m 的取值范围为_____▲ ____. 【知识点】三角函数的性质向量相等函数的单调性 F1 C3 B3

【 答 案 】【 解 析 】 [ - 6,1] 解 析 : 由 a ? 2b 得

? ?? ? 2 ? 2 m ? 2 ? ?? ? 3 cos 2? ? m ? sin 2?
? 3 2

,得

?2 ?
t?

??2
2

?? ? ? 2 s i ?n ? 2 ? ? ??? 3? ?

2, ?

2
, 解 得

? ?2

?
, 则

?
m

?

2? 4 ,t ' ? ?0 2 ??2 ? ? ? 2?

x??
,所以函数在区间上单调递增,当

3 2 时得最小值为-

6,当 x=2 时得最大值为 1,所以所求的范围是[-6,1]. 【思路点拨】利用向量相等等到变量之间的关系,再利用三角函数的性质求出 λ 的范围,再 利用导数判断单调性,利用单调性求函数的值域.

【数学理卷·2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考(201412) 】5.函

?? ? f ? x ? ? cos ? ? x ? ? 3 ? ( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到 f ? x ? 的图象,只需将 ? 数

?? ? g ? x ? ? sin ? ? x ? ? 3 ? 的图象() ? 函数
? (A)向左平移 2 个单位长度 ? (B)向右平移 2 个单位长度

? (C)向左平移 4 个单位长度
【知识点】三角函数的图像 C3

? (D)向右平移 4 个单位长度

?? ? 2? f ? x ? ? cos ? ? x ? ? ?? ?2 3 ? 的最小正周期为 ? , ? ? 【答案】 【解析】 C 解析: 因为函数 所以 ,

?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? ? cos ?2 ? x ? ? ? ? 3? 3 2? 4 ? 3?, 3 ?, ? ? ? ? ? 则
x?
则用

?

? 4 换 x 即可得到 f(x)的图像,所以向左平移 4 个单位长度,则选 C.

【思路点拨】判断两个函数图象的平移情况,关键是抓住解析式中的 x 的变化规律.

【数学理卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四 中)高三上学期第二次联考(201412)word 版】15. 已知 ? ? N ? ,函数

f ( x) ? sin(?x ?

?

) 4 在

( , ) 6 3 上单调递减,则 ? ? ________.
【知识点】正弦函数的图象.C3 【答案】 【解析】2 或 3.解析:数 f(x)=sin(ωx+ (k∈ Z) , 解得: , )的单调递减区间为:

? ?

所以:



解得:6k+ ≥ , 当 k=0 时,ω=2 或 3, 故答案为:2 或 3. 【思路点拨】首先利用整体思想求出 ω 的范围,进一步求出整数值.

【 数 学 理 卷 · 2015 届 云 南 省 部 分 名 校 高 三 12 月 统 一 考 试 ( 201412 ) 】 15 . 将 函 数

f ( x) ?

t (t ? 0) 个单位,所得图象对应的函数为奇函数, 3 cos 2 x? si nx 2 的图象向左平移

则 t 的最小值为______. 【知识点】三角函数的图象与性质 C3

? 【答案】 6

? 【解析】 f ( x) ? 3 cos 2 x ? sin 2 x =2cos(2x+ 6 )图象向左平移 t (t ? 0) 个单位得到 ? ? ? f(x)=2cos(2x+2t+ 6 )为奇函数,所以 2t 最小值 3 ,t= 6 。
【思路点拨】先化简式子,再根据诱导公式求出结果。

【数学文卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 21. (本 题满分 14 分)设向量 a ? (? ? 2, ? ? 3 cos 2? ) ,
2

b = (m,

m ? sin ? cos ? ) , 2 其中 ? , m, ? 为

实数.

??
(Ⅰ)若

?
12 ,且 a ? b, 求 m 的取值范围;

?
(Ⅱ)若 a ? 2b, 求 m 的取值范围. 【知识点】向量的数量积,三角函数的性质 C3 F3

1 10 1 10 ? ? ?m?? ? ??6,1? . 6 6 6 ; 【答案】 【解析】 (Ⅰ) 6 (Ⅱ)

??
【解析】 (Ⅰ)
2 ? ? ? 2? m ? ? ?? ?

3? ? ? m 1? a ? ? ? ? 2, ? 2 ? ? , b ? ? m, ? ? 2? ? ? 2 4? ,因为 a ? b ,所以 12 时 ,

?

?

3 ?? m 1 ? 5 3 ?m 1? 2 ?? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? m? ? m ? ? 0 2 ?? 2 4 ? 4 8 , 整理得 ? 2 4 ? 对一切 ? ? R 均
1 1 m?? 2 时 , 得 ? ? ?2 , 符 合 题 意 , 当 2 时 ,

m??
有 解 , 当

3? 3 2 1 3 ? 2m ? 1 ?? 5 1 10 1 10 ? ? m2 ? 4 ? ? ? ?m?? ? ?? m ? ? ? ? m ? m ? ? 0 8? 2 2 8 ? 4 ?? 4 6 6 6 , ,解得 6 1 10 1 10 ? ? ?m?? ? 6 6 6 ; 所以 m 的取值范围为 6
? ?? ? 2 ? 2 m ? 2 ?? ? 3 cos 2? ? m ? sin 2? , 由 ? ? 2m ? 2 消 元 得 ( Ⅱ ) 由 题 意 只 需 ?

? 2m ? 2 ?

2

?m ?

s? i? n 2

?3 ? c o ?s ? 2?

? ?

??

2 ?? s i n 2 , 2 ? 2 ?? 3? , 解 不 等 式 组

2 ? ? 4m ? 9m ? 4 ? 2 1 ? 2m ? 2 2 ? 2 ?m?2 ? ? 2 ? ? ? ?6,1? 4 m ? 9 m ? 4 ? ? 2 ? ? m m ,解得 4 ,所以 m .

【思路点拨】先把向量关系转化为坐标关系,再转化为方程有实根或函数的值域问题进行解 答.

【数学文卷·2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考(201412) 】6. 已

?? ? f ( x ) ? cos ? ? x ? ? ( x ? R, ? ? 0) 4? ? 知函数 的最小正周期为 ? , 为了得到函数 g ( x) ? sin ? x
的图象,只要将 y ? f ( x ) 的图象()

3? 3? A. 向左平移 4 个单位长度 B. 向右平移 4 个单位长度 3? 3? C. 向左平移 8 个单位长度 D. 向右平移 8 个单位长度
【知识点】三角函数的图象 C3

?? ? f ( x ) ? cos? ? x ? ? ( x ? R ,? ? 0) 4? ? 【答案】 【解析】D 解析:由函数 的最小正周期为 ? 得
??
2?

?

?2

?? ? f ?x ? ? c o s 2 ? x ? ??sin 4? ? , 则

? ?? ? 2? x ? ? ?? sin2 4 2? ?

? ? ?x ?

? 8?

? 3?
, 显然用

x?

3? 8

3? 换 x 即可得到函数 g(x)=sin2x 的解析式,所以图象向右平移 8 个单位长度,则选 D.
【思路点拨】判断函数的图象的平移变换关键是判断函数解析式中的 x 的变化.

【数学文卷·2015 届河北省唐山一中高三上学期期中考试(201411) 】17.(本小题满分 10 分) 已知向量 a ? (1, sin x) , b =

(cos(2 x ?

?
3

), sin x)

1 f ( x) ? a ? b ? cos 2 x 2 ,函数 .

(1)求函数 f(x)的解析式及其单调递增区间;

? ?? 0, ? ? 3 ? 时,求函数 f(x)的值域. ? (2)当 x∈
【知识点】三角函数的图像与性质 C3

? 2? ? ? ? 1 ? k? ? , k? ? (k ? Z ) ? ? ?? ,0? 6 3 ? 【答案】 【解析】(1) ? ;(2) ? 2 ? .

f ( x) ? cos(2 x ?

解析: (1)

1 ) ? sin x 2 ? cos 2 x 3 2 ? 1 ? ? sin( 2 x ? ) ? 6 2 ……………………………4 分

?

? 2? ? ? k? ? , k? ? (k ? Z ) ? ? 6 3 ? ? 单调递增区间是 …………………………..6 分
?
(2)

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 6

?

1 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 2 6 ………………………………………………………….8 分 1 ? f ( x) ? 0 2

??

? 1 ? ?? ,0? ? 函数 f(x)的值域是 ? 2 ? ………………………………………………..12 分

? 1 f ( x) ? ? ? sin(2 x ? ) ? 6 2
【思路点拨】(1)根据已知向量求得 ,最后根据正弦函数的特征,

?
求出其单调递增区间即可;(2)根据已知得到 6

? 2x ?

?
6

?

5? 6 ,然后求出函数的值域即可.

【数学文卷·2015 届河北省唐山一中高三上学期期中考试(201411) 】10.已知 ? ? 0 ,函数

f ( x) ? sin(? x ? ) ( , ? ) 4 在 2 上单调递减.则 ? 的取值范围是() 1 5 1 3 1 [ , ] [ , ] (0, ] 2 D (0, 2] A. 2 4 B. 2 4 C.
【知识点】三角函数的图像与性质 C3

?

?

? 5? 9? ? ? 2 ? (? x ? ) ? [ , ]
【答案】 【解析】A 解析:采用排除法若

4

4

4 不合题意排除 ( D) ,

? 3? 5? ? ? 1 ? (? x ? ) ? [ , ]


4

4

4 合题意排除 ( B )(C )

?( ? ?
另 :

?
2

)?

??
3? ? 4

? ? ? ? ? 3? ?2 ? (? x ? ) ? [ ? ? , ?? ? ] ? [ , ]


4

2

4

4

2

2





?
2

??

?

?, ? ?? 4 2

?

1? 5 ? ?? 2 2 ,

?

4

【思路点拨】可采用排除法进行排除,另用三角函数的图像,结合整体思想求得.

C4 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 【数学理卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】18. (本题满 分 13 分)

A ? 0, ? ? 0, ? ? ? 如图为 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像的一段. ( )
(1)求其解析式; π (2)若将 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像向左平移 6 个单位长度后得 y ? f ( x) ,求 f ( x) 的对称轴方 程.

【知识点】 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像与性质. C4 2π ? kπ 5 ? 【答案】 【解析】 (1)y= 3sin 2x- 3 ; ? ? (2)x=12π + 2 (k∈Z).

? 5? ? ? T ? 2? ? ? ?? ?? ? 2 ? 6 3? 解析:(1) 由已知图像得 A= 3 , ,
2?


?
3

? ? ? 2 k? ? ? ? 2 k? ?

2? 2? ,k ?Z ? ?? ? ? ? 3 3 , ,且 得

2π ? ? 所以,所求解析式为 y= 3sin 2x- 3 . ? ? π? ? ? ? π ? 2π ? (2)f(x)= 3sin 2 x+ 6 - 3 = 3sin 2x- 3 ,

? ?

?

?

?

?

π π kπ 5 令 2x- 3 = 2 +kπ (k∈Z),则 x=12π + 2 (k∈Z), kπ 5 ∴f(x)的对称轴方程为 x=12π + 2 (k∈Z).

【思路点拨】 (1) 由已知图像得 A= 3 , ? ? 2 , 由

2?

?

2? ? ? ?2 k? ? ? ? 2 k? ? , k ? Z 3 3 ,



? ??

? ??


2? ?2x-π ?, 3 ,所以 y= 3sin?2x-2π ?; ( 2 )由( 1 )得 f(x)= 3sin 3 ? 3? ? ?

再根据正弦函数的周期求函数 f(x)的周期.

【数学理卷·2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试(201411) 】 6.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ),x ? R (其中

A ? 0,? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2) ,其部分图像

如图所示, 将 f ( x) 的图像纵坐标不变, 横坐标变成原来的 2 倍, 再向右平移 1 个单位得到 g ( x) 的图像,则函数 g ( x) 的解析式为()

g ( x) ? sin
A.

?
2

( x ? 1)
B.

g ( x) ? sin

?
8

( x ? 1)

g ( x) ? sin(
C.

?
2

x ? 1)
D.

g ( x) ? sin(

?
8

x ? 1)

【知识点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.C4

1 1 2? ? T? ? ? 1? ( ? 1) ? 2, ?? ? 4 ? 4. 【答案】 【解析】B 解析:由函数的图象可得 A ? 1 , 4 ( ? 1) ? ? ? 0, ?? ? ( f x) ? sin ( x ? ). f x) 4 ,函数 4 4 再由五点法作图可得, 4 将( 的图 y ? sin (
象纵坐标不变,横坐标变成原来的 2 倍,可得函数

?

?

?

?

?
8

x?

?

) 4 的图象;

g x) ( ? sin[ (x ? 1) ? ] ? sin ( x? ) 8 4 8 8 的图象, 再向右平移 1 个单位得到 g x) ( ? sin
故函数 g(x)的解析式为

?

?

?

?

?
8

? x ? 1?


故选:C.

【思路点拨】由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,可

(? x ? ?) 得函数的解析式,再根据函数 y ? Asin 的图象变换规律,得出结论.

【 数 学 文 卷 · 2015 届 重 庆 市 重 庆 一 中 高 三 上 学 期 期 中 考 试

?? ? y ? sin x sin ? ? x ? ?2 ? 的最小正周期是 (201411)word 版】4.函数
( )

?
A. 2 B.

?

C. 2π

D. 4π C2 C6 C4

【知识点】诱导公式;二倍角公式;弦函数的周期公式.

?? ? y ? sin x sin ? ? x ? sin x cos x ? 1 sin 2 x ?2 ?= 2 【答案】 【解析】B 解析: ,所以其周期
T? 2? ?? 2 ,故选 B. y?
【思路点拨】利用诱导公式,二倍角公式,把已知函数化为

1 sin 2 x 2 ,从而得正确.

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】5、已知函数 y=f(x)图象 π 上每个点的纵坐标保持不变, 将横坐标伸长到原来的 2 倍, 然后将整个图象沿 x 轴向左平移2个 1 单位,得到的图象与 y=2sin x 的图象相同,则 y=f(x)的函数表达式为( )

y?
A.

1 1 ? 1 ? sin( x ? ) y ? sin 2( x ? ) 2 2 2 B. 2 2 1 1 ? 1 ? sin( x ? ) y ? sin( 2 x ? ) 2 2 2 D. 2 2

y?
C.

【知识点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.C4

1 ? 【答案】 【解析】D 解析:由题意知,y= 2 sinx 的图象向右平移 2 个单位,然后纵坐标保持不 1 1 变,将横坐标缩短到原来 2 ,即可得到 y=f(x)图象,由图象的变换方法可知,y= 2 sinx 的图

? 1 ? 象向右平移 2 个单位得到函数 y= 2 sin(x﹣ 2 )的图象,再将其图象纵坐标保持不变,将横
1 1 ? 坐 标 缩 短 到 原 来 2 , 可 得 到 y= 2 sin ( 2x ﹣ 2 ) 的 图 象 , ∴ y=f ( x ) 的 表 达 式 为 : y? 1 ? s i n( 2x ? ) 2 2 ,故选 D.

1 ? 【思路点拨】由题意知,y= 2 sinx 的图象向右平移 2 个单位,然后纵坐标保持不变,将横坐 1 标缩短到原来 2 ,即可得到 y=f(x)图象,由图象的变换可得.

C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 【数学文卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】18.(原创) (本 题满分 13 分) 已知 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且有 ( 2a ? c) cos B ? b cos C .⑴ 求角 B 的大小; ⑵设向量 m ? ?cos 2 A ? 1,3 cos A ? 4 ?, n ? ?5,4 ? ,且 m ? n ,求

tan( ? A) 4 的值.

?

【知识点】正弦定理;两角和与差的三角函数;三角形的内角和;诱导公式;向量垂直的性 质,三角函数的求值. C8 C5 C2 C7 F2

? 【答案】 【 解 析 】 (1) 4 ; (2)7. 解 析 : ⑴ 由 条 件 ( 2a ? c) cos B ? b cos C 可 得 :

?

2 sin A ? sin C cos B ? sin B cos C

?

整理得: 2 sin A cos B ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin ?B ? C ? ? sin A

cos B ?
所以

2 ? B? 2 ,又 0 ? B ? ? ,故 4

⑵由 m ? n 可得: 5?cos 2 A ? 1? ? 4?3 cos A ? 4 ? ? 0 整理得: 5 cos A ? 6 cos A ? 8 ? 0
2

cos A ?
从而

4 或 cos A ? ?2 5 (舍去)

又 0 ? A ? ? ,? A 为锐角

sin A ?


3 3 tan A ? 5, 4

?? ? 1 ? tan A tan? ? A ? ? ?7 ?4 ? 1 ? tan A 于是
【思路点拨】(1)利用正弦定理,两角和与差的三角函数,三角形的内角和,诱导公式,将已

知等式化为 2 sin Acos B=sinA

? cos B ?

2 ? B? 2 ,从而得 4; (2)由 m ? n 可得

5 cos A ? 6 cos A ? 8 ? 0
2

? cos A ?

? 4 3 3 tan( ? A) ? sin A ? ? tan A ? 5 5 4 ,可得 4 的值.

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】16、(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (1, sin x) , b =

(cos( 2 x ?

?
3

), sin x)

1 f ( x) ? a ? b ? cos 2 x 2 ,函数 ,

(1)求函数 f(x)的解析式及其单调递增区间;

? ?? 0, ? ? 3 ? 时,求函数 f(x)的值域. ? (2)当 x∈
【知识点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算.C5 F3

? 2? ? ? ? 1 ? k? ? , k? ? (k ? Z ) ? ? ?? ,0? 6 3 ? 【答案】 【解析】(1) ? (2) ? 2 ?
f ( x) ? cos(2 x ? 1 ) ? sin x 2 ? cos 2 x 3 2 ? 1 ? ? sin(2 x ? ) ? 6 2 ……………………………4 分

?

解析: (1)

? 2? ? ? k? ? , k? ? (k ? Z ) ? ? 6 3 ? ? 单调递增区间是 …………………………..6 分
?
(2)

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 6

?

1 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 2 6 ………………………………………………………….8 分 1 ? f ( x) ? 0 2

??

? 1 ? ?? ,0? ? 函数 f(x)的值域是 ? 2 ? ………………………………………………..12 分
【思路点拨】 (1)首先根据 =(1,sinx) , =(cos(2x+ ) ,sinx) ,求出 ;然后根据函

数 f(x)= ? ﹣ cos2x,求出函数 f(x)的解析式;最后根据正弦函数的特征,求出其单调 递增区间即可; (2)当 x∈ [0, 域即可. ]时,可得 2x ,然后求出函数 f(x)的值

【数学文卷·2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试(201411) 】
2 18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 cos x ? 3 ? a .

(1)求函数 f ( x) 的单调递减区间;

x ? [0, ]时f ( x) 2 (2)设 的最小值是 ?2 ,求 f ( x) 的最大值.
【知识点】函数单调性,三角函数化一公式 B3 C5 P

?

【答案】 【解析】(1)

[ k? ?

5? 11? , k? ? ](k ? Z ) 12 12 (2) 3 解

E

析: (1) f ( x) ? sin 2 x ? 3(1 ? cos 2 x) ? 3 ? a

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? a

? 2sin(2 x ?

?
3

A

D C

)?a



B , 得



2k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

3? 2

k? ?

5? 11 ? ? x ? k? ? , k ?Z 12 12 , [ k? ? 5? 11? , k? ? ](k ? Z ) 12 12 ……6 分

? f ( x) 的单调递减区间

(2)

0? x?

?
2

,??

?
3

? 2x ?

?
3

?

3 ? 2? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 3 3 , 2

? f ( x) min ? ? 3 ? a ; f ( x) max ? 2 ? a ,令 ? 3 ? a ? ?2, 得a ? 3 ? 2,
所以 f ( x) max ? 2 ? 3 ? 2= 3 ……12 分 【思路点拨】由原式 f ( x) ? sin 2 x ? 3(1 ? cos 2 x) ? 3 ? a 化简得

f (x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? a

? 2sin(2 x ?

?
3

)?a

,变成一个含有一个角的三角函数的形式再进

行求解即可.

【数学文卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 12. 已

sin(? ?


?
4

)?

1 ? ?? ?? 3, 2 ,则 cos ? ? ▲ .

【知识点】两角和与差的三角函数 C5

?? 2 2 ? ? 1 ? 2 ?4 cos ? ? ? ? ? ? sin(? ? ) ? ?? ?? 4? 3 , 4 3 ,2 ? 【答案】 【解析】 6 解析: 因为 , 所以
? ? ? ? 2 2? 2 1 2 ? cos ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 4? ? 3 ? 2 3 2 ?
2 ?4 6



.

【思路点拨】对于给值求值问题,通常从角入手,用已知角表示所求角,再利用相应的公式 进行计算.

C6 二倍角公式 【数学理卷· 2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试( 201411 ) word 版】 2 .已知

sin x ? cos x ?
18 A. 25

3 2 5 ,则 sin 2 x ? (
7 B. 25 ?



7 C. 25
C6

16 D. 25 ?

【知识点】同角三角函数关系;二倍角公式. C2

sin x ? cos x ?
【答案】 【解析】C 解析

18 3 2 2 ? ? sin x ? cos x ? ? 25 5

? 1 ? 2sin x cos x ?

18 7 ? sin 2 x ? ? 25 25 ,故选 C.

【思路点拨】已知等式两边平方后,利用平方关系和二倍角公式求得结果.

【数学理卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 13. 已

cos(? ?


?
4

)?

3 ? 3? ?? ? 5,2 2 ,则 cos 2? ? _____▲ ____.

【知识点】诱导公式倍角公式 C2 C6

?? 4 ? 24 ? 3? 3? ? 7? sin ? ? ? ? ? ? ?? ? , ?? ? ? 4? 5, 2 4 4 4 ,所以 ? 【答案】 【解析】 25 解析:因为 2
?

?? ? ?? 24 ?? ? ? ? 4? 3 cos 2? ? sin ? ? 2? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 4? 4? 25 . ?2 ? ? ? ? 5? 5 则
【思路点拨】遇到给值求值问题,通常从角入手,观察所求角与已知角之间是否具有和差倍 角关系,再利用相应的公式计算.

【数学文卷· 2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试( 201411 ) word 版】 4. 函数

?? ? y ? sin x sin ? ? x ? ?2 ? 的最小正周期是(



?
A. 2 B.

?

C. 2π

D. 4π C2 C6 C4

【知识点】诱导公式;二倍角公式;弦函数的周期公式.

?? ? y ? sin x sin ? ? x ? sin x cos x ? 1 sin 2 x ?2 ?= 2 【答案】 【解析】B 解析: ,所以其周期
T? 2? ?? 2 ,故选 B. y?
【思路点拨】利用诱导公式,二倍角公式,把已知函数化为

1 sin 2 x 2 ,从而得正确.

C7 三角函数的求值、化简与证明 【数学文卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】18.(原创) (本 题满分 13 分) 已知 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且有 ( 2a ? c) cos B ? b cos C .⑴

求角 B 的大小; ⑵设向量 m ? ?cos 2 A ? 1,3 cos A ? 4 ?, n ? ?5,4 ? ,且 m ? n ,求

tan( ? A) 4 的值.

?

【知识点】正弦定理;两角和与差的三角函数;三角形的内角和;诱导公式;向量垂直的性 质,三角函数的求值. C8 C5 C2 C7 F2

? 【答案】 【 解 析 】 (1) 4 ; (2)7. 解 析 : ⑴ 由 条 件 ( 2a ? c) cos B ? b cos C 可 得 :

?

2 sin A ? sin C cos B ? sin B cos C

?

整理得: 2 sin A cos B ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin ?B ? C ? ? sin A

cos B ?
所以

2 ? B? 2 ,又 0 ? B ? ? ,故 4

⑵由 m ? n 可得: 5?cos 2 A ? 1? ? 4?3 cos A ? 4 ? ? 0 整理得: 5 cos A ? 6 cos A ? 8 ? 0
2

cos A ?
从而

4 或 cos A ? ?2 5 (舍去)

又 0 ? A ? ? ,? A 为锐角

sin A ?


3 3 tan A ? 5, 4

?? ? 1 ? tan A tan? ? A ? ? ?7 ?4 ? 1 ? tan A 于是
【思路点拨】(1)利用正弦定理,两角和与差的三角函数,三角形的内角和,诱导公式,将已

知等式化为 2 sin Acos B=sinA

? cos B ?

2 ? B? 2 ,从而得 4; (2)由 m ? n 可得

5 cos A ? 6 cos A ? 8 ? 0
2

? cos A ?

? 4 3 3 tan( ? A) ? sin A ? ? tan A ? 5 5 4 ,可得 4 的值.

【数学文卷·2015 届湖北省八校高三第一次联考(201412)word 版】18. (本小题满分 12 分) ? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x ? 1( x ? 6 已知函数 R).

(I)求 f ( x) 的单调递增区间; (II)在△ABC 中,三内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,已知
f ( A) ? 1 2 ,b, a, c 成等差数列,且

AB ? AC ? 9 ,求 a 的值.
【知识点】数列与三角函数的综合;三角函数中的恒等变换应用.C7 ? ? [? ? k? , ? k? ](k ? 6 【答案】 【解析】 (Ⅰ ) 3 Z);(Ⅱ) a ? 3 2
f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

解析: (Ⅰ )
?

) ? 2 cos 2 x ? 1 ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x 2 2 ………2 分

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x sin(2 x ? ) 2 2 6 …………………………3 分 =
?

? k? (k ? 6 Z)得, Z) ……5 分 ? ? [? ? k? , ? k? ](k ? 6 故 f ( x) 的单调递增区间是 3 Z)………………………6 分 ? 1 ? ? ? f ( A) ? sin(2 A ? ) ? ? 2 A ? ? 2? ? 6 2 ,0 ? A?? , 6 6 6 (Ⅱ)

?



2

? 2k? ? 2 x ?

?

6

?

?

2

? 2k? (k ?

?

?

3

? k? ? x ?

?

于是

2A ?

?
6

?

5? ? A? 6 ,故 3 …………………………8 分

由 b, a, c 成等差数列得: 2a ? b ? c ,
1 bc ? 9, bc ? 18 AB ? AC ? 9 bc cos A ? 9 由 得 ,2 ………………………………10 分
2 2 2 2 由余弦定理得, a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) ? 3bc ,
2 2 2 于是 a ? 4a ? 54 , a ? 18 , a ? 3 2

…………………………………13 分

) ? 2 cos 2 x ? 1( x ? 6 【思路点拨】 (Ⅰ )已知函数 R)对其进行化简,根据整体代入 法求三角函数的单调区间; (Ⅱ)由于三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知,b,a,c ? 1 f ( A) ? sin(2 A ? ) ? 6 2 ,求出∠ 成等差数列,根据 A 的值,再由已知条件 AB ? AC ? 9 ,求出 a f ( x) ? sin(2 x ?

?

的值.

【 数 学 文 卷 · 2015 届 河 北 省 唐 山 一 中 高 三 上 学 期 期 中 考 试 ( 201411 ) 】 16. 函 数

f ( x) ? sin x ( x ? 0) 的图象与过原点的直线有且只有三个交点 ,设交点中横坐标的最大值为
(1 ? ? 2 ) sin 2?

? ,则

?

=

___

.

【知识点】导数的应用三角恒等变换 B12 C7 【答案】 【解析】2 解析:函数

( f x) ? sinx (x ? 0)

与直线有且只有三个交点,

3? A(?, ? sin? ),? ? (? , ) 2 , 令切点为

? 3? ?? , 2 在?

? ? ' x) ? ?cosx , ? 上, f (
sin?

?cosx ? ?
所以

? ,即 ? ? tan?,
? (1 ? tan 2? ) sin 2? sin 2? ? ?2 tan? sin ? cos ? ,故答案为 2.
? ? ? 上,

(1 ? ? 2 ) sin 2?


?

? 3? 3? A(?, ? sin? ),? ? (? , ) ?? , 2 2 【思路点拨】先根据题意画图,然后令切点为 ,在 ?

根据切线的斜率等于切点处的导数建立等式关系,即可求出 ? ? tan?, ,代入所求化简即可求 出所求.

C8 解三角形 【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】17.(本题满分 12 分)

1 a cos C ? c ? b 2 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 .
(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长的取值范围. 【知识点】正弦定理的应用.C8

2p 2 3 (2, ? 1] 3 【答案】 【解析】 (1) 3 (2)

1 1 a cos C ? c ? b sin A cos C ? sin C ? sin B 2 2 解析:(1)由 得
又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C

1 1 ? sin C ? ? cos A sin C , sin C ? 0,? cos A ? ? 2 2



0? A??

?A?

2? 3 ……….6 分

b?
(2)由正弦定理得:

a sin B 2 2 ? sin B c ? sin C sin A 3 3 ,

l ? a ? b ? c ? 1?

2 2 ? sin B ? sin C ? ? 1 ? ? sin B ? sin ? A ? B ? ? 3 3

? 1?

2 1 3 2 ? ( sin B ? cos B) ? 1 ? sin( B ? ) 2 3 3 2 3

A?

? 3 2? ? ? ? 2? ,? B ? (0, ),? B ? ? ( , ) ? sin( B ? ) ? ( ,1] 3 2 3 3 3 3 3 ,
(2, 2 3 ? 1] 3 ……….12 分

故 ?ABC 的周长的取值范围为

1 sin A cos C ? sin C ? sin B 2 【思路点拨】 (1)根据正弦定理化简题中等式,得 .由三角形的
内角和定理与诱导公式,可得 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,代入前面的等式解出 cosA=

1 2p 2 3 ﹣2, 结合 A∈ (0, π) 可得角 A 的大小; (2) 根据 A= 3 且 a=1 利用正弦定理, 算出 b= 3 sinB

? 2 3 且 c= 3 sinC,结合 C= 3 ﹣B 代入△ ABC 的周长表达式,利用三角恒等变换化简得到△ ABC 的
周长关于角 B 的三角函数表达式,再根据正弦函数的图象与性质加以计算,可得△ ABC 的周长 的取值范围.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】10.在△ ABC 中,已知

AB ? AC ? 9, sin B ? cos A ? sin C, S?ABC ? 6 , P 为 线 段 AB 上 的 点 , 且
CP ? x ? CA CB ? y? , 则 xy | CA | | CB | 的最大值为【】

A.3 B.4 C .5 D.6 【知识点】向量在几何中的应用;平面向量的综合题;正弦定理的应用.C8 F3 【答案】 【解析】A 解析:△ ABC 中设 AB=c,BC=a,AC=b ∵sinB=cosA?sinC,sin(A+C)=sinCcosnA,即 sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA ∴sinAcosC=0,∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°



?

=9,S△ ABC=6,∴bccosA=9, bcsinA=6

∴tanA= ,根据直角三角形可得 sinA= ,cosA= ,bc=15,∴c=5,b=3,a=4 以 AC 所在的直线为 x 轴,以 BC 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系可得 C(0,0) A(3,0)B(0,4) P 为线段 AB 上的一点,则存在实数 λ 使得 =(3λ,4﹣4λ) (0≤λ≤1)





则|

|=|

|=1,

=(1,0) ,

=(0,1) ,



=x

+y

=(x,0)+(0,y)=(x,y)可得 x=3λ,y=4﹣4λ 则 4x+3y=12, ,xy≤3,故所求的 xy 最大值为:3.故选 C.

12=4x+3y≥

【思路点拨】△ ABC 中设 AB=c,BC=a,AC=b,由 sinB=cosA?sinC 结合三角形的内角和及和角的 正弦公式化简可求 cosC 的值,再由 ? =9,S△ ABC=6 可得 bccosA=9, bcsinA=6 可求得 c, b,a,建立以 AC 所在的直线为 x 轴,以 BC 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系,由 P 为线段 AB 上的一点,则存在实数 λ 使得 = ( 3λ , 4 ﹣ 4λ ) ( 0≤λ≤1 ) ,设



则|

|=|

|=1,

=(1,0) ,

=(0,1) ,由

=x

+y

推出 x 与 y 的关系式,利用基本不等式求解最大值.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】7. 在 200m 高的山顶上, 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是 30°、60°,则塔高为【】

400 A. 3 m

200 3 3 m B.

400 3 3 m C.

200 D. 3 m

【知识点】解三角形的实际应用.C8 【答案】 【解析】A 解析:如图所示:设山高为 AB,塔高为 CD 为 x,且 ABEC 为矩形,由题意 得

tan30°=

=

=

,∴BE=

(200﹣x) .

tan60°=

=

,∴BE=

, (m) ,

∴ = (200﹣x) ,x= 故选 A.

【思路点拨】由 tan30°= 从而得到塔高 x 的值.

=

得到 BE 与塔高 x 间的关系,由 tan60°=

求出 BE 值,

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】17.(本题满分 12 分)

1 a cos C ? c ? b 2 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 .
(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长的取值范围. 【知识点】正弦定理的应用.C8

2p 2 3 (2, ? 1] 3 【答案】 【解析】 (1) 3 (2)

1 1 a cos C ? c ? b sin A cos C ? sin C ? sin B 2 2 解析:(1)由 得
又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C

1 1 ? sin C ? ? cos A sin C , sin C ? 0,? cos A ? ? 2 2


0? A??

?A?

2? 3 ……….6 分

b?
(2)由正弦定理得:

a sin B 2 2 ? sin B c ? sin C sin A 3 3 ,

l ? a ? b ? c ? 1?

2 2 ? sin B ? sin C ? ? 1 ? ? sin B ? sin ? A ? B ? ? 3 3

? 1?

2 1 3 2 ? ( sin B ? cos B) ? 1 ? sin( B ? ) 2 3 3 2 3

A?

? 3 2? ? ? ? 2? ,? B ? (0, ),? B ? ? ( , ) ? sin( B ? ) ? ( ,1] 3 2 3 3 3 3 3 ,
(2, 2 3 ? 1] 3 ……….12 分

故 ?ABC 的周长的取值范围为

1 sin A cos C ? sin C ? sin B 2 【思路点拨】 (1)根据正弦定理化简题中等式,得 .由三角形的
内角和定理与诱导公式,可得 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,代入前面的等式解出 cosA=

1 2p 2 3 ﹣2, 结合 A∈ (0, π) 可得角 A 的大小; (2) 根据 A= 3 且 a=1 利用正弦定理, 算出 b= 3 sinB

? 2 3 且 c= 3 sinC,结合 C= 3 ﹣B 代入△ ABC 的周长表达式,利用三角恒等变换化简得到△ ABC 的
周长关于角 B 的三角函数表达式,再根据正弦函数的图象与性质加以计算,可得△ ABC 的周长 的取值范围.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】10.在△ ABC 中,已知

AB ? AC ? 9, sin B ? cos A ? sin C, S?ABC ? 6 , P 为 线 段 AB 上 的 点 , 且
CP ? x ? CA CB ? y? , 则 xy | CA | | CB | 的最大值为【】

A.3 B.4 C .5 D.6 【知识点】向量在几何中的应用;平面向量的综合题;正弦定理的应用.C8 F3 【答案】 【解析】A 解析:△ ABC 中设 AB=c,BC=a,AC=b ∵sinB=cosA?sinC,sin(A+C)=sinCcosnA,即 sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA ∴sinAcosC=0,∵sinA≠0∴cosC=0 C=90° ∵ ? =9,S△ ABC=6,∴bccosA=9, bcsinA=6

∴tanA= ,根据直角三角形可得 sinA= ,cosA= ,bc=15,∴c=5,b=3,a=4 以 AC 所在的直线为 x 轴,以 BC 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系可得 C(0,0) A(3,0)B(0,4) P 为线段 AB 上的一点,则存在实数 λ 使得 =(3λ,4﹣4λ) (0≤λ≤1)





则|

|=|

|=1,

=(1,0) ,

=(0,1) ,



=x

+y

=(x,0)+(0,y)=(x,y)可得 x=3λ,y=4﹣4λ 则 4x+3y=12, ,xy≤3,故所求的 xy 最大值为:3.故选 C.

12=4x+3y≥

【思路点拨】△ ABC 中设 AB=c,BC=a,AC=b,由 sinB=cosA?sinC 结合三角形的内角和及和角的 正弦公式化简可求 cosC 的值,再由 ? =9,S△ ABC=6 可得 bccosA=9, bcsinA=6 可求得 c, b,a,建立以 AC 所在的直线为 x 轴,以 BC 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系,由 P 为线段 AB 上的一点,则存在实数 λ 使得 = ( 3λ , 4 ﹣ 4λ ) ( 0≤λ≤1 ) ,设



则|

|=|

|=1,

=(1,0) ,

=(0,1) ,由

=x

+y

推出 x 与 y 的关系式,利用基本不等式求解最大值.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】7. 在 200m 高的山顶上, 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是 30°、60°,则塔高为【】

400 A. 3 m

200 3 3 m B.

400 3 3 m C.

200 D. 3 m

【知识点】解三角形的实际应用.C8 【答案】 【解析】A 解析:如图所示:设山高为 AB,塔高为 CD 为 x,且 ABEC 为矩形,由题意 得

tan30°=

=

=

,∴BE=

(200﹣x) .

tan60°=

=

,∴BE=

, (m) ,

∴ = (200﹣x) ,x= 故选 A.

【思路点拨】由 tan30°= 从而得到塔高 x 的值.

=

得到 BE 与塔高 x 间的关系,由 tan60°=

求出 BE 值,

【数学理卷·2015 届湖北省武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试(201411) 】 17. (本小题满分 12 分) 设角 是 的三个内角,已知向量 ,且 (Ⅰ )求角 的大小; . ,

(Ⅱ )若向量 【知识点】正弦定理余弦定理 C8

,试求

的取值范围

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

C?

2 5 ? ? s?t ? 2 3 (Ⅱ) 2

2 2 2 解析:(Ⅰ)由题意得 m ? n ? (sin A ? sin C ) ? (sin B ? sin A sin B ) ? 0 ,

即 sin C ? sin A ? sin B ? sin A sin B ,由正弦定理得 c ? a ? b ? ab ,
2 2 2 2 2 2

cos C ?
再由余弦定理得

? a2 ? b2 ? c2 1 ? 0 ? C ? ? ,? C ? ? 3 .……………6 分 2ab 2,
B ? 1) ? (cos A, cos B) 2 ,
2? ? A) 3

? s ? t ? (cos A,2 cos 2
(Ⅱ)
2

?

s ? t ? cos 2 A ? cos 2 B ? cos 2 A ? cos 2 (
1 ? cos(

1 ? cos 2 A ? ? 2

4? ? 2 A) 1 3 1 ? 3 ? cos 2 A ? sin 2 A ? 1 ? ? sin(2 A ? ) ? 1 2 4 4 2 6

?0 ? A ?

2? ? ? 7? 1 ? ,? ? ? 2 A ? ? ?? ? sin(2 A ? ) ? 1 3 6 6 6 2 6 ,

2 2 5 1 5 ? s?t ? ? s?t ? 2 .……………………12 分 4 ,故 2 所以 2
2 2 2 【思路点拨】 :(Ⅰ)由题意得 m ? n ? (sin A ? sin C ) ? (sin B ? sin A sin B ) ? 0 ,

即 sin C ? sin A ? sin B ? sin A sin B 再结合正弦定理余弦定理即可求出角
2 2 2

.

? s ? t ? (cos A,2 cos 2
(Ⅱ)
2

B ? 1) ? (cos A, cos B) 2 , 2? 1 ? ? A) ? ? sin(2 A ? ) ? 1 3 2 6 ,

?

s ? t ? cos 2 A ? cos 2 B ? cos 2 A ? cos 2 (

0? A?

2 2? 1 ? 1 5 , ?? ? sin(2 A ? ) ? 1 ? s?t ? 3 可求 2 6 4. ,所以 2

【数学理卷· 2015 届湖北省八校高三第一次联考 (201412) 】 17. (本小题满分 12 分) 已知△ ABC 3 1 cos A ? cos C ? 4, 8. 的三内角 A, B, C 所对边的长依次为 a,b,c,若 (Ⅰ )求 a : b : c ; (Ⅱ )若 | AC ? BC |? 46 ,求△ ABC 的面积. 【知识点】正弦定理;平面向量数量积的运算.C8 F3
5 7 【答案】 【解析】 (Ⅰ ) 16 ;(Ⅱ )

15 7 4

2 1? ( 3 4)

解析:( I )依题设:sinA=

1 ? cos 2 A

1? (1 1 ? cos 2 C 8) = 8 , = 4 ,sinC= =
2

7

3 7

故 cosB=cos[π-(A+C)]=-cos (A+C)=-(cosAcosC-sinAsinC)=-( 则:sinB=

3 32



21 32

9 16 )= .

1 ? cos 2 B



9 )2 1 ? ( 16

5 7 = 16

所以 a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? 4:5:6…………………………………………6 分 ( II ) 由( I )知: a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? 4:5:6, 不妨设:a=4k,b=5k,c=6k,k>0.故知:| AC |=b=5k,| BC |=a=4k.

依题设知:| AC |2+| BC |2+2| AC || BC |cosC=46 ? 46k2=46,又 k>0 ? k=1. 故△ ABC 的三条边长依次为:a=4,b=5,c=6.
1 3 7 15 7 ? 4? 5? ? 8 4 …………………………………………12 分 △ ABC 的面积是 2

【思路点拨】 (Ⅰ)A,C 为三角形内角,先求出 sinA,sinC,由 cosB=cos[π-(A+C)]展开即可 求出 cosB 的值,从而可求出 sinB,由正弦定理即可求出 a:b:c 的值; (Ⅱ)由正弦定理和已 知可求出 a,b,c 的值,即可求出△ ABC 的面积.

【数学理卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 18. (本 题满分 14 分)在 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 ?B ? 30 , ? ABC 的面

3 积为 2 .
(Ⅰ)当 a, b, c 成等差数列时,求 b ; (Ⅱ)求 AC 边上的中线 BD 的最小值. 【知识点】解三角形 C8

3? 3 【答案】 【解析】 (Ⅰ) b ? 1 ? 3 ; (Ⅱ) 2
解 析 : ( Ⅰ
2











b2 ? a 2 ? c 2 ? 3ac ? ? a ? c ? ? 2 ? 3 ac ? 4b 2 ? 6 2 ? 3
2 2

?

?

?

? ,得 b ? 1?
2

a+c+2b,ac=6,



3;

? BA ? BC ? BA ? BC BA ? BC ? 2BA ? BC BD ? , BD ? ? ? ? 2 2 4 ? ? (Ⅱ)因为

a 2 ? c2 ? 3ac 2ac ? 3ac 12 ? 6 3 3 ? 3 ? ? ? 2 2 2 2 ,当 a ? c ? 6 时等号成立. =
【思路点拨】计算中线的长度时,可利用向量巧妙的转化为三角形边之间的关系进行解答.

【数学理卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四 中) 高三上学期第二次联考 (201412) word 版】 17. (本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别是 ?ABC

? 2b ? c cos C ? a cos A . 的三个内角 A, B, C 的对边,

(1)求角 A 的大小;

(2)若 ?ABC 的面积 S ?

3 ,求 ?ABC 周长的最小值.
C8 E6

【知识点】正弦定理;余弦定理;基本不等式求最值.

? 2b ? c cos C 2? ? a cos A ,由 【答案】 【解析】 (1) 3 ; (2) 4 ? 2 3 解析: (1) ?ABC 中,∵ ? 2 sin B ? sin C cos C ? sin A cos A ,………………………….2 分 正弦定理,得:


? 2 sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C





? 2 s i nB c o sA ? s i n ( A ? C ) ? s i nB ………………………………4 分
1 2? ? cos A ? ? , A ? 2 3 …………………………………………….6 分

?A?
(2)

1 2? S ? bc sin A ? 3 2 3 ,且 ,? bc ? 4 …………………8 分
2 2 2 2 2

由余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? bc ? 2bc ? bc ? 3bc ? 12

? a ? 2 3 ,又 b ? c ? 2 bc ? 4 ,………………………………………10 分
当且仅当 b ? c ? 2 时, a 的最小值为 2 3 , b ? c 的最小值为 4 , 所以周长 a ? b ? c 的最小值为 4 ? 2 3 .………………………………….12 分 【思路点拨】 (1)将正弦定理代入已知等式,用两角和与差的三角函数及诱导公式得结果; (2)由(1)的结论和 ?ABC 的面积 S ?

3 得, bc ? 4 ,在由余弦定理得:

a2 ? b2 ? c2 ? bc ? 2bc ? bc ? 3bc ? 12 ? a ? 2 3 ,又 b ? c ? 2 bc ? 4 ,这两个不等式中
等号成立的条件都是 b=c=2,所以得周长 a ? b ? c 的最小值为 4 ? 2 3 .

【数学理卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四 中)高三上学期第二次联考(201412)word 版】二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分.

13.已知

a ? 2, e

2? 为单位向量,当向量 a , e 的夹角为 3 时, a ? e 在 a 上的投影为.

【知识点】平面向量数量积的运算;平面向量数量积的含义与物理意义.F3 C8

3 【答案】 【解析】 2 解析:根据题意画出图形如下图:

设 OA = a, OE = e , 根 据 余 弦 定 理 得 :

| OB |= 22 +12 - 2创 1 2? cos

p 3

3
,所以

? OBA 900 ,? BOA 300 ,则 a ? e 在 a 上的投影为

3 cos 300 =

3 3 2 ,故答案为 2 。

【思路点拨】利用数量积运算、投影的意义即可得出.

【数学理卷·2015 届云南省部分名校高三 12 月统一考试(201412) 】6.在 ?ABC 中,若

tan A tan B ? 1,则 ?ABC 是(



A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 【知识点】解三角形 C8 【答案】A 【解析】因为 A 和 B 都为三角形中的内角,由 tanAtanB>1,得到 1-tanAtanB<0,

tan A ? tan B 且得到 tanA>0,tanB>0,即 A,B 为锐角,所以 tan(A+B)= 1 ? tan A tan B <0,

? 则 A+B∈( 2 ,π) ,即 C 都为锐角,所以△ABC 是锐角三角形.
【思路点拨】利用两角和的正切函数公式表示出 tan(A+B) ,根据 A 与 B 的范围以及 tanAtanB >1,得到 tanA 和 tanB 都大于 0,即可得到 A 与 B 都为锐角,然后判断出 tan(A+B)小于 0, 得到 A+B 为钝角即 C 为锐角,所以得到此三角形为锐角三角形.

【数学文卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】18.(原创) (本 题满分 13 分) 已知 求角 的大小; 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且有 .⑴

⑵设向量 m ? ?cos 2 A ? 1,3 cos A ? 4 ?, n ? ?5,4 ? ,且 m ? n ,求

的值.

【知识点】正弦定理;两角和与差的三角函数;三角形的内角和;诱导公式;向量垂直的性 质,三角函数的求值. C8 C5 C2 C7 F2

? 【答案】 【 解 析 】 (1) 4 ; (2)7. 解 析 : ⑴ 由 条 件 ( 2a ? c) cos B ? b cos C 可 得 :

?

2 sin A ? sin C cos B ? sin B cos C

?

整理得: 2 sin A cos B ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin ?B ? C ? ? sin A

cos B ?
所以

2 ? B? 2 ,又 0 ? B ? ? ,故 4

⑵由 m ? n 可得: 5?cos 2 A ? 1? ? 4?3 cos A ? 4 ? ? 0 整理得: 5 cos A ? 6 cos A ? 8 ? 0
2

cos A ?
从而

4 或 cos A ? ?2 5 (舍去)

又 0 ? A ? ? ,? A 为锐角

sin A ?


3 3 tan A ? 5, 4

?? ? 1 ? tan A tan? ? A ? ? ?7 4 1 ? tan A ? ? 于是
【思路点拨】(1)利用正弦定理,两角和与差的三角函数,三角形的内角和,诱导公式,将已

知等式化为 2 sin Acos B=sinA

? cos B ?

2 ? B? 2 ,从而得 4; (2)由 m ? n 可得

5 cos A ? 6 cos A ? 8 ? 0
2

? cos A ?

? 4 3 3 tan( ? A) ? sin A ? ? tan A ? 5 5 4 ,可得 4 的值.

【数学文卷·2015 届湖南省衡阳市五校高三 11 月联考(201411) 】7、已知锐角△ABC 的内 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则 b=() A.10B.9C.8 D.5 【知识点】余弦定理.C8

1 【答案】 【解析】D 解析:∵ 23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A-1=0,即 cos2A= 25 ,A 为锐角, 1 ∴ cosA= 5 ,又 a=7,c=6, 12 根据余弦定理得:a2=b2+c2-2bc?cosA,即 49=b2+36- 5 b, 13 解得:b=5 或 b=- 5 (舍去) ,则 b=5.故选 D ?
【思路点拨】利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式,求出 cosA 的值,再由 a 与 c 的值, 利用余弦定理即可求出 b 的值.

【数学文卷· 2015 届浙江省嘉兴一中等五校 2015 届高三上学期第一次联考 (201412) 】 18. (本 题满分 14 分)锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,已知

cos ? B ? A ? ? 2sin 2

C . 2

(Ⅰ)求 sin A sin B 的值; (Ⅱ)若 a ? 3, b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 【知识点】解三角形 C8

3 2? 3 1 2 【答案】 【解析】 (Ⅰ)2 (Ⅱ) 解析: (Ⅰ) 由条件得 cos(B-A)=1-cosC=1+cos(B+A),
1 所以 cosBcosA+sinBsinA=1+cosBcosA-sinBsinA,即 sinAsinB= 2 ;
sin A a 3 ? ? (Ⅱ) sin B b 2

sin A sin B ?
,又

3 3 1 sin A ? ,sin B ? 2 ,解得: 2 3 ,

1 6 ? cos A ? ,cos B ? 2 3 , 因为是锐角三角形, sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos Asin B ? 3 2? 3 6

1 1 3 2? 3 3 2? 3 S? ? ab sin C ? ? 3 ? 2 ? ? 2 2 6 2 .

【思路点拨】在解三角形时,得到角的关系后注意利用三角形内角和向所要解决的问题进行 转化,求三角形面积的关键是利用正弦定理求出角 C 的正弦值.

【数学文卷·2015 届河北省唐山一中高三上学期期中考试(201411) 】13.在 ?ABC 中,a, b, c

分 别 是 内 角 A, B, C 的 对 边 , 若 为 . 【知识点】余弦定理 C8 【答案】 【解析】 3 解析:因为

A?

?
3

,b ? 1

3 , ?ABC 的 面 积 为 2 , 则 a 的 值

S

ABC

1 3 ? bc sin A ? 2 2 ,所以可得 c ? 2 ,由余弦定理可得

b2 ? c 2 ? a 2 1 cos A ? ? 2bc 2 ,代入可得 a ? 3 ,故答案为 3 .
S
【思路点拨】由
ABC

?

1 bc sin A 2 结合已知可求 c,然后利用余弦定理可得 a 的值.

C9 单元综合 【数学理卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期期中考试(201411)word 版】20. (本小题 满分 12 分)

[0, ] 4 内最大值为 2 , 已知函数 f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) ? m, (m ? R ) ,在区间
(1)求实数 m 的值;

?

3 f ( B) ? 1, a ? c ? 2 (2)在 ?ABC 中,三内角 A、B、C 所对边分别为 a, b, c ,且 4 ,求 b 的
取值范围. 【知识点】三角函数单元综合. C9

【答案】 【解析】 (1)-1; (2) 1 ? b ? 2 , (当 ?ABC 为正三角形时, b ? 1 ) 解析: (1) f ( x) ? 2 cos x sin x ? 2 cos x ? m ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? m
2

? 2 sin( 2 x ?

?
4

) ? m ?1

x ? [0, ] 2 sin( 2 x ? ) 4 时, 4 最大值为 2 ,所以 m ? ?1 ,当

?

?

3 3 ? 3 ? 3? f ( B) ? 1 ? 2 sin( B ? ) ? 1 ? B ? ? 2 4 2 4 4 , (? 0 ? B ? ? ) (2) 4

B?
解得

?
3 由正弦定理得:

b?

a?c 3 ? sin B ? ? sin A ? sin C 2

2 sin A ? sin( 2? ? A) 3

sin A ? sin(

2? 3 1 3 1 ? ? A) ? sin A ? cos A ? sin A ? 3 ( sin A ? cos A) ? 3 sin( A ? ) 3 2 2 2 2 6

? 3 2? A? ? sin A ? sin( ? A) ? 3 3 时取最大值 3 ) 3 所以, 2 , (当
所以, 1 ? b ? 2 , (当 ?ABC 为正三角形时, b ? 1 ) 【思路点拨】 (1)利用二倍角公式,两角和与差的三角函数公式,把已知函数化为:

? 2 sin( 2 x ?
F(x)=

?
4

) ? m ?1

[0, ] 4 内最大值 2 +m+1= 2 ,所以 m=-1; ,进而求得 f(x)在区间

?

B?
(2)由(1)得

?
3 ,再由正弦定理及等比定理得

b?

a?c 3 ? sin B ? ? sin A ? sin C 2

1 ? 2? ? 2? ? A ? ? 0, sin A ? sin( ? A) sin( A ? ) ? ? 3 ? 3 6 ,因为 =

2

可得 1 ? b ? 2 .