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湖南省衡阳市第一中学2015-2016学年高一数学下学期期末考试试题


衡阳市一中 2016 年上 期期末考试高一数学试卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小 题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的。 1.设集合 M ? x x 2 ? x ? 2 ? 0 , N ? x x ? 2 ,则( A. M ? N ? ? C. M ? N ? M 2.数列 1,3,7,15,…的通项 a n 可能是( A. 2
n

?

?

?

?

)

B. M ? N ? M D. M ? N ? R ) C. 2 ? 1
n

B. 2 ? 1
n

D. 2

n ?1

3.已知角 ? 的终边过点 P (8m , 3) ,且 cos? ? ?

4 ,则 m 的值为( 5

)

A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2
)

4.在 ? ABC 中,角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c ,则以下结论错误的为(

A.若

sin A cos B cosC 0 ? ? ,则 A ? 90 a b c

B.

a b?c ? sin A sinB ? sinC

C.若 sin A ? sin B ,则 A ? B ;反之 ,若 A ? B ,则 sin A ? sin B D.若 sin 2 A ? sin 2 B ,则 a ? b 5.把函数 y ? sinx( x ? R) 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的

1 (纵坐标不变) ,再 2
)

把所得图象上所有的点向左平移

? 个单位长度后得到图象的函数表达式为( 6
2x ? B. y ? sin( 1 2

2x ? A. y ? sin( 1 2

?
6

) x?R

?
3

) x?R

C. y ? sin ( x ?

?
6

) x?R

D. y ? sin ( x ?

?
3

) x?R

1

6.已知三个不等式:① ab ? 0 ;② bc ? ad ;③

c d ? .以其中两个作为条件,余下一个 a b
)

作为结论,则可以组成正确命题的个数是( A. 0 B. 1 C. 2

D. 3 ) D.不能确定

7.在 ? ABC 中,若 sin A ? 2 cos B sin C ,则 ? ABC 的形状是 ( A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形

? ? ?) ? 8.已知 tan(
1 8

2 ? 1 ? , tan(? ? ) ? ,则 tan ( ? ? )?( 3 4 2 4 1 2
C.

)

A.

B.

3 2

D.

1 6

sin( ? ? ) ? cos( ? ??) 2 9.已知 sin ? ? 2 cos ? ,则 ?( ? sin( ? ? ) ? sin( ? ??) 2
A. 2 B. ? 2 C. 0

?

)

D.

2 3

10.在平面直角坐标系中,若点 ( ?2, t ) 在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 的上方,则实数 t 的取值范围 是( ) B. (0 , 1)
2

A. (1 , ? ? )

C. ( ?1 , ? ? )

D. ( ?? , 1)

11.如果不等式 (m ? 1) x ? 2(m ? 1) x ? 1 ? 0 对任意实数 x 恒成立,则实数 m 的取值范 围是( A. [?1 , 0) ) B. (?1 , 0) C. ( ?1 , ? ? ) D. ( ?? , 0) ) D. 2014

12.已知数列 ?a n ? ,若 a1 ? 2, a n?1 ? a n ? 2n ? 1 ,则 a 2016 ? ( A. 2011 B. 2012 C. 2013

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 设 a ? 0, b ? 0 ,且 3 是 3 与 3 的等比中项,则
a b

1 1 ? 的最小值为________. a b
2

14.已知数列 ?a n ? 的通项公式 a n ? (n ? 2) ? ? ? ,则数列 ?a n ? 的项取最大值时,

? 6? ?7?

n

n?
1 ? 2 a n ,0 ? a n ? , ? 3 ? 2 ?? 且 a1 ? , 则 a 2016 ? 5 ? 2a ? 1, 1 ? a ? 1, n n ? 2 ?

15.已知数列 ?a n ? 满足 a n ? 1

16.在 ? ABC 中, AC ? AB ? BC ? 2 ,则 ? ABC 面积的最大值为

三、解答题:其中第 19、20、21、22 题为附加题。解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤。 17. (本小题满分 10 分) 若等比数列 ?a n ? 的公比 q ? 1 ,前 n 项和为 S n ,已知 a 3 ? 2, S 4 ? 5 S 2 ,求 ?a n ? 的通 项公式

18. (本小题满分 10 分) 某公司生产甲、乙两种产品,已知生产一台甲产品需资金 30 万元,劳动力 5 人,可获 利润 6 万元,生产一台乙产品需资金 20 万元,劳动力 10 人,可获利润 8 万元。若该公司有 300 万元的资金和 110 个劳动力可供生产这两种产 品,那么这两种产品各生产多少台,才能 使利润最大?最大利润是多少?

19. (附加题:本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 cos

?x
2

sin(

?x
2

?

?

1 ? ) ? (? ? 0) 的图象相邻两条对称轴的距离为 6 2 2

(1) 求函数 f ( x ) 的解析式及其单调增区间; (2) 在 ? ABC 中,角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c ,若 f (

A 1 ) ? cos A ? ,且 2 2

3

bc ? 1, b ? c ? 3 ,求 a 的值.
20. (附加题:本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? x ? a (1) 若函数 f ( x ) 的最大值为

17 ,求实数 a 的值; 8

(2) 解不等式 f ( x ) ? 1(a ? R) .

21. (附加题:本小题满分 13 分) 在递增的等差数列 ?a n ? 中,已知 a 2 ? a 3 ? 10, a1 ? a4 ? 16 (1) 求数列 ?a n ? 的通项公式; (2) 若数列 ?bn ? 满足 a n ? 公式; (3) 令 c n ?

b b b1 b ? 2 2 ? 3 3 ? ? ? n n ,求数列 ?bn ? 的通项 3?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1

a n bn ,求数列 ?c n ? 的前 n 项和 Tn . 4

22. (附加题:本小题满分 13 分) 设向量 a ? (1, cos2? ),b ? (2,1), c ? ( 4 sin ? ,1), d ? ( (1)求 a ? b ? c ? d 的取值范围; (2)若函数 f ( x) ?| x ? 1 |,比较f (a ? b)与f (c ? d ) 的大小

? 1 其中 ? ? (0, ) . sin ? ,1) , 4 2

衡阳市一中 2016 年上期期末考试高一数学试卷 参考答案

4

一.

选择题: BCAD BDCA

B AAC

二、填空题: 13. 4 14. 4或5 15.

4 5

16.

3

三、解答题:

?a 1 q 2 ? 2 ? 17.解:由题可知 ? a 1 (1 ? q 4 ) a1 (1 ? q 2 ) ? 5? ? 1? q ? 1? q

(1) ( 2)

由(2)得 1 ? q 4 ? 5(1 ? q 2 ) ,解得 q ? ?1 或 q ? ?2 因为 q ? 1 ,所以 q ? ?1 或 q ? ?2 当 q ? ?1 时,代入(1)得 a1 ? 2 ,通项公式 a n ? 2 ? (?1) n?1 当 q ? ?2 时,代入(1)得 a 1 ?

1 1 n ?1 ,通项公式 a n ? ? ( ?2) 2 2

18.解:设生产甲产品 x 台,乙产品 y 台,利润 z 万元,则

? 30x ? 20 y ? 300 ?5 x ? 10 y ? 110 ? 线性约束条件为 ? ,目标函数为 z ? 6 x ? 8 y ?x ? N ? ?y? N
根据约束 条件画出可行域,作直线 l : 6 x ? 8 y ? 0 ,即 3 x ? 4 y ? 0 平移直线 l ,当直线 l 过 ( 4,9) 时, z 取最大值,即 x ? 4, y ? 9 时,

zmax ? 96 (万元)
答:生产甲产品 4 台,乙产品 9 台,最大利润为 96 万元

19.解: (1)

5

f ( x ) ? 2 cos

3 ?x 1 ?x 1 ?x ?x ?x 1 sin ? cos ) ? ? 3 sin cos ? cos2 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 ? cos?x 1 3 1 ? ? sin?x ? ? ? sin?x ? cos?x ? sin( ?x ? ) 2 2 2 2 2 6 (

?x

由相邻两条对称轴间的距离为

? ,知 f ( x ) 的最小正周期 T ? ? ,则 ? ? 2 2

2x ? 所以 f ( x ) ? sin (

?
6

)

令 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,k ? Z

得 f ( x ) 的递增区间为 [k? ?

?
3

, k? ?

?
6

](k ? Z )

(2)由 f (

A 1 ? 1 ) ? cos A ? 得 sin(A ? ) ? cos A ? 2 2 6 2



? 1 3 1 1 sinA ? cos A ? , si n (A ? ) ? 6 2 2 2 2

? 0 ? A ? ? ,? ?

?
6

? A?

?
6

?

5? ? ? ? ,? A ? ? ,即 A ? 6 6 6 3

2 2 2 2 又 bc ? 1, b ? c ? 3 ,根据余弦定理可得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) ? 3bc ? 6

?a ? 6
20.解: (1) a ? ? 2 或 a ? ?

1 8

(2)当 a ? 0 时,原不等式解集为 ? x x ? 1或x ? ? 当 a ? 0 时,原不等式解集为 x x ? 1 当?

? ?

a ? 1? ? a ?

?

?

1 a ? 1? ? ? a ? 0 时,原不等式解集为 ? x 1 ? x ? ? ? 2 a ? ?
1 时,原不等式解集为 ? 2

当a ? ?

6

当a ? ?

1 a ?1 ? ? 时,原不等式解集为 ? x ? ? x ? 1? 2 a ? ?

21.解: (1) a n ? 2n (2) bn ? 2(3 n ? 1) (3) c n ?

a n bn ? n( 3 n ? 1) ? n ? 3 n ? n 4

Tn ? c1 ? c 2 ? c 3 ? ? ? c n ? (1 ? 3 ? 2 ? 3 2 ? 3 ? 3 3 ? ? ? n ? 3 n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)
令 H n ? 1 ? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? n ? 3n 则 3H n ? 1 ? 3 2 ? 2 ? 3 3 ? 3 ? 34 ? ? ? n ? 3 n?1 两式相减得 ? 2 H n ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? 3
2 3 n n?1

3( 3 n ? 1) ? ? n ? 3 n?1 3?1

所以 H n ?

( 2n ? 1) ? 3 n?1 ? 3 4

所以 Tn ?

( 2n ? 1) ? 3 n?1 n( n ? 1) 3 ? ? 4 2 4

22.解: (1)∵ a ? b ? 2 ? cos 2?,c ? d ? 2sin ∴ a ? b ? c ? d ? 2cos 2? ,……3 分 ∵0 ?? ?

? ?

? ? ?

2

? ? 1 ? 2 ? cos 2? ,

? ? ? ? ?

?
4

,∴ 0 ? 2? ?

?
2

,∴ 0 ? 2 cos 2? ? 2 ,

∴ a ? b ? c ? d 的取值范 围是(0,2)……6 分 (2)∵ f (a ? b) ?| 2 ? cos 2? ?1|?|1 ? cos 2? |? 2cos2 ? ,

? ?

? ? ? f (c ? d ) ?| 2 ? cos 2? ?1|?|1 ? cos 2? |? 2sin 2 ? ,
∴ f (a ? b) ? f (c ? d ) ? 2(cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 2cos 2? , ∵0 ?? ?

? ?

? ? ?

?
4

,∴ 0 ? 2? ?

?
2

,∴ 2 cos 2? ? 0 ,∴ f (a ? b) ? f (c ? d ) ……13 分

? ?

? ? ?

7


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