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吉林省吉林大学附属中学2016届高三第二次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案


一心为展凌云翼,三载可化大鹏飞
吉大附中高中部 2015-2016 学年下学期

高三年级第二次模拟考试 数学(文科) 试 卷
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟 命题人:吴普林 审题人:刘爽 注意事项: 1.请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上; 2.客观题的作答:将正确答案填涂在答题纸指定的位置上; 3.主观题的作答:必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答,在此区域外书写的答案 无效;在草稿纸、试卷上答题无效。

第Ⅰ卷(客观题 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,每小题给出四个选项中,只有一项符合题目 要求. (1)设集合 A ? {x |

1 ? 2x?2 ? 1} , B ? {x |1 ? x2 ? 0} ,则 A ? B 等于 4 (A) {x | ?1 ? x ≤ 1} (B) {x |1 ≤ x ? 2} (C) {x | 0 ? x ≤ 1} (D) {x | 0 ? x ? 2}

(2)已知等比数列{an}中, a1 ? a2 ? 3 , a3 ? a4 ? 12 ,则 a5 ? a6 ? (A)3 (B)15 (C)48
2 2

(D)63

1] 上随机取一个数 k ,使直线 y ? k ( x ? 2) 与圆 x ? y ? 1 相交的概率为 (3)在区间 [?1,
3 3 1 1 (B) (C) (D) 3 2 2 3 (4)设复数 z ? x ? yi (x,y∈R),i 为虚数单位,则下列结论正确的是

(A)

(A)|z ? z | ? 2y (B)z2 ? x2+y2 (C)|z ? z | ? 2 x (D)|z| ? |x|+|y| (5)执行两次下图所示的程序框图,若第一次输入的 a 的值为 ?1.2 ,第二次输入的 a 的值为 1.2,则第一次、第二次输出 的 a 的值分别为 (A)0.2,0.2 (B)0.2,0.8 (C)0.8, 0.2 (D)0.8,0.8 (6)2016 年 3 月 9 日至 15 日,谷歌人工智能系统“阿尔法”迎战围棋冠军李世石,最终 结果“阿尔法”以总比分 4 比 1 战胜李世石.许多人认为这场比赛是人类的胜利,也有 许多人持反对意见, 有网友为此进行了调查, 在参加调查的 2548 名男性中有 1560 名持

1

反对意见, 2452 名女性中有 1200 名持反对意见,在运用这些数据说明“性别”对判 断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时,应采用的统计方法是 (A)茎叶图 (B)分层抽样 (C)独立性检验 (D)回归直线方程 (7)下列函数既是奇函数,又在区间 (0 , 1) 上单调递减的是 (A) f ( x) ? x3 (C) f ( x) ? ln (B) f ( x) ? ? | x ? 1|

1? x (D) f ( x) ? 2x ? 2? x 1? x (8)已知一个几何体可切割成一个多面体及一个旋转体的一部分,其三视图如图所示,则 1 该几何体的体积是 1 1 3 (A) ? 1 1 2

(B) ? ? 1 (C) ? ? (D) ?

正视图
1 2 1

侧视图

1 6

(9)给定两个命题 p,q,若 ? p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是 ? q 的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (10)将所有正偶数按如下方式进行排列,则 2 016 位于 第 1 行:2 4 第 2 行:6 8 10 12 第 3 行:14 16 18 20 22 24 第 4 行:26 28 30 32 34 36 38 40 ?? ?? ?? (A)第 30 行 (B)第 31 行 (C)第 32 行 (D)第 33 行 (11)已知四棱锥 P ? ABCD 的顶点都在球 O 的球面上,底面 ABCD 是矩形, AB ? 2AD ? 4 平面 PAD ? 底面 ABCD , △PAD 为等边三角形,则球面 O 的表面积为 32? 64? (A) (B) 32? (C) 64? (D) 3 3 (12)已知集合 { f ( x) | f ( x) ? ax2 ? | x ? 1| ?2a ? 0 ,x ? R} 为空集,则实数 a 的取值范围是 (A) [ (C) [
3+1 ,+?) 2 3 ?1 ,+? ) 4

俯视图

(B) [

3+1 ,+?) 4 3 ?1 ) 4

(D) ( ?? ,

第Ⅱ卷(主观题 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
? x ? y ? 1≥0 , ? (13)若实数 x,y 满足 ? x ? y≥0 , 则 z=3x+2y 的最小值是 ? x≤0 , ?

.

??? ? ??? ? (14)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE ? BD ? __________.

2

(15) 函数 f ( x) 的图象如图所示, f ?( x) 是 f ( x) 的导函数,设 a ? f ?(?2) , b ? f ?(?3) , c ? f (?2) ? f (?3) ,则 a , b, c 由小到大的关系为 .
y
4 3 2 1 -5 - 4 - 3 - 2 - 1

O

x

(16)已知数列{an}满足 a1 ? 1, an ?1 ?

an 1 (n ? N* ) .若 bn ?1 ? (n ? ? )( ? 1) ,b1 ? ?? ,且 an ? 2 an

数列{bn}是递增数列,则实数 λ 的取值范围是

.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) , C b, c , 且 满 足 已 知 △ABC 的 内 角 A , B 的 对 边 分 别 为 a, sin(2 A ? B) ? 2 ? 2cos( A ? B) . sin A b (Ⅰ)求 的值; a (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 7 ,求 △ABC 的面积.

(18) (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形,E,F 分别是 BC,CC1 的中点. (Ⅰ)证明:平面 AEF⊥平面 B1BCC1; (Ⅱ)若直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45° ,求三棱锥 F ? AEC 的体积.

(19) (本小题满分 12 分) 已知某中学高三文科班学生共有 800 人参加了数学与地理的水平测试, 现学校决定利用 L , 800 进行 随机数表法从中抽取 100 人进行成绩抽样统计,先将 800 人按 001,002 ,003 , 编号. (Ⅰ)如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的 3 个人的编号; (下面摘取了第 7 行至第 9 行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 (Ⅱ)抽的 100 人的数学与地理的水平测试成绩如下表: 数学 人数 优秀 良好 及格 地 优秀 7 20 5
3



良好

b 4 及格 成绩分为优秀、 良好、及格三个等级, 横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩,例如: 表中数学成绩为良好的共有 20 ? 18 ? 4 ? 42 人,若在该样本中,数学成绩优秀率为 30% ,求 a, b 的值. b≥8 的 a , b 表示成有序数对 (a , b) ,求“在地理成绩为及格的学生 (Ⅲ)将 a ≥10 , b) 的概率. 中,数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的数对 (a ,

9 a

18

6

(20) (本小题满分 12 分) 已 知 点 H (? 6, 0) , 点 P ( 0,b )在 y 轴 上 , 点 Q(a ,0) 在 x 轴 的 正 半 轴 上 , 且 满 足 ???? ??? ???? ? ? ???? ? HP ? PQ ,点 M 在直线 PQ 上,且满足 PM ? 2 MQ = 0 , (Ⅰ)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 T (?1 , 0) 作直线 l 与轨迹 C 交于 A 、 B 两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴 的交点为 E ( x0 , 0) ,设线段 AB 的中点为 D ,且 2 | DE |? 3 | AB | ,求 x0 的值.

(21) (本小题满分 12 分) ax 已知函数 f ( x) ? 2 ? a ,g(x) ? aln x ? x(a ? 0). x ?1 (Ⅰ)求函数 f (x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 当 a > 0 时, 对于任意 x1, x2∈(0, e], 总有 g(x1) < f (x2)成立, 其中 e ? 2.71828? 是自然对数的底数.

请考生在第 22、23、24 题任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时 请写清楚题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

1 如图, 过圆 E 外一点 A 作一条直线与圆 E 交于 B ,C 两点, 且 AB ? AC , 作直线 AF 与 3 圆 E 相切于点 F ,连结 EF 交 BC 于点 D ,已知圆 E 的半径为 2 , ?EBC ? 30? . (Ⅰ)求 AF 的长; ED (Ⅱ)求 的值. AD
F D C E B A

4

5

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x ? 4 ? 5cos t 已知曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴非负半 ? y ? 5 ? 5sin t 轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(其中 ?≥0 , 0 ≤ ? ? 2? ) .

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)求不等式 2 x ? 2| x|≥2 2 的解集; a2 b2 (a ? b)2 (Ⅱ)已知实数 m ? 0 ,n ? 0 ,求证: ? … . m n m?n

6

吉大附中高中部 2015-2016 学年下学期高三年级第二次模拟考试 数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出四个选项中,只有一项符合题 目要求. 题号 选项 1 B 2 C 3 C 4 D 5 C 6 C 7 C 8 B 9 A 10 C 11 D 12 B

提示: (10)第 n 行的最后一个数为 2[n(n+1)]. 令 n=31,最后一个数为 1984.令 n=32,最后一个数为 2112. (11)将四棱锥 P ? ABCD 补成正三棱柱,则四棱锥 P ? ABCD 的外接球就是正三棱柱的外 接球,容易求得外接球半径 R ?
4 3

.

| x ? 1| | x ? 1| (12) ax2 ? | x ? 1| ?2a …0 恒成立,∴ a … 2 ,设 g ( x) ? 2 ,故 a …g ( x)max . x ?2 x ?2
令 t ? x ? 1 ,则 g ( x) ? ? (t ) ?
|t | . t ? 2t ? 3 ①当 t ? 0 时, g ( x) ? ? (t ) ? 0 ,∴ a ? 0 .
2

②当 t ? 0 时, g ( x) ? ? (t ) ?

t 1 1 3+1 ,∴ a ? ? ? ? t ? 2t ? 3 t ? 3 ? 2 4 2 3?2 t
2

3+1 . 4

③ 当 t ? 0 时 , g ( x )? ? t( ? )
3 ?1 . 4

?t ?1 1 1 ? ? ? ? 3 3 t ? 2t ? 3 t ? ? 2 ?t ? ? 2 2 3 ? 2 t t
2

? 3 4

1 ,∴

a?

3+1 . 4 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)1 (15) a ? c ? b

综上,取交集得 a ?

(14)2 (16) (?? ,2)

提示: (16)易知 1 2 1 1 = +1,∴ +1=2( +1). an an+1 an an+1 1 1 又 a1=1,∴ +1=( +1) 2 n ?1 =2n,∴bn+1=(n-λ)2n,∴ bn ? (n ? 1 ? ? )2n?1 , an a1 当 n ? 1 时, b1 ? ?? 也符合, ∴bn+1-bn=(n-λ)2n-(n-1-λ) 2 n ?1 =(n-λ+1) 2 n ?1 >0,∴n+1>λ, 又 n∈N*,∴λ<2.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本题满分 12 分)
7

解析: (Ⅰ)∵

sin(2 A ? B) ? 2 ? 2cos( A ? B) , sin A ∴ sin(2 A ? B) ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? B) , ∴ sin[ A ? ( A ? B)] ? 2sin A ? 2sin A cos( A ? B) , ∴ sin( A ? B) cos A ? cos A sin( A ? B) ? 2sin A ,
∴ sin B ? 2 sin A ,

??2 ??4 ??6

分 分 ∴ b ? 2a ,∴ 分

b ?2. a

b ? 2 ,∴ b ? 2 , a a2 ? b2 ? c2 1 ? 4 ? 7 1 2? ∴ cos C ? . ? ? ? ,∴ C ? 3 2ab 4 2
(Ⅱ)∵ a ? 1, c? 7, 分
1 1 3 3 ab sin C ? ? 1 ? 2 ? ? , 2 2 2 2 3 即 △ABC 的面积的 . 2 12 分 (18) (本题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)证明:如图,因为三棱柱 ABC A1B1C1 是直三棱柱,所以 AE⊥BB1. 又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 又 BC ? BB1 ? B ,因此 AE⊥平面 B1BCC1.

??10

∴ S△ABC ?

??

??3 ??5

分 而 AE?平面 AEF,所以平面 AEF⊥平面 B1BCC1. 分

(Ⅱ)设 AB 的中点为 D,连接 A1D,CD. 因为△ABC 是正三角形,所以 CD⊥AB. 又三棱柱 ABC A1B1C1 是直三棱柱,所以 CD⊥AA1. 又 AB ? AA1 ? A ,因此 CD⊥平面 A1ABB1, 于是∠CA1D 为直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角. 分 由题设,∠CA1D=45°,所以 A1D=CD= 3 AB= 3. 2

??8

1 2 在 Rt△AA1D 中,AA1= A1D2-AD2= 3-1= 2,所以 FC= AA1= . 2 2 分 1 1 3 2 6 故三棱锥 F AEC 的体积 V= S△AEC·FC= × × = . 3 3 2 2 12 分

??10

??12

8

(19) (本题满分 12 分) 199 . 解析: (Ⅰ)依题意,最先检测的 3 个人的编号依次为 785 ,667 , ??3 分 7?9?a (Ⅱ)由 ??5 ? 0.3 ,得 a ? 14 , 100 分 因为 7 ? 9 ? a ? 20 ? 18 ? 4 ? 5 ? 6 ? b ? 100 , 所以 b ? 17 . ??7 分 b≥8 . (Ⅲ)由题意,知 a ? b ? 31 ,且 a ≥10 , 21) , (11, 20) , (12 , 19) , (13 , 18) , (14 , 17) , (15 , 16) , b) 有: (10 , 故满足条件的 (a , (16 , 15) , (17 , 14) , (18 , 13) , (19 , 12) , (20 , 11) , (21 , 10) , (22 , 9) , (23 , 8) 共 14 组. ??9 分 其 中 数 学 成 绩 为 优 秀 的 人 数 比 及 格 的 人 数 少 有 : ( 1 ,0 , 2 , 1 ) ,( , 1 1 , 2, 0 ), ( 1 2 1 9 ) ( 1 3 1 8 ) (14 , 17) , (15 , 16) 共 6 组. ??11 分 ∴数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为

6 3 ? . 14 7

??12

分 (20) (本题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)设点 M 的坐标为 ( x ,y ) ,则 ??? ? ??? ? ???? ? ???? ? HP ? (6 , b) , PQ ? (a , ? b) , PM ? ( x , y ? b) , MQ ? (a ? x , ? y) , ???? ??? ? 由 HP ? PQ ,得: 6a ? b2 ? 0 . 分 3 ? ???? ? ???? ? ? x ? 2(a ? x) ?a ? x 由 PM ? 2 MQ = 0 得: ? ?? 2 , ? y ? b ? ?2 y ? b ? 3 y ? 分 则由 6a ? b2 ? 0 得 y 2 ? x ,故点 M 的轨迹 C 的方程为 y 2 ? x ( x ? 0) . 分 (Ⅱ)由题意知直线 l : y ? k ( x ? 1) ,设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则
? y ? k ( x ? 1) , 联立 ? 得 k 2 x2 ? (2k 2 ? 1) x ? k 2 ? 0(k ? 0) , ? ? 1 ? 4k 2 ? 0 . 2 y ? x , ? y ? y2 1 1 1 1 ∴ x1 ? x2 ? 2 ? 2 ,x1 x2 ? 1 ,∴ 1 ,∴ D( 2 ? 1 , ) , ? k 2 2k 2k 2k

??2

??3

??4

??6



1 1 1 1 1 1 1 ,令 y ? 0 ,解得 x0 ? ? 1 ? 2 ? 2 ? , lDE : y ? ? ( x ? 2 ? 1) ? k 2k 2k 2 2k 2k 2 1 1 ∴ E( 2 ? , 0) , 2k 2

1 1 1 1? k2 ∴ | DE |? ( )2 ? ( ) 2 ? , 2 2k 2 k2

??8

∴ | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |??

1 ? k 2 ? 1 ? 4k 2 , k2
9

1? k2 | 3 ? 1 ? k ? 1 ? 4k 2k , ∵ 2 | DE |? 3 | AB | ,故有 ? 2 k2 1? k2
2 2

|

??10

分 ∴
3 ? 1 ? 4k 2 1 3 5 ?| | ,化简得 k 2 ? ,此时 x0 ? . k2 k 3 13

??12

分 (21) (本题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)函数 f (x)的定义域为 R,f ′(x)= 1分 当 a>0 时,当 x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,1) f ′(x) 0 - + f (x) ↘ ↗ 当 a<0 时,当 x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,1) f ′(x) 0 + - f (x) ↗ ↘ 综上所述, 1 0 (1,+∞) - ↘ (1,+∞) + ↗ a(1-x2) a(1-x)(1+x) = . (x2+1)2 (x2+1)2 ??

1 0

当 a>0 时,f (x)的单调递增区间为(-1,1),单调递减区间为(-∞,-1),(1,+∞); 当 a<0 时,f (x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单调递减区间为(-1,1). ? ?5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当 a>0 时,f (x)在区间(0,1)上单调递增,f (x) >f (0)=a; ae f (x)在区间(1,e]上单调递减,且 f (e)= 2 +a>a,所以当 x∈(0,e]时,f (x)>a. ?? e +1 6分 a 因为 g(x)=aln x-x,所以 g′(x)= -1,令 g′(x)=0,得 x=a. x ①当 a≥e 时,g′(x)≥0 在区间(0,e]上恒成立, 所以函数 g(x)在区间(0,e]上单调递增,所以 g(x)max=g(e)=a-e<a. 所以对于任意 x1,x2∈(0,e],仍有 g(x1)<f(x2). 8分 ②当 0<a<e 时,由 g′(x)>0,得 0<x<a;由 g′(x)<0,得 e≥x>a,所以函数 g(x)在区间(0, a) 上 单 调 递 增 , 在 区 间 (a , e] 上 单 调 递 减 . 所 以 g(x)max = g(a) = aln a - a. ??9 分 因为 a-(aln a-a)=a(2-ln a)>a(2-ln e)=a>0, 所以对任意 x1,x2∈(0,e],总有 g(x1)<f (x2). 12 分 ?? ??

10

综上所述,对于任意 x1,x2∈(0,e],总有 g(x1)<f (x2).

请考生在第 22、23、24 题任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解析:(Ⅰ)延长 BE 交圆 E 于点 M ,连结 CM ,则 ?BCM ? 90? ,
?EBC ? 30? ,所以 BC ? 2 3 , 又 BM ? 2BE ? 4 , 1 1 又 AB ? AC ,可知 AB ? BC ? 3 ,所以 AC ? 3 3 . 3 2 2 根据切割线定理得 AF ? AB ? AC ? 3 ? 3 3 ? 9 , 即 AF ? 3 .

??5

分 (Ⅱ)过 E 作 EH ? BC 于 H ,则 △EDH ∽△ADF ,从而有

ED EH , ? AD AF

1 又由题意知 CH ? BC ? 3 ,EB ? 2 ,所以 EH ? 1, 2 ED 1 因此 ? . AD 3 10 分 F A
D C E B

??

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x ? 4 ? 5cos t 解析: (Ⅰ)将 ? 消去参数 t ,化为普通方程 ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 25 , y ? 5 ? 5sin t ? 即 C1 : x2 ? y 2 ? 8x ? 10 y ? 16 ? 0 .
? x ? ? cos ? , 将? 代入 x2 ? y 2 ? 8x ? 10 y ? 16 ? 0 , ? y ? ? sin ? ,

得 ? 2 ? 8? cos? ? 10? sin ? ? 16 ? 0 . 所以 C1 的极坐标方程为 ? 2 ? 8? cos? ? 10? sin ? ? 16 ? 0 . 5分 (Ⅱ) C2 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 .
2 2 ? ?x ? 1 ?x ? 0 ? x ? y ? 8x ? 10 y ? 16 ? 0 , 由? 解得 ? 或? . 2 2 y ? 1 y ? 2 ? ? x ? y ? 2 y ? 0 , ? ?

??

所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ( 2 ,

?
4

) ,(2 ,

?
2

).

??10

11



(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

1 解析: (Ⅰ)①当 x≥0 时,有 2x ? 2x ≥2 2 ,∴ 2 x ≥ 2 2 ,解得 x≥ . 2 x ?x x 2 x ②当 x ? 0 时,有 2 ? 2 ≥2 2 ,即 (2 ) ? 2 2 ? 2 ? 1≥0 .
解得 2 x ≤ 2 ? 1 或 2x ≥ 2 ? 1 ,又 x ? 0 ,∴ x ≤ log2 ( 2 ? 1) , 1 ∴原不等式解集为 {x | x ≥ 或 x ≤ log2 ( 2 ? 1) } . 2 分 (Ⅱ)∵
?
a 2 b 2 (a ? b)2 na 2 ? mb 2 (a ? b)2 (m ? n)(na 2 ? mb 2 ) ? mn(a ? b)2 ? ? ? ? ? m n m?n mn m?n mn(m ? n)

1

??5

n 2 a 2 ? m 2 b 2 ? 2mnab (na ? mb) 2 ? ≥0, mn(m ? n) mn(m ? n)

∴ 10 分

a2 b2 (a ? b)2 ,当且仅当 na ? mb 时等号成立. ? … m n m?n

??

12


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