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【课标版】2012届高三数学全国高考模拟重组预测试卷4B


试卷类型: 试卷类型:B 届高三全国高考模拟重组预测试卷四 2012 届高三全国高考模拟重组预测试卷四 数 学
适用地区:新课标地区 考查范围:集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式 、立体几何、解析几何 概率统计 本试卷分第Ⅰ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考生作答时,将答案填在答题 选择题)和第Ⅱ 非选择题)两部分,考生作答时, 卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 注意事项: 答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓 准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 铅笔填涂,如需改动, 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号; 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 保持卡面清洁,不折叠,不破损. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 做选考题时,考生按照题目要求作答, 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑. 涂黑. 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 选择题( 小题, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 只有一项是符合题目要求的) 广东卷]已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y 为实数 1.[2011·广东卷 广东卷 且 y=x},则 A∩B 的元素个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.某几何体的俯视图是如右图所示的矩形,正视图(或称主视图)是 一个底边长为 8、高为 5 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是 一个底边长为 6、高为 5 的等腰三角形.则该几何体的体积为 ( ) A.24 B. 80 C. 64 D. 240 (理 [2011·广东卷 广东卷]甲、 乙两队进行排球决赛, 现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军, 3. 理 ) ( 广东卷 乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 ( ) 1 3 2 3 A. B. C. D. 2 5 3 4 (文)[2011·安 徽 安 “ 江 南 十 校 ” 联 考 ]第 16 届亚运会于 2010 年 11 月 12 日在中

国广州举行,运动会期间来自 A 大学 2 名和 B 大学 4 名的共计 6 名大学生志愿者,现 从这 6 名志愿者中随机抽取 2 人到体操比赛场馆服务,至少有一名 A 大学志愿者的概 率是( ) B.

1 A. 15

2 5

C.

3 5

D.

14 15

山东济南调研]右图是 2011 年在某大学自主招生面试环节中,七位评 7 9 4.[2011·山东济南调研 山东济南调研 委为某考生打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所 8 4 4 6 4 7 9 3 剩数据的平均数和方差分别为( )

A. 84, 4.84

B. 84,1.6

C. 85,1.6

D.

85, 4

山东济宁 5.[2011·山东济宁一模]将一张坐标纸折叠一次,使点(10,0)与(-6,8)重合,则与点 山东济宁一 (-4,2)重合的点是( ) A. (4,-2) B. (4,-3) C. (3,

3 ) 2

D. (3,-1)

uuu uuu uuur uuu r r r
[2011·山东济宁一模] 平面上有四个互异的点 A、 C、 满足 AB - BC) AD -CD )=0 , 山东济宁 B、 D, ( ? ( 6. 山东济宁一 ) B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 x 2 ?6 ? 2 (理 天津卷] ) 7. 理)[2011·天津卷 在? 2 - ? 的二项展开式中,x 的系数为( ( 天津卷 x? ? 15 3 3 15 A.- B. C.- D. 4 4 8 8 则三角形 ABC 是( A.直角三角形 (文)一个人以 6 米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车, 当他离汽车 25 米时交通灯 由红变绿, 汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同), 汽车在时刻 t 的速度 为

v (t ) = t

米/秒, 那么, 此人(

)

A. 可在7秒内追上汽车 B. 可在9秒内追上汽车 C. 不能追上汽车, 但其间最近距离为 14 米 D. 不能追上汽车, 但其间最近距离为 7 米 (理 8. 理)现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻 ( 译、导游、礼仪、司机四项工作 之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但 ) 能从事其他三项工作,丙丁戊都能 胜任四项工作,则不同安排方案的种数是( A.152 B.126 C.90 D.54

x2 y2 (文)[2011·皖南八校二模 皖南八校二模 = 1 的一个焦点, 皖南八校二模]抛物线 y = 16 x 的准线经过双曲线 2 ? 8 a
2

则双曲线的离心率为( A.2

) C. 2 D.2 2

B. 3

S 2009 S 2007 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 = ?2010 , 2009 ? 2007 = 2 ,则 S 2010 = 9.设等差数列
( ) B.2008 C.-2010 D.2010 A.-2008

?y≥x, ? 10. [2011·湖南卷 设 m>1, 湖南卷] 在约束条件?y≤mx, 10. 湖南卷 ?x+y≤1 ?
则 m 的取值范围为( A.(1,1+ 2) C.(1,3) )

下, 目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,

B.(1+ 2,+∞) D.(3,+∞)

11. [2011·安 徽 “ 江 南 十 校 ” 联 考 ]已知函数 f ( x) = sin x + a cos x 的图象的一条对称 安

5π ,则函数 g ( x) = a sin x + cos x 的最大值是( ) 3 2 2 2 3 4 2 6 B. C. D. A. 3 3 3 3
轴是 x = 12.设直线 x = t 与函数 f ( x) = x 2 , g ( x) = ln x 的图象分别交于点 M , N ,则当 | MN | 达到 12. 最小时 t 的值为( A.1 B. ) C.

1 2

5 2

D.

2 2

第Ⅱ卷 每小题 将答案填在答题卷相应位置上) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卷相应位置上) 填空题 本大题 13. ( 辽宁卷] 13. 理)[2011·辽宁卷 调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单 辽宁卷 位:万元),调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 ^ y 对 x 的回归直线方程:y =0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加________万元. 江苏南京 (文)[2011·江苏南京一模]在集合 A = {2,3} 中随机取一个元素 m ,在集合 B = {1, 2,3} 中 江苏南京一 随机取一个元素 n ,得到点 P(m, n) ,则点 P 在圆 x 2 + y 2 = 9 内部的概率为 14.[2011·天津南开中学月考]已知椭圆 . 天津南开中学月考 天津南开中学月考 且|PF1|=6,则 ∠F1 PF2 = 15. 陕西卷] 15.[2011·陕西卷 观察下列等式 陕西卷 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …… 照此规律,第 n 个等式为__________________________________________________. 16.[2011·安徽卷 在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点(x,y)为整点,下列 16. 安徽卷] 安徽卷 命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y=kx+b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点; ④直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是:k 与 b 都是有理数; ⑤存在恰经过一个整点的直线. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 解答题 本大题 17. 本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = A sin(ω x + ? ) 17. 本小题 (本小 ( .

x2 y 2 + = 1 的左右焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上, 25 18


( A > 0, ω > 0, ? <

π
2

) 的图象

与 y 轴的交点为 (0,1) ,它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别

为 ( x0 , 2) 和 ( x0 + 2π , ?2) .

且 18. 本小题满分 12 分) (本小题 [2011·天津红桥区一模 天津红桥区一模]设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn , bn = 2 ? 2 S n ; 天津红桥区一模 数列 {an } 为等差数列,且 a5 = 14, a7 = 20 . (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)若 cn = an ? bn ( n = 1, 2,3…), Tn 为数列 {cn } 的前 n 项和,求证: Tn <

7 . 2

19.( 湖南卷] 19.(理)[2011·湖南卷 如图,在圆锥 PO 中,已知 PO= 2,⊙O 的直径 AB=2,C 是 AB 湖南卷 的中点,D 为 AC 的中点. (1)证明:平面 POD⊥平面 PAC; (2)求二面角 B-PA-C 的余弦值.

如图,ABEDFC 为多面体, 平面 ABED 与平面 ACFD 垂直, O 在线段 AD 上, 点 (文)

OA = 1 , OD = 2 ,△ OAB ,△ OAC ,△ ODF ,△ ODE 都是正三角形.
(1)证明:直线 BC ? EF ; (2)求棱锥 F ? OBED 的体积.

20.(本小题 20.(本小题满分 12 分)

辽宁卷] (理)[2011·辽宁卷 某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称 辽宁卷 为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙. (1)假设 n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X,求 X 的分布列和 数学期望; (2)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地 上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表: 403 397 390 404 388 400 412 406 品种甲 419 403 412 418 408 423 400 413 品种乙 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差; 根据试验结果, 你认为 应该种植哪一品种? 1 - 附:样本数据 x1,x2,…,xn 的样本方差 s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2], n 其中 x 为样本平均数. 东北三省四市质检]某科考试中,从甲、乙两个班级各抽取 10 名同学的成绩 (文)[2011·东北三省四市质检 东北三省四市质检 进行统计分析,两班成绩的茎叶图如图所示,成绩不小于 90 分为及格. (1)甲班 10 名同学成绩标准差 乙班 10 名同学成绩标准差(填“>”,“<”) ; (2)从甲班 4 名及格同学中抽取两人,从乙班 2 名 80 分以下的 同学中取一人,求三人 平均分不及格的概率.

甲 257 368 24 68

7 8 9 10

乙 89 678 1235 1

21.(本小题 课标全国卷] 21.(本小题满分 12 分)[2011·课标全国卷 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1), 课标全国卷 → → → → → → B 点在直线 y=-3 上,M 点满足MB∥OA,MA·AB=MB·BA,M 点的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处的切线,求 O 点到 l 距离的最小值. 22. 本小题 辽宁卷] 22. 本小题满分 14 分)[2011·辽宁卷 已知函数 f(x)=lnx-ax2+(2-a)x. ( 辽宁卷 (1)讨论 f(x)的单调性; 1 1 1 (2)设 a>0,证明:当 0<x< 时,f?a+x?>f?a-x?; ? ? ? ? a (3)若函数 y=f(x)的图象与 x 轴交于 A, 两点, B 线段 AB 中点的横坐标为 x0, 证明 f′(x0) <0.

试卷类型:B 试卷类型:B

届高三全国高考模拟重组预测试卷四参考答案 2012 届高三全国高考模拟重组预测试卷四参考答案 数学
1. 【答案】C 【解析】集合 A 表示以原点为圆心的单位圆,集合 B 表示过原点的直线,显然有两个交 点,故选 C. 2.【答案】B 【解析】结合题意知该几何体是四棱锥,棱锥的底面是边长为 8 和 6 的长方形,棱锥的高 是 5,∴由棱锥的体积公式得 V = 3. (理) 【答案】D 1 【解析】根据互斥事件概率与独立事件概率得:第一局甲就胜了,概率为 ;另一种情 2 1? ?1? 1 1 1 3 况为第一局甲输了,第二局甲胜了,概率为?2?×?2?= ,所以甲胜的概率为 + = . ? 4 2 4 4 (文) 【答案】C 【解析】 P = 4. 【答案】C 【解析】 x = 80 +

1 × 8 × 6 × 5 = 80 ,故选 B. 3

2× 4 1 9 3 6 3 + = = ,另解: P = 1 ? = ,故选 C. 15 15 15 5 15 5 25 4+4 = 85 , s 2 = = 1.6. 5 5

5. 【答案】A 【解析】由条件,以(10,0)和(-6,8)为端点的线段的垂直平分线方程为 y=2x, 则与点(-4,2)重合的点即为求点(-4,2)关于直线 y=2x 的对称点,求得为(4, -2) ,选 A. 6. 【答案】B 【 解 析 】 由

( AB ? BC )?( AD ? CD ) = 0 得 ( AB ? BC )?( AD + DC ) = 0 uuu uuu uuur r r uuu uuu uuu uuu r r r r AB ? BC )?AC = 0 , ( AB ? BC )?( AB + BC ) = 0 , (
uuu uuu r r uuur uuu r uuu uuu r r uuur uuur
uuu 2 r uuu 2 r uuu r uuu r



即 AB ? BC = 0, 故 AB = BC , 故为等腰三角形,选 B. 7.( 【答案】C 7.(理) x?6-r? 2 ?r - - - =(-1)r22r 6Cr x3 r, 6 x? ?2? ? 3 × - 1 令 r=1,则 x2 的系数为(-1)·22 1 6C6=- . 8 【答案】D (文) 【解析】 根据题意构造函数 S (t ) = 选 D. 【解析】由二项式展开式得,Tr+1=Cr ? 6

1 2 t + 25 ? 6t , 可求当 t=6 秒时, S(t)的最小值为 7. 故 2

8.(理) 【答案】B
2 【解析】分类讨论:若有 2 人从事司机工作,则方案有 C3 × A 3 = 18 ;若有 1 人从事司 3

2 3 机工作,则方案有 C1 × C4 × A 3 = 108 种,所以共有 18+108=126 种,故 B 正确. 3

(文) 【答案】C 【解析】由题意可求得 a = 8 ,离心率 e =
2

2.

9. 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为 d,因为

(n-1) n Sn na1 + 2 d d d ?S ? = = a1 + (n ? 1) , 故 ? n ? 为首项为 ? 2010,公差为 的 等 差 数 n n 2 2 ?n? S 2009 S 2007 ? =2 列 , 所 以 由 2009 2007 可 知 等 差 数 列 的 公 差 d=2 , 所 以 2010 × 2009 S 2010 = 2010 × (?2010) + × 2 = ?2010 . 2

1 m 1 m 直线 x+y=1 与 y=mx 的交点为?m+1,m+1?.由图可知,当 x= ,y= 时, ? ? m+1 m+1 1 m 目标函数 z=x+my 有最大值小于 2,则有 +m× <2,得 1- 2<m<1+ 2. m+1 m+1 又因为 m>1,故 m 的取值范围为 1<m<1+ 2,故选 A. 11. 【答案】B 【解析】 f (0) = f (

10 3 a 3 π ) ,∴ a = ? ? ,∴ a = ? , 3 2 2 3 3 2 3 2π 2 3 g ( x) = ? sin x + cos x = sin( x + ) ,∴ g ( x) max = ,故选 B. 3 3 3 3

12. 【答案】D 【 解 析 】 由 题 意 得 | MN |= x 2 ? ln x ( x > 0) , 不 妨 令 h( x) = x 2 ? ln x , 则

h'( x) = 2 x ?

1 2 2 , 令 h'( x) = 0 解 得 x = , 因 x ∈ (0, ) 时 , h'( x) < 0 , 当 x 2 2

x∈(

2 2 2 , +∞) 时, h'( x) > 0 ,所以当 x = 时, | MN | 达到最小,即 t = . 2 2 2

13. (理) 【答案】0.254 ^ ^ 【解析】由题意得y2-y1=[0.254(x+1)+0.321]-[0.254x+0.321]=0.254,即家庭年收 入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加 0.254 万元. 1 (文) 【答案】 3 【解析】由题意得到的点 P ( m, n ) 有: ( 2,1) , ( 2, 2 ) , ( 2,3) , ( 3,1) , ( 3, 2 ) , ( 3,3) ,共计 6 个,在圆 x + y = 9 的内部的点有 ( 2,1) , ( 2, 2 ) ,所以概率为
2 2

2 1 = . 6 3

14. 【答案】

π 3

【解析】由|PF1|=6,可求|PF2|=4,且 F1 F2 = 2 7 ,

36 + 16 ? 28 1 π = , ∠F1 PF2 = . 48 2 3 2 15. 【答案】 n + ( n + 1) + ( n + 2) + L + (3n ? 2) = (2n ? 1)
故 cos ∠F1 PF2 = 【解析】由每一行分析发现规律是以后每一个数都比前一个数大 1,再对每一行的第一 个数分析找规律为以后每一个数都比前一个数大 1, 对每一行的最后一个数分析找规律 2, 2, 2 为 1,4,7,10,…,(3n-2),对结果找规律为 1 3 5 ,…,(2n-1)2,所以第 n 个等式为 n +(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 16.【答案】①③⑤ 【解析】 ①正确,比如直线 y= 2x+ 3,不与坐标轴平行,且当 x 取整数时,y 始终 是一个无理数,即不经过任何整点;②错,直线 y= 3x- 3中 k 与 b 都是无理数,但 直线经过整点(1,0);③正确,当直线经过两个整点时,它经过无数多个整点;④错误, 1 1 当 k=0,b= 时,直线 y= 不通过任何整点;⑤正确,比如直线 y= 3x- 3只经过一 3 3 个整点(1,0). 17.解: 解 (1)由题意可得 A = 2,

T 2π 1 = 2π ,即 = 4π ,∴ ω = , 2 ω 2 1 π f ( x ) = 2 sin( x + ? ) .又 f (0) = 2 sin ? = 1 ,由 ? < , 2 2

∴? =

π
6

,∴ f ( x ) = 2 sin ?

π? ?1 x+ ?. 6? ?2

2π 1 π π 1 π (k ∈ Z) , f ( x0 ) = 2 sin( x0 + ) = 2 ,所以 x0 + = 2kπ + , x0 = 4kπ + 2 6 2 6 2 3 2π 又Q x0 是最小的正数,∴ x0 = . 3
(2) f (4θ ) = 2 sin(2θ +

π

6

) = 3 sin 2θ + cos 2θ ,

2 2 π 1 , Q θ ∈ (0, ), cos θ = ,∴ sin θ = 2 3 3

7 4 2 , ∴ cos 2θ = 2 cos 2 θ ? 1 = ? ,sin 2θ = 2sin θ cos θ = 9 9 ∴ f (4θ ) = 3 ? 4 2 7 4 6 7 ? = ? . 9 9 9 9

18.解: (1)由 bn = 2 ? 2 S n , 令n = 1, 则b1 = 2 ? 2 S1 , 又S1 = b1 , 所以b1 =

2 , 3

2 b2 = 2 ? 2(b1 + b2 ), 则b2 = . 9 当n ≥ 2时,由bn = 2 ? 2 S n , 可得bn ? bn ?1 = ?2( S n ? S n ?1 ) = ?2bn , 即 bn 1 = . bn ?1 3

2 1 1 所以{bn } 是以b1 = 为首项, 为公比的等比数列,于是bn = 2 ? n . 3 3 3 1 (2)数列 {an } 为等差数列,公差 d = ( a7 ? a5 ) = 3, 可得an = 3n ? 1 . 2 1 从而 cn = an ? bn = 2(3n ? 1) ? n , 3 1 1 1 1 ∴Tn = 2[2 ? + 5 ? 2 + 8 ? 3 + … + (3n ? 1) ? n ], ① 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 Tn = 2[2 ? 2 + 5 ? 3 + 8 ? 4 + … + (3n ? 4) ? n + (3n ? 1) ? n +1 ], ② 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 ①-②得 Tn = 2[2 ? + 3 ? 2 + 3 ? 3 + … + 3 ? n ? (3n ? 1) ? n +1 ], 3 3 3 3 3 3 7 7 1 n 7 从而 Tn = ? ? n ? n ?1 < . 2 2 3 3 2

又 PO⊥底面⊙O,AC?底面⊙O,所以 AC⊥PO.因为 OD,PO 是平面 POD 内的两条 相交直线,所以 AC⊥平面 POD,而 AC?平面 PAC,所以平面 POD⊥平面 PAC. (2)在平面 POD 中,过 O 作 OH⊥PD 于 H, 由(1)知,平面 POD⊥平面 PAC,所以 OH⊥平面 PAC. 又 PA?面 PAC,所以 PA⊥OH. 在平面 PAO 中,过 O 作 OG⊥PA 于 G,连结 HG,则有 PA⊥平面 OGH.从而 PA⊥HG. 故∠OGH 为二面角 B-PA-C 的平面角. 2 在 Rt△ODA 中,OD=OA·sin45°= . 2 2 2× 2 PO·OD 10 在 Rt△POD 中,OH= = . 2 2= 5 1 PO +OD 2+ 2

2×1 PO·OA 6 = . 2 2= PO +OA 2+1 3 10 5 OH 15 = . 在 Rt△OHG 中,sin∠OGH= = OG 5 6 3 15 10 所以 cos∠OGH= 1-sin2∠OGH= 1- = . 25 5 10 . 故二面角 B-PA-C 的余弦值为 5 解法二:(1)如图所示,以 O 为坐标原点,OB,OC,OP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.则 在 Rt△POA 中,OG=

1 1 O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0, 2),D?-2,2,0?. ? ? → → 设 n1=(x1,y1,z1)是平面 POD 的一个法向量,则由 n1·OD=0,n1·OP=0,得 ?-1x1+1y1=0, ? 2 2 ?

? 2z1=0. ?

所以 z1=0,x1=y1.取 y1=1,得 n1=(1,1,0). → → 设 n2 = (x2 , y2 , z2)是 平 面 PAC 的一 个 法 向 量, 则 由 n2· PA = 0 , n2· PC = 0 , 得

?-x2- 2z2=0, ? ?y2- 2z2=0.
所以 x2=- 2z2,y2= 2z2, 取 z2=1,得 n2=(- 2, 2,1). 因为 n1·n2=(1,1,0)·(- 2, 2,1)=0,所以 n1⊥n2.从而平面 POD⊥平面 PAC. (2)因为 y 轴⊥平面 PAB, 所以平面 PAB 的一个法向量为 n3=(0,1,0). 由(1)知, 平面 PAC 的一个法向量为 n2=(- 2, 2,1). 设向量 n2 和 n3 的夹角为 θ,则 n2·n3 2 10 cosθ= = = . |n2|·|n3| 5 5 10 . 5 (1)证明:设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点. 由于△OAB 与△ODO 都是正 (文)解: 由图可知, 二面角 B-PA-C 的平面角与 θ 相等, 所以二面角 B-PA-C 的余弦值为 三角形,所以 OB

?

同 理 , 设 G ′ 是 线 段 DA 与 FC 延 长 线 的 交 点 , 有 又由于 G 和 G ′ 都在线段 DA 的延长线上, 所以 G 与 G ′ 重合.

1 DE ,OG=OD=2, 2

OG ′ = OD = 2.

在△GED 和△GFD 中,由 OB ?

1 1 DE 和 OC ? DF ,可知 B 和 C 分别是 GE 和 GF 的 2 2

中点,所以 BC 是△GEF 的中位线,故 BC∥EF. (2)由 OB=1,OE=2, ∠EOB = 60°, 知S ?EOB = 而△OED 是边长为 2 的正三角形,故 S ?OED = 所以 S四边形OBED = S ?EOB + S ?OED =

3 , 2

3.

3 3 . 2

过点 F 作 FQ⊥DG, DG 于点 Q, 交 由平面 ABED⊥平面 ACFD 知, 就是四棱锥 F—OBED FQ 的高,且 FQ= 3 ,所以 VF ?OBED =

1 3 FQ ? S四边形OBED = . 3 2

20.(理)解:(1)X 可能的取值为 0,1,2,3,4,且 ( 1 1 P(X=0)= 4= , C8 70 C1C3 8 4 4 P(X=1)= 4 = , C8 35 C2C2 18 4 4 P(X=2)= 4 = , C8 35 C3C1 8 4 4 P(X=3)= 4 = , C8 35 1 1 P(X=4)= 4= . C8 70 即 X 的分布列为 1 2 3 4 8 18 8 1 P 35 35 35 70 1 8 18 8 1 X 的数学期望为 E(X)=0× +1× +2× +3× +4× =2. 70 35 35 35 70 (2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为: 1 x 甲= (403+397+390+404+388+400+412+406)=400. 8 1 2 s2 = [3 +(-3)2+(-10)2+42+(-12)2+02+122+62]=57.25. 甲 8 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为: 1 x 乙= (419+403+412+418+408+423+400+413)=412, 8 1 2 s2 = [7 +(-9)2+02+62+(-4)2+112+(-12)2+12]=56. 乙 8 由以上结果可以看出, 品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样 本方差差异不大,故应该选择种植品种乙. (1)>. (文)解: (2)抽取情况为: 92,94,78; 92,108,78; 94,108,78; 92,94,79; 92,108,79; 94,108,79; 92,106,78; 94,106,78; 106,108,78; 92,106,79; 94,106,79; 106,108,79. X 0 1 70

总共有 12 种. 这 12 种平均分不及格是 92,94,78; 92,94,79 共 2 种. 所以三 人平均分不及格的概率为

1 . 6

21.解:(1)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 解 → → → 所以MA=(-x,-1-y),MB=(0,-3-y),AB=(x,-2). → → → 再由题意可知(MA+MB)·AB=0, 即(-x,-4-2y)·(x,-2)=0, 1 所以曲线 C 的方程为 y= x2-2. 4 1 (2)设 P(x0,y0)为曲线 C:y= x2-2 上一点, 4 1 1 因为 y′= x,所以 l 的斜率为 x0. 2 2 1 因此直线 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0), 2 2 即 x0x-2y+2y0-x0=0. |2y0-x2| 1 2 0 ,又 y0= x0-2, 则 O 点到 l 的距离 d= 2 4 x0+4 1 2 x +4 4 ? 2 0 1? 2 所以 d= 2 = ? x0+4+ 2 ?≥2, 2? x0+4? x0+4 当 x0=0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2. (2x+1)(ax-1) 1 22.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= -2ax+(2-a)=- . 解 x x ①若 a≤0,则 f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)单调增加. 1 1 1 ②若 a>0,则由 f′(x)=0 得 x= ,且当 x∈?0,a?时,f′(x)>0,当 x> 时,f′(x) ? ? a a 1? 1 <0.所以 f(x)在?0,a?单调增加,在?a,+∞?单调减少. ? ? ? 1 ? ?1 ? (2)设函数 g(x)=f?a+x?-f?a-x?,则 ? g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax, a a 2a3x2 g′(x)= + -2a= . 1+ax 1-ax 1-a2x2 1 当 0<x< 时,g′(x)>0,而 g(0)=0,所以 g(x)>0. a 1 1 1 故当 0<x< 时,f?a+x?>f?a-x?. ? ? ? ? a (3)由(1)得,当 a≤0 时,函数 y=f(x)的图象与 x 轴至多有一个交点,故 a>0, 从而 f(x)的最大值为 f ?

?1? ?1? ? ,且 f ? ? > 0 .不妨设 A( x1 , 0), B( x2 , 0), 0 < x1 < x2 ,则 ?a? ?a? 1 2 ?2 ? ?1 1 ? 0 < x1 < < x2 .由(2)得 f ? ? x1 ? = f ? + ? x1 ? > f ( x1 ) = 0 ,从而 x2 > ? x1 , a a ?a ? ?a a ? x + x2 1 于是 x0 = 1 > .由(1)知, f ′( x0 ) < 0 . 2 a


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