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第二讲 参数方程与普通方程的互化1


复习

1.圆心为O1 (0,0)、半径为r的圆的方程
x ? r cos? y ? r sin ?

x2+y2=r2

2.圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆的方程
( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

? x ? a ? r cos? ? ? y ? b ? r sin ?

导入新课
请回答下面的方程各表示什么样的曲线?

例:2x+y+1=0

直线
抛物线

(1) y ? 3 x ? 2 x ? 1
2 2 2

x y 椭圆 ( 2) ? ?1 9 4 ? x ? cos? ? 3 (3)? (?为参数) ? y ? sin ?

由参数方程

x ? cos? ? 3 , y ? sin ? .

??为参数?

直接判断点M的轨迹的曲线类型并不容易, 但 如果将参数方程转化为熟悉的普通方程,即由
2 ? ? 参数方程得 cos? ? x ? 3, sin ? ? y, 于是 x ? 3

? y 2 ? 1 . 这就容易得出点 M 的轨迹是圆心在

?3,0 ?, 半径为1的圆.

曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的 不同形式。 (1)可以通过消去参数而从 参数方程得到普通方程。(2)如果知道变数x, y 中的一个与参数 t 的关系, 例如 x ? f ? t ? , 把 它代入普通方程 , 求出另一个变数与参数 的关系 y ? g ? t ? , 那么,

x ? f ?t ? , y ? g ?t ?

就是曲线的参数方程 .

3.参数方程与普通方程的互化

1、通过什么样的途径,能从参数方程 得到普通方程?

消去参数

2、在参数方程与普通方程互化中,要 注意哪些方面?

必须使x,y的取值范围保持一致.

一、参数方程化为普通方程
例3、把下列参数方程化为 普通方程,并说明各 表示什么曲线? ? x ? t ?1 ( 1 ) (t为参数) ? ? y ? 1? 2 t

? x ? sin ? ? cos? (2) (?为参数) ? ? y ? 1 ? sin 2?

解:( 1 )由x ? t ? 1 ? 1有 t ? x ? 1 代入y ? 1 ? 2 t , 得到y ? ?2 x ? 3( x ? 1) 这是以(1,1)为端点的一条射线 (包括端点)
y
(1,-1)

代入消元法
x

o

(2) x ? sin ? ? cos? ? 2 sin(? ? ), 4 所以x ? [? 2 , 2 ], 把x ? sin ? ? cos?平方后减去y ? 1 ? sin 2? 得到x ? y, x ? [? 2 , 2 ].
2

?

这是抛物线的一部分。

y

三角变换 消元法

? 2

o

2

参数方程化为普通方程的步骤
1、写出定义域(x的范围) 2、消去参数(代入消元,三角变换消元)

注意:
在参数方程与普通方程的互化中, 必须使x,y前后的取值范围保持一致。

课堂练习:
x ? 1 ? cos 2? y ? sin ?
2

1、若曲线 { 轨迹是(

(?为参数),则点( x, y )的

D )

A、直线x ? 2 y ? 2 ? 0, B、以(2,0)为端点的射线 C、圆( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1, D、以(2,0)和(0,1)为端点的线段

课堂练习:
2、 若已知直线的参数方程 为{ 与曲线{ x ? 2 cos? y ? 2 sin ? x ? 1? t y ? 1? t (t为参数)则它

(?为参数)的交点有_____ 2 个.

二、普通方程化为参数方程
x2 y2 例4、求椭圆 ? ?1 的参数方程 9 4 ( 1 )设x ? 3 cos? , ?为参数。 (2)设y ? 2t , t为参数

解:( 1 )把x ? 3 cos?代入椭圆方程,得到 9 cos ? y ? ? 1, 9 4 2 2 2 所以y ? 4(1 ? cos ? ) ? 4 sin ?即y ? ?2 sin ?
2 2

由参数?的任意性,可取 y ? 2 sin ? , x y 所以椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4 x ? 3 cos? { (?为参数) y ? 2 sin ?
2 2

x 2 4t 2 (2)把y ? 2t代入椭圆方程,得 ? ?1 9 4 于是x ? 9(1 ? t ), x ? ?3 1 ? t
2 2 2 2 2

x y 所以,椭圆 ? ? 1的参数方程是 9 4 2 2 ? ? ?x ? 3 1 ? t ? x ? ?3 1 ? t (t为参数)和? (t为参数) ? ? ? y ? 2t ? y ? 2t ?

1.如果没有明确x、y与参数的关系,则参数方程是有 限个还是无限个? 无限个 2.为什么例4(1)的正负取一个,而(2)却要取两 个?如何区分?
两个解的范围一样只取一个; 不一样时,两个都要取.

高考链接

? x ? 1 ? 2t (09广东(文))若直线 ? (t为参数) ? y ? 2 ? 3t -6 与直线 4 x ? ky ? 1垂直,则常数 k =______.

练习4: 将下列参数方程化为普通方程:
(1)

? x ? 2 ? 3 cos? ? ? y ? 3 sin ?
x=t+1/t

(2)

? x ? sin ? ? ? y ? cos 2?

步骤:(1)消参; (2)求定义域。

(3)

y=t2+1/t2 (1)(x-2)2+y2=9

(2)y=1- 2x2(- 1≤x≤1)

(3)x2- y=2(X≥2或x≤- 2)

课堂小结:
1、参数方程化为普通方程的步骤:
(1)写出定义域(x的范围)
(2)消去参数(代入消元,三角变换消元)

在参数方程与普通方程的互化中,必须 注意: 使x,y前后的取值范围保持一致。

2、普通方程化为参数方程的步骤:
引入参数,把含有参数等式代入即可


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