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辽宁省沈阳二中12-13学年高一上学期12月月考(数学)


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沈阳二中 2012—2013 学年度上学期 12 月份小班化学习成果 阶段验收高一(15 届)数学试题
命题人:陈玉成、丁文德、马东坤、李丹、
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题卡上,主观题答在答题纸上

审校人:丁文德、李丹

第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一 、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ? ,2,3,4,5?, B ? ??x, y ? | x ? A, y ? A, x ? y ? A?, 则 B 中所含元素个数为( ) 1 A.3 B.6 2.下列命题中,正确的个数是( ) C.8 D.10

①棱台上、下底面是相似多边形,并且互相平行;②若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则 该棱锥可以是六棱锥;③直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥;④球是空间 中到一定点的距离等于定长的点的集合。 A.1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 )

3.如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是( 2 A. 20cm
2

1
2

B. (20 ? 4 2)cm C. (24 ? 4 2)cm D. 24cm
2

2
主视图 左视图

2

2
俯视图

4. 已 知 函 数 f (x) 的 图 象 向 左 平 移 1 个 单 位 后 关 于 y 轴 对 称 , 当 x 2 ? x1 ? 1 时 ,

1 [ f ?x2 ? ? f ?x1 ?]?x2 ? x1 ? ? 0 恒成立,设 a ? f (? ), b ? f ?2?, c ? f ?3? ,则 a, b, c 的大小关 2
系为( )

A.c ? a ? b

B.c ? b ? a

C.a ? c ? b

D.b ? a ? c

5.已知 ?ABC 的平面直观图 ? A?B ?C ? 是边长为 a 的正三角形,那么原 ?ABC 的面积为( ) A.

3 2 a 2

B.

3 2 a 4

C.

6 2 a 2

D. 6a

2

-1-

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6.已知函数 f ( x) ? log 2 x , g ( x) ? ? x ? 2, 则 f ( x) ? g ( x) 的图象为(
2

) y

y

y

y

o

x

o

x

o

x

o

x

A

B
a b

C

D

7.已知实数 a, b 满足等式 2011 ? 2012 ,下列五个关系式:① o ? b ? a ;② a ? b ? 0 ; ③ 0 ? a ? b ;④ b ? a ? 0 ;⑤ a ? b 。其中不可能成立的关系式有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 8.已知 f ( x ) ? ? ) D.4 个

?ln x, x ? 0, 则 f ( x) ? 1 的解集为( ? x ? 2, x ? 0,



A.?? 1,0? ? ?0, e? C.?? 1,0? ? ?e,?? ?

B.?? ?,?1? ? ?e,??? D.?? ?,1? ? ?e,???
)

9. 已知 m、n 是两条不同的直线,α、β、γ 是三个不同的平面,则下列命题正确的是( A.若 α⊥γ,α⊥β,则 γ∥β C.若 m∥n,m∥α,则 n∥α B.若 m∥n,m?α,n?β,则 α∥β D.若 m∥n,m⊥α,n⊥β,则 α∥β

10. 如图所示,在正四棱锥 S-ABCD 中, E 是 BC 的中点,P 点在侧面△ SCD 内及其边界 上运动,并且总是保持 PE ? AC .则动点 P 的轨迹与△ SCD 组成的相关图形最有可有 是图中的 ( )

11.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3 , ?ASC ? ?BSC ? 30 ,
?

则棱锥 S—ABC 的体积为( A. 3 3 B. 2 3

) C. 3 D.1
2

12.定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f ?x ? 6? ? f ?x ?, 当 ? 3 ? x ? ?1时, f ( x) ? ??x ? 2? ; 当

? 1 ? x ? 3时,f ( x) ? x, 则f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2012 ) ? (
A.335 B.338
-2-

) D.2012

C.1678

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第Ⅱ卷(非选择题
2 x

共 90 分)
. 。

二 填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.当 x>0 时,函数 f ( x) ? (a -1) 的值总大于 1,则 a 的取值范围是

, 14.已知函数 f ( x) ? x — 2ax ? 1 (x ? N + ) 是增函数,则实数 a 的取值范围是
2

15.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x≥0 时,f(x)=log3(1+x),则 f(-2)=



16. 在平面几何中,有如下结论:三边相等的三角形内任意一点到三边的距离之和为定值.拓 展到空间,类比平面几何的上述结论,可得:四个面均为等边三角形的四面体内任意一点 _______________________________________. 三 .解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分,写出必要文字说明和演算步骤 . 17.(本题满分 10 分) 已知 2log a ( x-4) ? log a ( x-2) ,求 x 的取值范围。

18.(本题满分 12 分)如右图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着 一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与 圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以自 豪的发现.我们来重温这个伟大发现: (1)求圆柱的体积与球的体积之比; (2)求圆柱的表面积与球的表面积之比.

19.(本题满分 12 分)已知关于 x 的二次方程 x +2mx+2m+1=0 ,若方程有两根,一根在区 间 (- 1,0) 内,另一根在区间 (1,2) 内,求实数 m 的取值范围

2

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20. 本题满分 12 分) ( 如图, 已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相等, 且侧棱垂直于底面,

由 B 沿棱柱侧面经过棱 C C1 到点 A1 的最短路线长为 2 5 ,设这条最短路线与 CC1 的交点为 D. (1)求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积; (2)在平面 A1BD 内是否存在过点 D 的直线与平面 ABC 平行?证明你的判断; (3)证明:平面 A1BD⊥平面 A1ABB1.
A1

C1 B1 D

A

C

B

1), 21. (本题满分 12 分)函数 f ( x) ? log a (a - (0 ? a ? 1) ,
x

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)证明在定义域内 f ( x) 是增函数; (3)解方程 f (2 x) ? log a (a ? 1)
x

22.(本题满分 12 分)如图,已知点 B 在以 AC 为直径的圆上,SA⊥面 ABC,AE⊥SB 于 E, AF⊥SC 于 F. (I)证明:SC⊥EF; (II)若 SA ? a, ?ASC ? 45 , ?AFE ? 30 , 求三棱锥 S—AEF 的体积.
0 0

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沈阳二中 2012—2013 学年度上学期 12 月份小班化学习成果 阶段验收高一(15 届)数学答案
一、选择题: 1 D 2 A 3 B 4 D 5 C 6 C 7 B 8 C 9 D 10 A 11 C 12 B

二、填空题:

? 13、 ? ?, 2 ?

?

? ?

2, ? ?

?

14、 ? ? ?, ?

? ?

3? 2?

15、-1

16、到四个面的距离之和为定值。

三、解答题: 17.解: (1)当 a>1 时,

??x-4? >x-2 ? ?x-4>0 ?x-2>0 ?

2

,解之,得 x>6.

(2)当 0<a<1 时,

??x-4? <x-2 ? ?x-4>0 ?x-2>0 ?

2

,解之,得 4<x<6.

∴当 a>1 时, x? (6,+∞);当 0<a<1 时, x? (4,6). 18.

解: ? 设圆柱的高为h,底面半径为r,球的半径为R,由已知得h=2R,r=R. ?1 4 ? V圆柱 ? ? r 2 h ? 2? R 3 ,V球 ? ? R 3 . 3 3 V 2? R 3 ? 圆柱 ? ? V球 4 ? R3 2 3 ? 2 ? ? S圆柱 ? S侧 ? 2S底 ? 2? rh ? 2? r 2 ? 6? r 2 , S球 ? 4? r 2 . ? S圆柱 S球 6? r 2 3 ? ? 4? r 2 2

19、

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20.解:(1)如图,将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1 旋转 120° 使其与侧面 AA1C1C 在同一平面上,点 B

运动到点 B2 的位置,连接 A1B2,则 A1B2 就是由点 B 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到点 A1 的最 短路线。 设棱柱的棱长为 a ,则 B2C=AC=AA1= a , ∵CD∥AA1 ∴D 为 CC1 的中点,
2 2 2

A1 B1

C1

D O A

在 Rt△ A1AB2 中,由勾股定理得 A1 A ? AB2 ? A1 B2 , 即 a ? 4a ? (2 5)
2 2 2

解得 a ? 2 ,
B

C

B2

∵ S ?ABC ?

3 2 ? 2 ? 3 ∴ VABC ? A1B1C1 ? S ?ABC ? AA1 ? 2 3 (其他解法请参照给分) 4

(2)设 A1B 与 AB1 的交点为 O,连结 BB2,OD,则 OD // BB2 ∵ BB2 ? 平面 ABC , OD ? 平面 ABC ∴ OD // 平面 ABC ,即在平面 A1BD 内存在过点 D 的直线与平面 ABC 平行 (其他解法请参照给分) (3)连结 AD,B1D ∵ Rt ?AC1D ≌ Rt ?BCD ≌ Rt ?ACD 1 ∴ A1 D ? BD ? B1D ? AD ∵ A1 B ? AB1 ? O 又∵ OD ? 平面 A1BD
21.

∴ OD ? A1 B, OD ? AB1

∴ OD ? 平面 A1ABB1 ∴平面 A1BD⊥平面 A1ABB1 (其他解法请参照给分)

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22.解: (I)

SA ? 面ABC ? SA ? BC

?? BC ? 面SAB ? ? ? ? BC ? AE. AE ? 面SAB? B在以AC为直径的圆上 ? BC ? AB?

? AE ? 面SBC? ? BC ? AE ?? ? ? AE ? SC. SC ? 面SBC ? SB ? BC ? B ? ? AE ? SC ? SC ? 面AEF ? ? AF ? SC ?? ? ? SC ? EF . EF ? 面AEF ? ? AE ? AF ? A?
(II) Rt?SAC 中,? SA ? a, ?ASC ? 45 ? AC ? a, SC ?
0

AE ? SB

2a

又 AF ? SC

? F为SC的中点

? AF ? SF ?

2 a 2 2 a, ?AFE ? 30 0 2

由(I)知 AE ? 面SBC

? 在Rt?AEF中,由AF ?

得 AE ?

2 6 1 2 6 3 2 a, EF ? a,? S?AEF ? ? a? a? a 4 4 2 4 4 16 1 3 2 2 6 3 ?VS ? AEF ? ? a ? a? a 3 16 2 96

由(I)知 SC ? 面AEF

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