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数学归纳法的应用习题


第 2 课时

数学归纳法的应用

双基达标

?限时20分钟?

1 1 1 1 1.利用数学归纳法证明n+ + +?+2n<1(n∈N*,且 n≥2)时,第二步 n+1 n+2 由 k 到 k+1 时不等式左端的变化是 ( A.增加了 B.增加了 C.增加了 1 这一项 2k+1 ).

1 1 和 两项 2k+1 2k+2 1 1 1 和 两项,同时减少了k这一项 2k+1 2k+2

D.以上都不对 解析 不等式左端共有 n+1 项,且分母是首项为 n,公差为 1,末项为 2n

1 1 1 1 的等差数列,当 n=k 时,左端为k+ + +?+2k;当 n=k+1 时, k+1 k+2 左端为 答案 1 1 1 1 1 1 + + +?+2k+ + ,对比两式,可得结论. k+1 k+2 k+3 2k+1 2k+2 C

2.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”的第二步是 ( A.假使 n=2k+1 时正确,再推 n=2k+3 正确 B.假使 n=2k-1 时正确,再推 n=2k+1 正确 C.假使 n=k 时正确,再推 n=k+1 正确 D.假使 n≤k(k≥1),再推 n=k+2 时正确(以上 k∈N*) 解析 因为 n 为正奇数,据数学归纳法证题步骤,第二步应先假设第 k 个正 ).

奇数也成立,本题即假设 n=2k-1 正确,再推第(k+1)个正奇数即 n=2k+1 正确. 答案 B

3.已知平面内有 n 条直线(n∈N*),设这 n 条直线最多将平面分割成 f(n)个部分, 则 f(n+1)等于

( A.f(n)+n-1 C.f(n)+n+1 解析 B.f(n)+n D.f(n)+n+2

).

要使这 n 条直线将平面所分割成的部分最多,则这 n 条直线中任何两

条不平行,任何三条不共点.因为第 n+1 条直线被原 n 条直线分成 n+1 条 线段或射线,这 n+1 条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二,故 f(n+1)比 f(n)多了 n+1 部分. 答案 C 1 , S1=________,2=________, 则 S ?2n-1??2n+1?

1 1 1 4. 已知 Sn=1·+3·+5·+?+ 3 5 7

S3=________,S4=________,猜想 Sn=________. 解析 答案 n 分别将 1,2,3,4 代入观察猜想 Sn= . 2n+1 1 3 2 5 3 7 4 9 n 2n+1

5.用数学归纳法证明“当 n 为正偶数时 xn-yn 能被 x+y 整除”第一步应验证 n =________时,命题成立;第二步归纳假设成立应写成________________. 解析 因为 n 为正偶数,故第一个值 n=2,第二步假设 n 取第 k 个正偶数成

立,即 n=2k,故应假设成 x2k-y2k 能被 x+y 整除. 答案 2 x2k-y2k 能被 x+y 整除

6.用数学归纳法证明: 1 1 1 1 1+22+32+?+n2<2-n(n≥2). 1 5 1 3 证明:(1)当 n=2 时,1+22=4<2-2=2,命题成立. 1 1 1 1 (2)假设当 n=k 时命题成立,即 1+22+32+?+k2<2-k,当 n=k+1 时, 1 1 1 1+ 22 + 32 +?+ k2 + 1 1 1 1 1 1 1 2 <2- + k ?k+1?2 <2- k + k?k+1? =2- k + k - ?k+1?

1 1 =2- ,命题成立. k+1 k+1 由(1)、(2)知原不等式在 n≥2 时均成立.

综合提高

?限时25分钟?

7.用数学归纳法证明不等式

1 1 1 11 + +?+2n>24(n∈N*)的过程中,由 n=k n+1 n+2

递推到 n=k+1 时,下列说法正确的是 ( A.增加了一项 B.增加了两项 1 2?k+1? ).

1 1 和 2k+1 2?k+1? 1 k+1 1 k+1

C.增加了 B 中的两项,但又减少了一项

D.增加了 A 中的一项,但又减少了一项 解析 当 n=k 时,不等式左边为

1 1 1 + +?+2k, k+1 k+2

当 n=k+1 时,不等式左边为 答案 C

1 1 1 1 1 + +?+2k+ + . k+2 k+3 2k+1 2k+2

8. 命题 P(n)满足: n=k(k∈N*)成立, n=k+1 成立, 若 则 下面说法正确的是( A.P(6)成立则 P(5)成立 B.P(6)成立则 P(4)成立 C.P(4)成立则 P(6)成立 D.对所有正整数 n,P(n)都成立 解析

).

由题意知,P(4)成立,则 P(5)成立,若 P(5)成立,则 P(6)成立.所以

P(4)成立,则 P(6)成立. 答案 C

9.已知 1+2×3+3×32+4×33+?+n×3n-1=3n(na-b)+c 对一切 n∈N*都成 立,则 a、b、c 的值为________. 解析 ∵ 等 式 对 一 切 n ∈ N* 均 成 立 , ∴ n = 1,2,3 时 等 式 成 立 , 即 :

?1=3?a-b?+c, ?1+2×3=32?2a-b?+c, ?1+2×3+3×32=33?3a-b?+c,

?3a-3b+c=1, 整理得?18a-9b+c=7, ?81a-27b+c=34,
答案 1 1 a=2,b=c=4

1 1 解得 a=2,b=c=4.

an 10.数列{an}中,已知 a1=2,an+1= (n∈N*),依次计算出 a2,a3,a4 后, 3an+1 归纳、猜测得出 an 的表达式为________. 解析 答案 2 2 2 a1=2,a2=7,a3=13,a4=19,猜测 an= 2 an= 6n-5 2 . 6n-5

n 1 1 1 1 11.求证:1+2≤1+2+3+?+2n≤2+n. 证明 1 (1)当 n=1 时,f(1)=1+2,原不等式成立;

(2)设 n=k(k∈N*)时,原不等式成立 k 1 1 1 1 即 1+2≤1+2+3+?+2k≤2+k 成立, 当 n=k+1 时, f(k+1)=f(k)+ k 1 1 1 1 1 1 + k +?+ k+1≥1+2+ k + k +?+ k+1>1+ 2 +1 2 +2 2 2 +1 2 +2 2
k

k 2+ k+1 k 1 =1+2+2=1+ 2 , f(k+1)=f(k)+ 1 1 1 1 1 1 1 1 + k +?+ k+1≤2+k+ k + k +?+ k+1<2+ 2 +1 2 +2 2 2 +1 2 +2 2
k

k+ 1 ∴f(k+1)<2+(k+1)即 n=k+1 时,命题成立. 综合(1)、(2)可得:原命题对 n∈N*恒成立.

12.(创新拓展)数列{an}满足 Sn=2n-an,n∈N*,先计算前 4 项后猜想 an,并用 数学归纳法证明. 证明 当 n=1 时,S1=2-a1,∴a1=1,

3 n=2 时,S2=a1+a2=4-a2,∴a2=2, 7 n=3 时,S3=a1+a2+a3=6-a3,∴a3=4, 15 n=4 时,S4=a1+a2+a3+a4=8-a4,∴a4= 8 . 2n-1 ∴猜想 an= n-1 . 2 用数学归纳法证明:①当 n=1 时,a1=1,猜想成立, ②假设 n=k 时猜想成立,即 ak= 2k-1 成立. 2k-1

那么,当 n=k+1 时,Sk+1=2(k+1)-ak+1=Sk+ak+1=2k-ak+ak+1,∴2ak+1 2k-1 2k+1-1 =2+ak=2+ k-1 = k-1 , 2 2 2k+1-1 ∴ak+1= 2k ,即 n=k+1 时猜想成立. 由①②可知,对 n∈N*猜想均成立.


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