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福建省福州市第三中学2015届高三模拟(最后一次)数学(理)试题


福州三中 2015 届高考校模拟试卷

数学(理)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. “ a ? b, c ? 0 ”是“ ac ? bc ”的( A.充分不必要条件 2.已知集合 M ? 范围是( A. (??,1) ) C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

B.必要不充分条件
x

?? x, y ? y ? 2 ? , N ? ?? x, y ? y ? a? ,若 M
B. (??,1] C. (?? ,0)

N ? ? ,则实数 a 的取值
D. (??,0] )


[:]

开始 输入 a , b

3.执行如图所示的程序框图,若 a ? 1, b ? 2 ,则输出的结果是( A. 9 C. 13 B. 11 D. 15

a ? 12 ?




3 4.已知角 ? 的终边经过点 P ? 4, m? ,且 sin ? ? ,则 m 等于( ) 5 16 A. ? 3 B. 3 C. D. ? 3 3 m?i 5.复数 z ? 位于( ? m ? R, i为虚数单位? 在复平面上对应的点不可能 ... 1? i
A.第一象限 6.设 F1 , F2 为椭圆 的值为 ( ) B. B.第二象限 C.第三象限

a ? 2b ? a
输出 a 结束



D.第四象限

PF x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,若线段 PF1 的中点在 y 轴上,则 2 PF1 4

7.在如图 5 ? 5 的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列, 每一纵列成等比数列,那么 x ? y ? z 的值为( A.1 B. 2 C. 3 ) D. 4

1 A. 3

1 5

C.

1 7

D.

1 9

1 0.5

2 1

x

y
z
第 7 题图

8.定义在 R 上的函数 f ( x) ,对 ?x1 , x2 ? R 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ? x2 ? ?1 ,则下列命题正确 的是( ) B. f ( x) 是奇函数 C. f ( x) ? 1 是偶函数 D. f ( x) ? 1 是奇函数

A. f ( x) 是偶函数

9.若等式 (2x ? 1) 2014 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2014 x 2014 对于一切实数 x 都成立,
·1 ·

1 1 1 a1 ? a2 ? ? ? a2014 ? ( 2 3 2015 1 1 A. B. 4030 2015
则 a0 ?

) C.

2 2015

D.0

10 .在平面直角坐标系中,把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点.若 a 为无理数,则在过点

1 P ( a ,? ) 的所有直线中( 2



A.有无穷多条直线,每条直线上至少存在两个有理点 B.恰有 n?n ? 2? 条直线,每条直线上至少存在两个有理点 C.有且仅有一条直线至少过两个有理点 D.每条直线至多过一个有理点 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11.一个总体分为 A, B, C 三层,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 15 的样本,若 B 层中每个 个体被抽到的概率都为

1 ,则总体的个数为___________. 20

12.在 ?ABC 中,若角 A 为锐角,且 AB ? (2,3), AC ? (3, m) ,则实数 m 的取值范围是________. 13.如图所示 2 ? 2 方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是 1、2、3 中 任何一个, 允许重复.若填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字,则不同的填法 有_______种(用数字作答) .
D1

A C

B D

的 共

(13 题图)

14.如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 5, BC ? 4, AA1 ? 3 ,沿该 A1 长方体对角面 ABC1 D1 将其截成两部分,并将它们再拼成一个新的四棱柱, 那么这个四棱柱表面积的最大值为___________. D

C1 B1

C

A (14 题图) B

15 . 为 了 近 似 估 计 ? 的 值 , 用 计 算 机 分 别 产 生 90 个 在 ??1, 1 ? 的 均 匀 随 机 数 x1, x2 , y

, x90 和

y1 , y2 ,

, y90 ,在 90 组数对 ?xi , yi ? 1 ? i ? 90, i ? N * 中,经统计有 25 组
1 O

?

?

? ? ? y ? tan 4 x 数对满足 ? ,则以此估计的 ? 值为________. ?? x ? 1?2 ? ? y ? 1?2 ? 4 ?

?1

1 x

?1
(15 题图)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用 7 场 4 胜制,每场必须分出胜负,场与场之间互不影响,只要有 一队获胜 4 场就结束比赛.现已比赛了 4 场,且甲篮球队胜 3 场.已知甲球队第 5,6 场获胜的概率
·2 ·

均为

3 2 ,但由于体力原因,第 7 场获胜的概率为 . 5 5

(Ⅰ)求甲队分别以 4 : 2 , 4 : 3 获胜的概率; (Ⅱ)设 X 表示决出冠军时比赛的场数,求 X 的分布列及数学期望. 17.(本小题满分 13 分) 某同学用“五点法”画函数 f ?x ? ? A sin ??x ? ? ? ? B ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 像时,列表并填入的部分数据如下表:

?
2

)在某一个周期内的图

x
?x ? ?
A sin??x ? ? ? ? B

x1
0

1 3

x2

?
2
3

?
0

7 3 3? 2
? 3

x3
2?

0

0

(Ⅰ)请求出上表中的 x1 , x2 , x3 的值,并写出函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)将 f ( x) 的图像向右平移

2 个单位得到函数 g ?x ? 的图像,若函数 g ?x ? 在区间 ?0, m? 3

( 3 ? m ? 4 )上的图像的最高点和最低点分别为 M , N ,求向量 NM 与 ON 夹角 ? 的大小.

18.(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,点 N 与点 M ?? 1,1? 关于原点 O 对称, P 是动点,且直线 MP 与 NP 的斜 率之积等于 ?

1 . 3

y

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 MP 和 NP 与直线 x ? 3 分别交于 A, B 两点,问:是否存在点 P 使得

?PMN 与 ?PAB 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明
理由.

O

3

x

19. (本小题满分 13 分) 如图,菱形 ABCD 的边长为 2 ,现将 ?ACD 沿对角线 AC 折起至 ?ACP 位置,并使平面 PAC ? 平 面 ABC . (Ⅰ)求证: AC ? PB ; (Ⅱ)在菱形 ABCD 中,若 ?ABC ? 60 ,求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值;
0

·3 ·

P

(Ⅲ)求四面体 PABC 体积的最大值.
A D

B

C

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? ax ? ?a ? 1? ln x 2

?a ? 1? .

(Ⅰ) 讨论函数 f ?x ? 的单调性; (Ⅱ) 若 a ? 2 ,数列 ?an ? 满足 an?1 ? f ?an ? . (1)若首项 a1 ? 10 ,证明数列 ?an ? 为递增数列; (2)若首项为正整数,且数列 ?an ? 为递增数列,求首项 a1 的最小值.

21.本题设有(1) (2) (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分.如果多做, 则按所做的前两题计分. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 在平面直角坐标系中,矩阵 M 对应的变换将平面上的任意一点 P?x, y ? 变换为点 P??x ? 2 y, x ? y ? . (Ⅰ)求矩阵 M 的逆矩阵 M
2 2
?1



(Ⅱ)求圆 x ? y ? 1 在矩阵 M 对应的变换作用后得到的曲线 C 的方程.

(2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 过点

P?1,0? ,斜率为 3 ,曲线 C : ? ? ? cos2? ? 8 cos? .
·4 ·

(Ⅰ)写出直线 l 的一个参数方程及曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 PA ? PB 的值.

(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 m ? 0 ,函数 f ?x? ? 2 x ? 1 ? 2x ? m 的最大值为 3 . (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)若实数 a, b, c 满足 a ? 2b ? c ? m ,求 a ? b ? c 的最小值.
2 2 2

·5 ·

参考答案
一、选择题: ADCBC CADBC 9、解法一:∵ (2x ? 1) 2014 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2014 x 2014 ,

1 1 1 1 , (2x ? 1) 2015 ? C ? a0 x ? a1 x 2 ? a2 x 3 ? ? ? a2014 x 2015 (C 为常数) 4030 2 3 2015 1 1 1 1 取 x ? 1 得 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a2014 ? ?C, 2 3 2015 4030 1 1 再取 x ? 0 得 , (?1) 2015 ? C ? 0 ,即得 C ? 4030 4030 1 1 1 1 ∴ a0 ? a1 ? a2 ? ? ? ,故选 B. a2014 ? 2 3 2015 2015
∴ 解法二:∵ (2x ? 1) 2014 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2014 x 2014 , ∴

?0 ?2x ? 1?
1

2014

? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2014 x 2014 d x
0

1

?

?



1 1 1 1 ? a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a 2014 ,故选 B. 2015 2 3 2015
1 2

10、 解: 设一条直线上存在两个有理点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 由于 P ( a ,? ) 也在此直线上, 若 x1 ? x 2 ,

1 y2 ? y 2 ? y1 2 ,又由于 x ? a 为无理 则 x1 ? x 2 ? a 为无理数与有理点予盾,所以 x1 ? x 2 ,于是 ? 2 x 2 ? x1 x2 ? a y ? y1 1 1 数,而 2 为有理数,所以 y 2 ? ? 0 ,于是 y 2 ? y1 ? ? ,所以直线只有一条,且这条直线方 x2 ? x1 2 2 1 程只能是 y ? ? ,故正确的选项为 C. 2 二、填空题 11.300
12. 由于角 A 为锐角, 所以 AB ? AC ? 0 且 AB, AC 不共线, 所以 6 ? 3m ? 0 且 2 m ? 9 , 于是实数 m 的 取值范围是 (?2, ) ? ( ,??) . 13.若 A 方格填 3,则排法有 2 ? 3 2 种,若 A 方格填 2,则排法有 1 ? 3 2 种,所以不同的填法有 27 种. 14 . 当 5 ? 3 的 两 个 面 叠 合 时 , 所 得 新 的 四 棱 柱 的 表 面 积 最 大 , 其 表 面 积 为 (5 ? 4 ? 5 ? 5 ? 3 ? 4) ? 2 ? 114 . y 15.设 A(1,1), B(?1,?1) ,则直线 AB 过原点,且阴影面积等于直线 AB 与圆弧所
·6 ·

9 2

9 2

1

?1

O

1 x

?1

围成的弓形面积 S1 ,由图知, S1 ?

S 1 25 5 28 ? 4? ? 2 ? ? ? 2 ,又 1 ? ? ,所以 ? ? 9 4 4 90 18

三、解答题: 16、解: (Ⅰ)设甲队以 4 : 2 , 4 : 3 获胜的事件分别为 A,B, ∵甲队第 5,6 场获胜的概率均为 ∴ P ( A) ? (1 ? ) ?

3 2 ,第 7 场获胜的概率为 , 5 5

3 5

3 6 3 2 2 8 ? , P( B) ? (1 ? ) ? ? , 5 25 5 5 125
6 8 和 . 25 125

∴甲队以 4 : 2 , 4 : 3 获胜的概率分别为

(Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 5,6,7, ∴

3 P( X ? 6) ? , 5 3 2 3 2 4 P( X ? 7) ? (1 ? ) 2 ? ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) ? , 5 5 5 5 25 P ( X ? 5) ?
X 5 6 7

3 3 6 (1 ? ) ? ? 5 5 25



∴随机变量 X 的分布列为

p

3 5

6 25

4 25

3 6 4 139 E( X ) ? 5 ? ? 6 ? ? 7? ? . 5 25 25 25 1 ? 7 3? ? ? 17、解: (Ⅰ)由条件知, ? ? ? ? , ? ? ? ? ,∴ ? ? , ? ? ,

2 3 3 2 3 2 ? ? 2 4 10 ∴ x1 ? ? , x2 ? , x3 ? , f ( x) ? 3 sin( x ? ) . 3 3 3 2 3 2 (Ⅱ)∵函数 f ?x ? 的图像向右平移 个单位得到函数 g ?x ? 的图像, 3 ? 2 ? ? ∴ g ?x? ? 3 sin[ ( x ? ) ? ] ? 3 sin x , 2 3 3 2 ∵函数 g ?x ? 在区间 ?0, m? ( m ? ?3,4? )上的图像的最高点和最低点分别为 M , N ,

∴最高点为 M 1, 3 ,最低点为 N 3,? 3 , ∴ ON ? 3,? 3 , NM ? ? 2,2 3 , ∴ cos ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

ON ? NM ON ? NM

??

3 5? ,又 0 ? ? ? ? ,∴ ? ? . 2 6

18、解:(Ⅰ) ∵点 N 与 M ?? 1,1? 关于原点 O 对称,∴点 N ?1,?1? , 设 P?x, y ?,∵直线 MP 与 NP 的斜率之积等于 ? ∴

1 , 3
y B M P A

y ?1 y ?1 1 ? ? ? ,化简得 x 2 ? 3 y 2 ? 4 x ? 1 x ?1 3

?x ? ?1? ,
·7 ·

∴动点 P 的轨迹方程为 x 2 ? 3 y 2 ? 4

?x ? ?1? .

(Ⅱ)法一:设存在点 P?x0 , y0 ? ,使得 ?PMN 与 ?PAB 的面积相等, ∴

1 1 PA ? PB sin ?APB ? PM ? PN sin ?MPN , 2 2

∵ sin ?APB ? sin ?MPN ? 0 , ∴ PA ? PB ? PM ? PN , 即
2 2 ∵ x0 ? 3 y0 ? 4 , ∴ y0 ? ?

PA PM

?

PN PB





3 ? x0 x0 ? 1

?

x0 ? 1 3 ? x0

,解得 x0 ?

5 , 3

法二:设 P ? x0 , y0 ? , A ? 3, y1 ? , B ?3, y2 ?

33 , 9

5 33 ). ∴满足条件的点 P 为 ( ,? 3 9

x0 ? 4 y 0 ? 3 ? y1 ? 1 y 0 ? 1 ? ? 4 ? x ?1 ? y1 ? x0 ? 1 ? ? 0 ∴? ,解得 ? , ? y2 ? 1 ? y0 ? 1 ? y ? 2 y 0 ? x0 ? 3 2 ? ? x0 ? 1 x0 ? 1 ? 2 ?
∴ AB ? y1 ? y2 ?

? 2x0 ? 6?? x0 ? y0 ? ,
2 x0 ?1

∵ S?PAB ? S?PMN , MN ? 2 2 ,又点 P 到直线 MN 的距离 d ? ∴

x0 ? y0 2



1 1 3 ? x0 y1 ? y2 ? MN d , 2 2

∴ 3 ? x0

? 2x0 ? 6?? x0 ? y0 ?
2 x0 ?1

? 2 ? x0 ? y0 ? ,
33 , 9

? x0 ? 3? ∴
2 x0 ?1

2

? 1 ,解得 x0 ?

5 , 3

z P

2 2 ∵ x0 ? 3 y0 ? 4,

∴ y0 ? ?

5 33 ). ∴满足条件的点 P 为 ( ,? 3 9
A O C y

19、解: (Ⅰ)证明:取 AC 中点 O ,连接 PO, BO ,由于四边形 ABCD 为 菱形,

? PA ? PC, BA ? BC ,? PO ? AC, BO ? AC,

又 PO ? BO ? O ,
x

B

? AC ? 平面 POB ,又 PB ? 平面 POB , ? AC ? PB .
面 PAC , PO ? AC , (Ⅱ) ? 平面 PAC ? 平面 ABC , 平面 PAC ? 平面 ABC ? AC , PO ? 平

?PO ? 面ABC,?OB, OC, OP 两两垂直,
故以 O 为原点,以 OB, OC, OP 方向分别为 x, y , z 轴正方向建立空间直角坐标系,

? ?ABC ? 600 ,菱形 ABCD 的边长为 2 , ∴ A(0, ?1,0), B( 3,0,0), C(0,1,0), P(0,0, 3) ,
·8 ·

AB ? ( 3,1,0), PB ? ( 3,0, ? 3), PC ? (0,1, ? 3) ,
设平 面PBC 的法向量 n ? ( x, y, z) ,直线 AB 与平 面PBC 成角为 ? , ∴?

? ? 3x ? 3z ? 0 ,取 x ? 1 ,则 y ? 3, z ? 1 ,于是 n ? (1, 3,1) , ? ? y ? 3z ? 0
3? 3 2? 5 |?
15 15 , ∴直线 AB 与平面 PBC 成角的正弦值为 . 5 5
, ∴

∴ sin ? ?| cos ? AB, n ?|?| (Ⅲ)法一: 设

?ABC ? ?APC ? ? , ? ? (0, ? )
1 2 ? 2 sin ? ? 2 sin ? , 2

PO ? AP cos

?
2

? 2 cos

?
2



S ?ABC ?

1 4 ? 8 ? ? S ?ABC ? PO ? sin? cos ? sin cos 2 3 3 2 3 2 2 8 ?? ? ? ? ? ? sin ?1 ? sin 2 ? ( 0 ? ? ), 3 2? 2? 2 2 32 ?? ? ?? ?? ? 2 sin 2 ?1 ? sin 2 ??1 ? sin 2 ? ∴V 2 ? 9 2? 2 ?? 2?
又 PO ? 平面 ABC, ∴ VPABC ?

? ? ?? ? 2 sin 2 ? 1 ? sin 2 ? 1 ? sin 2 ? 32 ? 2 2 2 ? ? 32 ? 2 , ? ? ? 9 ? 3 9 ? 27 ? ? ? ? 16 3 ? 3 ? ? ∴V ? ,当且仅当 2 sin 2 ? 1 ? sin 2 ,即 sin ? 时取等号, 27 2 3 2 2 16 3 ∴四面体 PABC 体积的最大值为 . 27 法二:设 ?ABC ? ?APC ? ? , ? ? (0, ? ) ,
1 2 ? 2 sin ? ? 2 sin ? ,又 PO ? 平面 ABC, 2 2 2 1 4 ? 8 ? ? ∴ VPABC ? S ?ABC ? PO ? sin? cos ? sin cos 2 3 3 2 3 2 2
∴ PO ? AP cos

3

?

? 2 cos

?

, S ?ABC ?

3 8 2 ? ∴ VPABC ? (1 ? 3t ) , 3 3 3 ? ? ? t ? 1 时, V PABC ? 0 ,当 ? 0, ∴当 0 ? t ? 时, V PABC 3 3 3 16 3 16 3 ∴当 t ? 时, V PABC 取得最大值 ,∴四面体 PABC 体积的最大值为 . 3 27 27
法三:设 PO ? x ,则 BO ? x , AC ? 2 4 ? x 2 , ?0 ? x ? 2?
·9 ·

设 t ? sin

8 ?? ?? ? ? ? sin ?1 ? sin 2 ? ( 0 ? ? ), 2 2 3 2? 2? ? 8 3
2

,则 VPABC ? (t ? t ) ,且 0 ? t ? 1 ,

又 PO ? 平面 ABC, ∴ VP? ABC ?

1 1 1 1 PO ? S ?ABC ? ? x ? ? x ? 2 4 ? x 2 ? ? x 2 4 ? x 2 , 3 3 2 3

1 1 1 2 2 1 1 ? x 2 ? x 2 ? 8 ? 2x 2 ? x ? x 8 ? 2x 2 ? ∵ ? x2 4 ? x2 ? 3 3 2 3 2? 3 ?

?

?

? 16 3 ? ? , ? 27 ?

3

当且仅当 x ? 8 ? 2 x ,即 x ?
2 2

2 6 16 3 时取等号,∴四面体 PABC 体积的最大值为 . 27 3

20、解(Ⅰ) ∵ f ? x ? ? ∴ f ?( x) ?

x 2 ? ax ? a ? 1 ?x ? 1??x ? 1 ? a ? ? (x?0) , x x ?x ? 1?2 ? 0 在 ?0,??? 上恒成立, 当 a ? 2 时,则 f ?? x ? ? x
当 1 ? a ? 2 时,若 x ? ?a ? 1,1? ,则 f ??x ? ? 0 ,若 x ? ?0, a ? 1? 或 x ? ?1,??? ,则 f ??x ? ? 0 ,

1 2 x ? ax ? ?a ? 1? ln x , 2

当 a ? 2 时, 若 x ? ?1, a ? 1? ,则 f ??x ? ? 0 ,若 x ? ?0,1? 或 x ? ?a ? 1,??? ,则 f ??x ? ? 0 ,

综上所述: 当 1 ? a ? 2 时,函数 f ?x ? 在区间 ?a ? 1,1? 上单调递减,在区间 ?0, a ? 1? 和 ?1,??? 上单调递增; 当 a ? 2 时,函数 f ?x ? 在 ?0,??? 上单调递增; 当 a ? 2 时,函数 f ?x ? 在区间 ?1, a ? 1? 上单调递减,在区间 ?0,1? 和 ?a ? 1,??? 上单调递增. (Ⅱ)若 a ? 2 ,则 f ? x ? ?

1 2 x ? 2 x ? ln x ,由(Ⅰ)知函数 f ?x ? 在区间 ?0,??? 上单调递增, 2

(1)因为 a1 ? 10 ,所以 a2 ? f ?a1 ? ? f ?10? ? 30 ? ln10 ,可知 a 2 ? a1 ? 0 , 假设 0 ? ak ? ak ?1 ( k ? 1 ) ,因为函数 f ?x ? 在区间 ?0,??? 上单调递增, ∴ f ?ak ?1 ? ? f ?ak ? ,即得 ak ?2 ? ak ?1 ? 0 , 由数学归纳法原理知, a n ?1 ? a n 对于一切正整数 n 都成立,∴数列 ?an ? 为递增数列. (2)由(1)知:当且仅当 0 ? a1 ? a 2 ,数列 ?an ? 为递增数列, ∴ f ?a1 ? ? a1 ,即

1 2 a1 ? 3a1 ? ln a1 ? 0 2

?a1为正整数?,
·10·

x 2 ? 3x ? 1 1 2 , x ? 3x ? ln x ?x ? 1? ,则 g ?? x ? ? x 2 3? 5 ,?? ) 上递增, ∴函数 g ?x ? 在区间 ( 2
设 g ?x ? ? 由于 g ?5? ? ln 5 ? 21、 (1)解: (Ⅰ)法一:设 P ?( x ?, y ?) ,依题意得: ?

5 ? 0 , g ?6? ? ln 6 ? 0 ,又 a1 为正整数,∴首项 a1 的最小值为 6 . 2

? x? ? x ? 2 y , ? y? ? x ? y
∴ M ?1

?1 ? 2 ? ∴M ? ? ?1 1 ? ? , ∴ M ? 3, ? ?
法二:设 P ?( x ?, y ?) ,依题意得: ?

?1 ? 3 ?? ? 1 ?? ? 3

2? ? 3? . 1? ? 3?

? x? ? x ? 2 y , ? y? ? x ? y
?1 ? 3 ?? ? 1 ?? ? 3 2? ? 3? . 1? ? 3?

1 2 ? x ? x? ? y ? ? ? 3 3 ∴? , ? y ? ? 1 x? ? 1 y ? 3 3 ?

∴ M ?1

1 2 ? x ? x? ? y ? ? ? 3 3 2 2 (Ⅱ) ∵点 P?x, y ?在圆 x ? y ? 1 上,又 ? , 1 1 ? y ? ? x? ? y ? 3 3 ?
2 ? ? 1 1 ? ?1 ∴ ? x? ? y ? ? ? ? ? x? ? y ? ? ? 1 ,即得 2 x? 2 ? 2 x?y ? ? 5 y ? 2 ? 9 , 3 ? ? 3 3 ? ?3
∴变换作用后得到的曲线 C 的方程为 2 x ? 2 xy ? 5 y ? 9 .
2 2
2 2

(2)解:(Ⅰ) ∵ 直线 l 过点 P?1,0? ,斜率为 3 ,

1 ? x ? 1? t ? 2 ? ?t为 参 数 ?; ∴直线 l 的一个参数方程为 ? 3 ?y ? t ? 2 ? 2 ∵ ? ? ? cos2? ? 8 cos? , ∴ ? ?1 ? cos2? ? ? 8 cos? , 即得 ( ? sin ? ) ? 4? cos? ,
∴ y ? 4 x , ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 4 x .
2 2

·11·

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 2 (Ⅱ) 把 ? 代入 y 2 ? 4 x 整理得: 3t ? 8t ? 16 ? 0 , ?y ? 3 t ? 2 ?
设点 A, B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1t 2 ? ?

16 16 , ∴ PA ? PB ? t1t 2 ? . 3 3

(3)解:(Ⅰ) f ?x? ? 2 x ? 1 ? 2x ? m ? 2x ? 2 ? 2x ? m ? ?2x ? 2? ? ?2x ? m? ? m ? 2 ∵ m ? 0 , ∴ f ?x? ? m ? 2 ? m ? 2 , 当 x ? 1 时取等号, ∴ f ?x ?max ? m ? 2 ,又 f ?x ? 的最大值为 3 , ∴ m ? 2 ? 3 ,即 m ? 1 .
2

(Ⅱ)根据柯西不等式得: a 2 ? b 2 ? c 2 12 ? ?? 2? ? 12 ? ?a ? 2b ? c? ,
2

?

??

?

∵ a ? 2b ? c ? m ? 1, 当

∴a ?b ? c ?
2 2 2

1 , 6

1 1 1 1 a b c 2 2 2 ? ? ,即 a ? , b ? ? , c ? 时取等号,∴ a ? b ? c 的最小值为 . 6 6 3 6 1 ?2 1

·12·


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