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导数及其应用


导数及其应用
【专题要点】 1. 导数的定义:利用导数的定义解题;高考资源网 2. 求导数(包括求导函数和某一点的导数); 3. 导数的简单应用,包括求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的单调性等,复现率较高; 4. 导数在实际问题中的应用(利润最大,用料最省,效率最高等优化问题); 5. 综合考查,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切 线问题等有机地结合在一起,设计综合问题。包括: (1) 函数、导数、方程、不等式综合在一起,解决单调性、参数的范围等问题,这类问题涉及含参 数的不等式、不等式的恒成立的求解;高考资源网 (2) 函数、导数、方程、不等式综合在一起,解决极值、最值等问题,这类问题涉及求极值和极值 点、求最值,有时需要借助方程的知识求解; (3) 利用导数的几何意义求切线方程,解决与切线方程有关的问题; (4) 通过构造函数,以导数为工具证明不等式; (5) 导数与解析几何或函数图像的混合问题,这是一个重要问题,也是高考中考察综合能力的一个 方向 【考纲要求】 ⑴了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等) ,掌握函数在一点处 的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. ⑵熟记基本导数公式( C , x ( n 为有理数), sin x.cos x,loga x, a x , ex ,ln x 的导数) .掌握两个函数四则 运算的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. ⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导 数要极值点两侧异号) ,会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 【知识纵横】
n

1

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?0 lim ?1 定义:f ? x0 ? ? ? x ?0 ?x ? ? ??1? 公式:①常函数,②指,③对,④幂,⑤复合函数。 ? 0 ? ?2 运算 ? ? u ?? ? ?? 2 ? 法则:① ? au ?? ,② ? u ? v ?? ,③ ? uv ?? ,④ ? ? ?v? ? ? ? ??1? 物理意义:瞬时速度及加速度 ? ? ? ?斜率:求法有三①知两点②知倾角③求导 ? ? 0 ? ? ?3 意义: ?①在该点出的切线方程, ? ? 2 几何意义 ? ? ? ? ? ? , ? ? ?切线方程:②过某点做曲线的切线方程 ? ? ? ? ? ?③知切线求参数值. ? ? ? 导数 ? ? ?①证明或判断单调性; ? ? ? ? ??1? 单调性 ?②求单调区间; ? ?③知单调,求参数范围. ? ? ? ? ? ? ?①求极值; ? ? ? ? ?? 2 ? 求两函数值 ?②求最值; ?40 应用: ? ?③知极值或最值,求参数值. ? ? ? ? ? ? ? 3? f ? x ? 与f ? ? x ?的图像关系 ? ? ? ?①证明不等式; ? ? ? ? 4 ? 综合应用 ?②比较实数大小; ? ? ? ?③讨论方程根的个数. ? ? ? ? ?
【教法指引】 (1)近几年各地高考题一直保持对导数知识考查力度,体现了在知识网络交汇点出题的命题风格,重 点考查导数概念、单调性、极值等传统、常规问题,这三大块内容是本专题复习的主线,在复习中应以此 为基础展开,利用问题链向学生展示题目间的内在联系,揭示解题的通法通解,如讲解利用导数处理函数 单调性问题时, 可设计这样的问题链: 已知函数求单调区间 ?知函数在区间上单调求参数 ?若函数不单调 如何求参数. (2)要认识到新课程中增加了导数内容,增添了更多的变量数学,拓展了学习和研究的领域,在复习 中要明确导数作为一种工具在研究函数的单调性、极值等方面的作用,这种作用不仅体现在导数为解决函 数问题提供了有效途径,还在于它使学生掌握了一种科学的语言和工具,能够加深对函数的深刻理解和直 观认识 高考资源网 (3)在教学中有意识的与解析几何(特别是切线、最值) 、函数的单调性,函数的最值极值,二次函 数,方程,不等式,代数不等式的证明等进行交汇,综合运用。特别是精选一些以导数为工具分析和解决 一些函数问题、切线问题的典型问题,以及一些实际问题中的最大(小)值问题 【典例精析】 1.导数定义的应用 例 1 (2008 北 京 高 考 ) 如 图 , 函 数 f ( x ) 的 图 象 是 折 线 段 ABC , 其 中 A,B,C 的 坐 标 分 别 为 y A C 4 2 3 2 1 B

(0,,,,, 4) (2 0) (6 4) , lim
解:由图可知 f ?x ? ? ?

?x ?0

f ?1 ? ?x ? ? f ?1? ? _________. ?x

0? x?2 ?? 2 x ? 4   ,根据导数的定义 2? x?3 ?x ? 2   

知 lim

?x ?0

f ?1 ? ?x ? ? f ?1? ? f ??1? ? ?2 . ?x

例2(2006 重庆高考)已知函数 f ?x? ? x 2 ? bx ? c e x ,其中 b, c ? R , (Ⅰ)略, (Ⅱ)若 b 2 ? 4?c ? 1?, 且

?

?

lim
x ?0

f ?x ? ? c ? 4 ,试证: ? 6 ? b ? 2 . x

解: f ??x? ? x 2 ? ?b ? 2?x ? b ? c e x ,易知 f ?0? ? c .故

?

?

lim
x ?0

f ?x ? ? c f ? x ? ? f ?0? ? lim ? f ??0? ? b ? c , x ? 0 x x?0
?b ? c ? 4,
2 ?b ? 4?c ? 1?,

所以 ?

解得 ? 6 ? b ? 2 .

2. 利用导数研究函数的图像高考资源网 例 3 (2009 安徽高考)设 a <b,函数 y ? ( x ? a)2 ( x ? b) 的图像可能是

解: y ? ( x ? a)(3x ? 2a ? b) , 由 y ? 0 得 x ? a, x ?
/ /

2a ? b 2a ? b , ∴当 x ? a 时, y 取极大值 0, 当x ? 3 3

时 y 取极小值且极小值为负.故选 C.或当 x ? b 时 y ? 0 ,当 x ? b 时, y ? 0 选 C. 点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型. 例 4(2009 年湖南卷)若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [ a, b] 上是增函数, ... 则函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象可能是

3

y

y

y

y

o

a

b x

o

a

b x

o

a

b x

o

a

b x

A .

B.

C.

D.

解: 因为函数 y ? f ( x) 的导函数 ...y ? f ?( x) 在区间 [ a, b ] 上是增函数,即在区间 [ a, b] 上各点处函数的 变化率是递增的,故图像应越来越陡峭.由图易知选 A. 点评:这是一道非常精彩的好题,题目考察了导数的概念——函数的变化率以及图像的变化规律,是 以高等数学中函数图像的凹凸性为背景命制的,虽然试题的设计来源于高等数学,但考察的还是中学所学 的初等数学知识.这也是近年来高考命题的一大特色. 3.利用导数解决函数的单调性问题 例 5(2008 全国高考)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间;高考资源网 (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围. 解: (1) f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 求导得 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1
3 2 2

? 2 ? 3

1? 3?

当 a ? 3 时, ? ? 0 , f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 R 上递增;
2

当a

2

? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?
? ? ?

?a ? a 2 ? 3 , 3
? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? ? 递增。 ? ? ? 3 ? ?

即 f ( x ) 在 ? ??,

? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? 递增, ? ? 递减, ? ? ? 3 3 3 ? ? ?

(2)因为函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,所以当 x ? ? ? , ? ? 时 f ? ? x ? ? 0 恒成立,结合二次

? 2 ? 3

1? 3?

? 2 ? 3

1? 3?

? ? 2? ? f ?? ? 3 ? ? 0 ? ? ? 函数的图像可知 ? 解得 a ? 2 . 1 ? ? ?f? ? ?0 ? ? ? ? ? 3?
点评:函数在某区间上单调转化为导函数 f ? ? x ? ? 0 或 f ? ? x ? ? 0 在区间上恒成立问题,是解决这类问题的

4

? ?a ? a 2 ? 3 2 ?? ? ? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? ? 3 3 通法.本题也可以由函数在 ? 求解. , ? 上递减,所以 ? ? ? 2 3 3 ? a ? a ? 3 1 ? ? ? ?? ? 3 3 ? 1 3 1 2 【变式 1】 (2004 年全国高考)若函数 f ? x ? ? x ? ax ? ?a ? 1?x ? 1 在区间 ?1,4? 上是减函数,在区间 3 2

?6,??? 上是增函数,求实数 a 的取值范围.
解: f ?x ? ? x 2 ? ax ? ?a ? 1?,令 f ??x ? ? 0 得 x ? 1 或 x ? a ? 1 ,结合图像知 4 ? a ? 1 ? 6 ,故 a ? ?5,7?. 点评:本题也可转化为 f ??x ? ? 0,x ? ?1,4?恒成立且 f ??x ? ? 0,x ? ?6,??? 恒成立来解. 【变式 2】(2005 年湖南高考)已知函数 f ? x ? ? ln x ? 围; 解:f ??x ?( x) ?
2

1 2 ax ? 2 x?a ? 0? 存在单调递减区间,求 a 的取值范 2

1 ax2 ? 2 x ? 1 ? ax ? 2 ? ? . 因为函数 f ?? x ? 存在单调递减区间, 所以 f ??x ? ? 0 在 ?0,??? 上 x x

解,从而 ax ? 2 x ? 1 ? 0 有正解.高考资源网
2 ①当 a ? 0 时, y ? ax2 ? 2 x ? 1为开口向上的抛物线, ax ? 2 x ? 1 ? 0 总有正解; 2 2 ② 当 a ? 0 时 , y ? ax ? 2 x ? 1 为 开 口 向 下 的 抛 物 线 , 要 使 ax ? 2 x ? 1 ? 0 总 有 正 解 , 则

? ? 4 ? 4a ? 0 ,解得 ? 1 ? a ? 0 .
综上所述,a 的取值范围为 ?? 1,0? ? ?0,??? . 【变式 3】 (2009 浙江高考)已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .若函数 f ( x ) 在区 间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ... 解:函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于 f ??x ? ? 0 在区间 (?1,1) 上有实数解,且无重根.
2 又 f ??x? ? 3x ? 2?1 ? a ?x ? a?a ? 2? ,由 f ??x ? ? 0 ,得 x1 ? a, x 2 ? ?

a?2 。从而 3

a?2 ? ?1 ? ? ? 1, ?? 1 ? a ? 1, ?? 1 ? a ? 1, ?? 5 ? a ? 1, ? ? ? ? ? 3 解得 ? 或? a ? 2 或? ? 1 1 a?2 a?? , ? a?? , a?? , ? ? ? a ? ? . 3 2 2 ? ? ? ? 3 ?
所以 a 的取值范围是 ? ? 5,? ? ? ? ?

? ?

1? ? 1 ? ,1?. 2? ? 2 ?

点评:这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势,充分体现高考“能力立意”的思想,高考中应高度 重视。
5

(4)利用导数的几何意义研究曲线的切线问题
2 例 6 (2009 江西高考)若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x3 和 y ? ax ?

A. ? 1 或 -

25 64

B. ? 1 或

21 4

C. ?

7 25 或4 64

15 x ? 9 都相切,则 a 等于 4 7 D. ? 或 7 4

解:设过 (1,0) 的直线与 y ? x3 相切于点 ( x0 , x03 ) ,所以切线方程为 y ? x03 ? 3x02 ( x ? x0 )

3 , 2 15 25 2 x ? 9 相切可得 a ? ? , 当 x0 ? 0 时,由 y ? 0 与 y ? ax ? 4 64 3 27 27 15 2 x? x ? 9 相切可得 a ? ?1 ,所以选 A . 当 x0 ? ? 时,由 y ? 与 y ? ax ? 2 4 4 4
即 y ? 3x02 x ? 2x03 ,又 (1, 0) 在切线上,则 x0 ? 0 或 x0 ? ? 点评:函数的切线问题,切点是关键,因为它是联结曲线和其切线的“桥梁” ,在做题中往往需要设出切 点. 【变式】 (2008 辽宁高考)设 P 为曲线 C : y ? x2 ? 2x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值 范围为 ?0, ? ,则点 P 横坐标的取值范围为(

? ?? ? 4? 1? ?

)高考资源网

A. ? ?1 , ? ? 2

? ?

B. ? ?1 , 0?

C. ?0, 1?

D. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

解:由曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ?0, ? ,可得曲线 C 在点 P 处切线的斜率范围为 ?0, 1? ,又 4

? ?? ? ?

1 y ? ? 2 x ? 2 ,设点 P 的横坐标为 x0 ,则 0 ? 2x0 ? 2 ? 1 ,解得 ? 1 ? x 0 ? ? ,故选 A . 2
5. 利用导数求函数的极值与最值 例 7(2009 天津卷理)已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? 2a ? 3a)e ( x ? R), 其中 a ? R
2 2 x

(1) 当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率; (2) 当 a ?

2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值。 3
2 x 2 x

(I)解: 当a ? 0时,f ( x) ? x e ,f ' ( x) ? ( x ? 2 x)e ,故f ' (1) ? 3e.

所以曲线y ? f ( x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为 3e. 高考资源网
(II) 解:f ' ( x) ? x ? (a ? 2) x ? 2a ? 4a e .
2 2 x

?

?

令f ' ( x) ? 0,解得 x ? ?2a,或 x ? a ? 2.由a ?
以下分两种情况讨论。

2 知, ? 2a ? a ? 2. 3

6

(1) 若a >

2 ,则 ? 2a < a ? 2 .当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3
? 2a
0 极大值

x

?? ?, ? 2a ?
+ ↗

?? 2a,a ? 2?
— ↘

a?2
0 极小值

?a ? 2, ? ??
+ ↗

所以f ( x)在(??, ? 2a), (a ? 2, ? ?)内是增函数,在 (?2a,a ? 2)内是减函数 .

函数f ( x)在x ? ?2a处取得极大值 f (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a . 函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极小值 f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 .
(2) 若a <

2 ,则 ? 2a > a ? 2 ,当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3
a?2
0 极大值

x

?? ?,a ? 2?
+ ↗

?a ? 2, ? 2a ?
— ↘

? 2a
0 极小值

?? 2a, ? ??
+ ↗

所以f ( x)在(??,a ? 2), (?2a, ? ?)内是增函数,在 (a ? 2, ? 2a)内是减函数。

函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极大值 f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 . 函数f ( x)在x ? ?2a处取得极小值 f (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a .
点评: 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考 查运算能力及分类讨论的思想方法。
4 3 2 例8 (2008 年天津高考) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 x ? b ( x? R) , 其中 a, b ? R . 若函数 f ( x ) 仅在 x ? 0

处有极值,求 a 的取值范围.
2 2 解: f ?( x) ? x(4 x ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 的根.

为使 f ( x ) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 成立,即有 ? ? 9a ? 64 ? 0 .
2 2

解不等式,得 ?

8 8 8 8 ? a ? .这时, f (0) ? b 是唯一极值.因此满足条件的 a 的取值范围是 [? , ] .高考 3 3 3 3

资源网 6.利用导数解决实际问题 例 9 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架, 要求长方体的长与宽之比为 2: 1, 问该长方体的长、 宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? 18 ? 12x 3? ? ? 4.5 ? 3x(m) 解:设长方体的宽为 x (m) ,则长为 2 x (m),高为 h ? ? 0<x< ? . 4 2? ? 故长方体的体积为 V ?x ? ? 2 x ?4.5 ? 3x ? ? 9 x ? 6 x m
2 2 3

? ?
3

? ?0 ? x ? ?

3? ? 2?

7

从而 V ?( x) ? 18x ? 18x 2 (4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x). 令 V ' ?x ? ? 0 ,解得 x ? 0 (舍去)或 x ? 1 ,因此 x ? 1 . 当 0 ? x ? 1 时,V ' ?x ? ? 0 ;当 1 ? x ?

3 时,V ' ?x ? ? 0 ,故在 x ? 1 处 V ?x ? 取得极大值,并且这个极大值 2

就是 V ?x ? 的最大值,从而最大体积 V ? V ' ?x? ? 9 ?12 ? 6 ?13 m3 ,此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m 例 10(2009 年湖南高考)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩 之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费 用为 (2 ? x ) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为

? ?

y 万元 高考资源网
(Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式;高考资源网 (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 解 (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, ( n ? 1) x ? m,即n= 所以

m ?1 x m m y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256( -1)+ (2 ? x ) x x x 256 m ? m x ? 2m ? 256 . = x

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ??x ? ? ?
3

256m 1 ? 2 ? mx , 2 x2
w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

1

令 f '( x) ? 0 ,得 x 2 ? 512 ,所以 x =64 当 0< x <64 时 f '( x) <0,

f ( x) 在区间(0,64)内为减函数;

当 64 ? x ? 640 时, f '( x) >0. f ( x ) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x ) 在 x =64 处取得最小值,此时, n ? 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小 高考资源网 高考资源网

m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. x 64

8


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