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广东省深圳市翠园、宝安中学2013届高三5月第二次联考数学(理)试题 Word版含答案


广东省深圳市翠园、宝安中学 2013 年高三 5 月第二次联考数学(理)试题 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:1.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 2.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液. 不 按以上要求作答的答案无效. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 设全集 I 是实数集 R . M ? {x | x ? 4} 与
2

N ? {x |
I

2 ? 1} x ?1 都是 I 的子集 (如图所示) ,
(
N
M

则阴影部分所表示的集合为 A. C.

)

? x x ? 2? ? x 1 ? x ? 2?

B. D.

? x ?2 ? x ? 1? ? x ?2 ? x ? 2?
z? 1 ? 2i 2009 i ? 2 对应的点位于
C.第三象限

(第 1 题图)

2. 在复平面内,复数 A.第一象限

( D.第四象限

)

B.第二象限

? y ? cos x ? 3 sin x ? 1的图象向右平移 m(m>0)个单位,使点( 3 ,1)为 3.若把函数
其对称中心,则 m 的最小值是 ( )

A.π

? B. 2

? C. 3
s?

? D. 6
1 4 t ? 4t 3 ? 16t 2 4 ( t 表示时间,单位:秒; s 表示位移,单
( )

4.已知物体的运动方程是

位:米) ,则瞬时速度为 0 米每秒的时刻是 A.0 秒、2 秒或 4 秒 B.0 秒、2 秒或 16 秒 C.2 秒、8 秒或 16 秒 D.0 秒、4 秒或 8 秒

1 5.设函数 f(x) (x∈ R)为奇函数,f(1)= 2 ,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)=( 5 C. 2

)

A.0

B.1

D.5

6.设 a,b,c 是空间三条直线,? , ? 是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的 是 ( )

? ? ? A.当 c⊥ 时,若 c⊥ ,则 ? ∥ ? B.当 b ? ? 时,若 b⊥ ,则 ? ? ?
C.当 b ? ? ,且 c 是 a 在 ? 内的射影时,若 b⊥ c,则 a⊥ b

? D.当 b ? ? ,且 c ? ? 时,若 c∥ ,则 b∥ c
2 7. 已知曲线 C : y ? 2x , A(0 ? 及点 B(3, a) , 点 , 2) 从点 A 观察点 B, 要使视线不被曲线 C

挡住,则实数 a 的取值范围是 ( A. (4,+∞) B.(-∞,4) C.(10,+∞) D.(-∞,10) 8. 定义域和值域均为[-a,a] (常数 a>0)的函数 y=f(x)和 y=g(x)的图像如图所示, 给出下列四个命题中: (1) 方程 f[g(x)]=0 有且仅有三个解; (2) 方程 g[f(x)]=0 有且仅有三个解; (3) 方程 f[f(x)]=0 有且仅有九个解; (4)方程 g[g(x)]=0 有且仅有一个解。 那么,其中正确命题的个数是 ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 y a y? f(x) ? a O ? a y a y? g(x) a x a x

)

)

O

(第 8 题图)

? a

? a

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 13~15 题是选做题,考生 只能选做二题,三题全答的,只计算前两题得分. 9.若 ? ~ B(n, p), E? ? 6, D? ? 3 ,则 P(? ? 1) 的值为____________ 10.从 4 双不同鞋子中取出 4 只鞋,其中至少有 2 只鞋配成一双的取法种数为 11.下列表中的对数值有且仅有一个是错误的: x 3 5 8 9 15 .

lg x

2a ? b

a?c

3 ? 3a ? 3c

4a ? 2b

3a ? b ? c ? 1

请将错误的一个改正为 lg

=

开始 12.图中所示的 S 的表达式为 . 输入 n s←1 i←1 i<20 与圆 ? ?

13. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系下,直线

? ? cos(? ? ) ? 1
3

2 的公共点个数是_______.

是 s←s+1/(2i+1) 输出 s i←i+1 (第 12 题图) 结束 D C B O A P

14. (不等式选讲选做题)设 a,b ?R+,且 a+b =1,则

2a ? 1 ? 2b ? 1 的最大值是_______.
15. (几何证明选讲选做题)如图所示, AB 是半径等于 3 的 ? ? 的直径,CD 是 ? ? 的弦,BA,DC 的延长线交于点 P, 若 PA=4,PC=5,则 ?CBD ? ________.

(第 15 题图) 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

设a ? (cos? , (? ? 1) sin ? ),

b ? (cos? , sin ? ), (? ? 0,0 ? ? ? ? ? ? ) 是平面上的两个

2 向量,且 a ? b与a ? b 互为垂直. 0 0 a ?b ? 的值; (2)若 7 (1)求 0 4 1 2

?

4 4 , tan ? ? , 求 tan ? 5 3 的值.

17. (本小题满分 12 分) 某企业有一套价值为 4 万元的生产设备, 因要提高其生产能力, 计划对该套设备进行技术改 造,假设改造后产值 y 万元与投入的改造费用 x 万元之间的关系满足: ① 与 (4 ? x) x 成正比;② x ? 2 时, y ? 32 ;③ y 当
2

0?

x ?a 4(4 ? x) ,其中 a 为常数,

且 a ?[0, 2]

(1)设 y ? f (x) ,求出 f (x) 的表达式; (2)求产值 y 的最大值,并求出此时 x 的值.

18. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=BC= 3 ,AA1=1,∠ ACB=90°. (Ⅰ )求异面直线 A1B 与 CB1 所成角的余弦值; (Ⅱ )问:在 A1B1 边上是否存在一点 Q,使得平面 QBC 与平面 A1BC 所成的角为 30°,若存 在,请求点 Q 的位置,若不存在,请说明理由. C1 B1
A1

C
A

B

19. (本小题满分 14 分)
2 2 2 2

(第 18 题图)

动圆 P 与定圆 O1 : x ? y ? 4 x ? 5 ? 0和O2 : x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 均外切,设 P 点的轨迹 为 C. (1)求 C 的方程; (2) 过点 A (3, 作直线 l 交曲线 C 于 P、 两点, y 轴于 M 点, MA ? ?1 MP ? ?2 MQ 0) Q 交 若 当 ?1 ? ?2 ? m时, 求m 的取值范围.

20. (本小题满分 14 分)

x ?x 1 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? f ( 1 2 ) f (x) 在某个区间 I 内满足:对任意的 x1 , x2 ? I , 都有 2 2 如果 , f ( x) ? 1 ? a ln x. x

则称 f (x) 在 I 上为下凸函数;已知函数

(Ⅰ )证明:当 a ? 0 时, f (x) 在 (0,??) 上为下凸函数;

? (Ⅱ )若 f (x) 为 f (x) 的导函数,且

1 x ? [ ,2] 2 时, | f ?( x) |? 1, 求实数 a 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知一系列的抛物线 Cn 的方程为 y=anx2(n ? N*,an>1),过点 An(n, ann2)作该抛物线 Cn 的切线 ln 与 y 轴交于点 Bn, Fn 是 Cn 的焦点, ? An Bn Fn 的面积为 n3 求数列{an}的通项公式;

3 求证:1+ 2 ≤an <2;
2 b ? 2an ? an ,求证:当 n≥1 时, 设 n

b1 ? 2b2 ? 3b3 ? ? ? nbn ?

3 4

2013 年 5 月深圳市翠园、宝安中学第二次联考高三数学(理) 参考答案 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.B 7.D 8.B 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. 3 ? 2
?10

10.54 14.2 2

11.lg15= 3a-b+c 15. 30
?

1 1 1 1 ? ? ?? 3 5 39 12.

13.2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)
2 2 解: (1)由题设,得 (a ? b) ? (a ? b) ?| a | ? | b | ? (? ? 1) sin
2 2

? ? sin 2 ?

?(? ?1)2 sin 2 ? ? sin 2 ? ? 0

--------------------------2 分

即? (? ? 2)sin 2 ? ? 0?0 ? ? ? ? , ?sin 2 ? ? 0, 又? ? 0

? ? ? 2 ? 0 故? 的值为 2.

--------------------------4 分

, (2) a ? b与a ? b垂直时 a ? (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? )
? ? 4 a ? b ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos(? ? ? ) ? 5 --------------------------6 分 ? sin(? ? ? ) ? ? 3 3 tan( ? ? ? ) ? ? 5, 4 ,--------------------------8 分

? tan? ? tan[( ? ? ) ? ? ] ? ?
17. (本小题满分 12 分)

tan( ? ? ) ? tan ? ? 7 ? 1 ? tan( ? ? ) tan ? 24 -----------------------12 分 ?
2

解: (1)∵ 与 (4 ? x) x 成正比,∴ y ? f ( x) ? k (4 ? x) x ,又 x ? 2 时, y ? 32 y 设
2

∴ 解得 k=4,从而有 y ? 4(4 ? x) x …………………………………………… 3 分
2

0?


x 16a ?a 0? x? 4(4 ? x) 1 ? 4a 解得
2

故 f ( x) ? 4(4 ? x) x

(0 ? x ?

16a ) 1 ? 4a …………………………………………… 5 分

2 3 (2)∵f ( x) ? 16 x ? 4 x ,∴f '( x) ? 4 x(8 ? 3x)

令 f ' ( x) ? 0 解得 x1=0,

x2 ?

8 3 ……………………………………………… 6 分

8 16a 8 1 ) ? ?a?2 (ⅰ 若 1 ? 4a 3 ,即 2 ) ,当 x ? (0 , 3 时, f ' ( x) ? 0

所以

f (x)

8 ] 在[0, 3 上单调递增;

8 16a 8 16 a ] ?x? [ 1 ? 4a 时, f ' ( x) ? 0 ,由于 f (x) 在 3 , 1 ? 4 a 上单调递减, 当3
x?
故当

8 8 1024 f( )? 3 时, f (x) 取得最大值 3 27 …………………… 9 分

16 a 16a 8 1 ) ? 0?a? x ? (0 1 ? 4 a 2 时,当 (ⅱ 若 1 ? 4a 3 ,即 ) , 时,

16 a ] 由于 f ' ( x) ? 0 ,∴f (x) 在[0, 1 ? 4 a 上单调递增,

f ( x)max


16a 4096a 2 ? f( )? 1 ? 4a (1 ? 4a)3 ……………………………………… 11 分
2

综上可知:

4096a 16a 1 0?a? 3 2 时,产值 y 的最大值为 (1 ? 4a ) ,此时投入的技术改造费用为 1 ? 4a 万元; 当
8 1024 1 ?a?2 当2 时,产值 y 的最大值为 27 ,此时投入的技术改造费为 3 万元…… 12 分
18. (本小题满分 14 分) 解:分别以 CA,CB,CC1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系………………1 分 则

A1 ( 3,0,1), B (0, 3,0) , C(0,0,0), B1 (0, 3,1) ………………2 分
C1 A1
2

A1 B ? (? 3 , 3 ,?1), | A1 B |? 7 CB1 ? (0, 3 ,1), | CB1 |? 2

z

B1

7 cos ? A1 B ? CB1 ?? ? ? 7 | A1 B || CB1 | 2 7

A1 B ? CB1

C
…………6 分
A x

B

y

7 异面直线 A1B 与 CB1 所成的角的余弦值为 7 ………………7 分
(Ⅱ )解法一:∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱,∠ ACB=90°,∴ CA1,BC⊥ BC⊥ CC1 ∴A1CC1 是二面角 A1-BC-C1 所成的平面角 ∠ 在 RtΔA1C1C 中,可求∠ A1CC1=60°………9 分 假设存在这样的点 Q,使得面 QBC 与面 A1BC 成 30°角. 在平面 A1B1C1 中过点 Q 作 QP∥ B1C1,交 A1C1 于 P,连 PC,则 P.Q.B.C 共面 ∴A1CP 就是 Q—BC—A1 的平面角为 30°…………………12 分 ∠ ∵ 30°<60°,故存在点 P,在角 A1CC1 的平分线上
PC1 ? 3 6 3 ,又 A1B1= 6 ,由相似比可求得 QB1= 3 ,

在 RtΔPC1C 中,可得

2 6 6 3 处(或距 B1 点 3 处)……14 分 ∴ 在距点 A1 Q

解法二:假设存在这样的点 Q,使得面 QBC 与面 A1BC 成 30°角.

???? ? ???? ???? ???? ? A1B1 ? (? 3, 3,0) , CA1 ? ( 3,0,1) ,设 AQ ? ? A1B1 , 1

??? ???? ???? ? ??? ? CQ ? CA1 ? AQ ? ((1? ?) 3, 3?,1) ,又 CB ? (0, 3,0) ,…………………8 分 1 则 ?? ??? ? ?n1 ? CQ ??? ? ? ) 3x ? 3? y ? z ? 0 (1 ??? ? ?? ? n1 ? CB ? 3 ? y ? 0 n1 ? ( x, y, z) ,则 ? 设面 QBC 的法向量为 ,取 x=1,有 ?? n1 ? (1,0,(? ?1) 3) ,…………………10 分 ?? ? n2 ? ( x, y, z) , 同理设面 A1BC 的法向量为
?? ??? ? ? ???n2???? ? 3 y ? 0 ? ? CB ?? ? ? n2 ? CA1 ? 3x ? z ? 0 ,取 x=1,有 n2 ? (1,0, ? 3) ,…………………12 分 由? ?? ?? ? n1 ? n2 4 ? 3? 3 ? cos30? ? ?? ?? ? ? 2 ? 2 ?? n1 ? n2 2 3(? ? 1) ? 1 2 3 ,求出
2 6 ∴ 在距点 A1 3 处…………14 分 Q

19. (本小题满分 14 分) 解(1) Q1 : ( x ? 2) ? y ? 9, Q2 : ( x ? 2) ? y ? 1 ,动圆的半径为 r,则|PQ1|=r+3,
2 2 2 2

|PQ2|= r+1,|PQ1|-|PQ2|=2,…………………3 分 点 P 的轨迹是以 O1、O2 为焦点的双曲线右支,a=1,c=2,

y2 x ? ?1 3 方程为
2

( x ? 0)
………………………………………………6 分

(2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,当 k 不存在时,不合题意. 直线 PQ 的方程为 y=k(x-3) , 则 M (0,?3k ), MA ? (3,3k ), MP ? ( x1 , y1 ? 3k ),

MQ ? ( x2 , y2 ? 3k )

?3 ? ?1 x1 ? 由MA ? ?1 MP ? ?2 MQ得 ?3 ? ?2 x 2 ………………8 分

? y ? k ( x ? 3) ? 得(3 ? k 2 ) x 2 ? 6k 2 x ? 3 ? 9k 2 ? 0 ? 2 y2 ?1 ?x ? 3 由?
? x1 、
x2是此方程的两正根 x1 ? x2 ? , 6k 2 9k 2 ? 3 ? 0, x1 x2 ? 2 ?0 k2 ?3 k ?3

? k 2 ? 3 …………………………………………………………10 分

m ? ?1 ? ?2 ?

3 3 3( x1 ? x2 ) 6k 2 2 9 ? ? ? 2 ? 2? 2 ? ( ,2) x1 x2 x1 x2 3k ? 1 3k ? 1 5 …………14 分

20. (本小题满分 14 分)

1 1 1 1 ? a ln x2 ] [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? [ ? a ln x1 ? 2 x1 x2 x1 , x2 ? (0,??), 则 2 解(Ⅰ )任取

?

x1 ? x2 ? a ln x1 x2 , 2 x1 x2 …………………………………………………………2 分

f(

x1 ? x2 x ? x2 2 )? ? a ln 1 , 2 x1 ? x2 2 …………………………………………3 分

2 ? x12 ? x2 ? 2x1 x2 ,? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2 ,

x1 ? 0, x2 ? 0,


x1 ? x2 2 ? , 2 x1 x2 x1 ? x2 …………………………………………5 分
? ?a ln x1 x2 ? a ln x1 ? x2 , 2

x1 ? x2 ? x1 x2 , a ? 0, 2 又

x ? x2 1 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? f ( 1 ) 2 即2 .? f ( x)为(0,??) 上的下凸函数………………7 分
f ?( x) ? ?
(Ⅱ )

1 a ? x 2 x ,…………………………………………………………9 分 1 a 1 1 ? |? 1, ? ?( x ? ) ? a ? x ? , 2 x x x ……………………………11 分 x

?| f ?( x) |? 1, 即 |

1 1 1 ? x ? [ ,2]时, | f ?( x) |? 1 g ( x) ? ?( x ? ), h( x) ? x ? 2 x x 恒成立,设

g ( x) ? a ? hmin ( x) ,又 则有 max

1 1 g ( x ) ? ?( x ? ) [ ,1] x 在 2 上为增函数,在 [1, 2] 上为减函数

? gmax ( x) ? g (1) ? ?2 ……………………………12 分,
h( x ) ? x ?


1 1 1 3 [ , 2] ? hmin ( x) ? h( ) ? ? x在 2 2 2 ……………………13 分 上为增函数,

3 ? a ? (?2,? ) 2 …………………………………………………14 分

21. (本小题满分 14 分) 解: (1) An(n, ann2)在抛物线 Cn 上,

y? ? 2an x

y, 则切线 ln 的斜率为 2ann,

切线方程为 y-ann2=2 ann(x-n)……………………………2 分

令 x=0,得 y=-ann2,,

1 4a ∴ Bn(0, -ann2) ,又 Fn(0, n )

1 1 4a ∴ ?An Bn Fn = 2 ( n + ann2)n=n3 S 1 4a ∴ n + ann2=2n2,

即 4n2an2-8n2an+1=0, ……………………………3 分

? ∴ =64n4-16n2=16n2(4n2-1)>0,

1 ∵ an>1, ∴ an=1+ 2 n

4n 2 ? 1 ……………4 分

1 (2)证明:∵ an=1+ 2 n

4n ? 1 =1+
2

1?

1 4n 2 , {an}为递增数列,

1?
∴ an≥1+

1 3 4 =1+ 2 . ……………………………6 分

3 又 an <1+ 1 =2, ∴ 1+ 2 ≤an <2. ……………………………8 分
2 bn ? 2an ? an ?

(3).证明:

1 4n 2 ……………………9 分

1 1 2 3 n ( 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ) b ? 2b2 ? 3b3 ??? nbn ? 4 1 2 3 n ∴1

k k k ∵ ? 2 时,
?
2

?

1 2 2 ? ? k ? k ? k ( k ? k ) k ? k ( k ? k ? 1) k ? k ? 1

2( k ? k ? 1) 1 1 ? 2( ? ) k ? k ?1 k ?1 k ……………………12 分

1 1 1 1 1 1 b1 ? 2b2 ? 3b3 ? ? ? nbn ? [1 ? 2(1 ? ? ? ??? ? )] 4 2 2 3 k ?1 k ∴ 1 1 1 2 3 ? [1 ? 2(1 ? )] ? (3 ? )? 4 4 4 ……………………14 分 n n

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