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2016届高三数学一轮复习三角函数与解三角形第六讲二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换

第六讲 二倍角的三角函数及简单的 三角恒等变换 基础自测 1.已知 sinα = 5 4 4 ,则 sin α -cos α 的值为________. 5 π 4 2.已知 x∈(- ,0),cosx= ,则 tan2x=________. 2 5 3.函数 y=(sinx-cosx) -1 的最小正周期为________. 4. 2+2cos8+2 1-sin8的化简结果是________. 5.函数 f(x)=cos2x-2sinx 的最小值和最大值分别为________和________. 2 题型分类 深度剖析 探究点一 三角函数式的化简 4 4cos x-2cos2x-1 例 1 已知函数 f(x)= . π π ? ? ? ? + x - x sin? ?sin? 4 ? ?4 ? ? ? 1 ? 11π ?的值; ? π? (1)求 f?- (2)当 x∈?0, ?时,求 g(x)= f(x)+sin2x 的最大值和 ? 4? 2 ? 12 ? ? 最小值. 探究点二 三角函数式的求值 例2 π sin(α + ) 4 5 (1)已知 α 是第一象限角,且 cosα = ,求 的值. 13 cos(2α +4π ) 1 π 3 π 3π π (2)已知 cos(α + )= , ≤α < ,求 cos(2α + )的值. 4 5 2 2 4 探究点三 三角恒等式的证明 1 ? 2 ? ? π? ? π? 例 3 已知函数 f(x)=?1+ sin x+msin?x+ ?sin?x- ?. ? 4? ? 4? ? tanx? ? π 3 π ? ? (1)当 m=0 时,求 f(x)在区间? , ?上的取值范围; 4 ? ?8 3 (2)当 tanα =2 时,f(α )= ,求 m 的值. 5 2 课时规范训练六 班级 姓名 π? 1 π? 2 ? ? 1.已知 tan(α +β )= ,tan?β - ?= ,那么 tan?α + ?=________. 4 4? 5 4 ? ? ? 1 ? π ? 2.已知 cos2α = (其中 α ∈?- ,0?),则 sinα 的值为________. 2 ? 4 ? ?π ? 3.若 f(x)=2tanx- ,则 f? ?的值为________. x x ?12? sin cos 2 2 2sin -1 2 2 x π 1 2π 4.已知 sin( -α )= ,则 cos( +2α )的值是________. 6 3 3 5.若 2 =- ,则 cosα +sinα 的值为________. π 2 ? ? sin?α - ? 4? ? cos2α 3-4cos2α +cos4α 6.化简:(1)cos20°cos40°cos60°cos80°; (2) . 3+4cos2α +cos4α 3 ?π +x?-1. ? 2 ?2 ? π ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; (2)当∈?0, ?时,求函数 f(x)的最大值和最小值. 2? ? 7.设函数 f(x)= 3sinxcosx-cosxsin? 8.已知函数 f(x)=2cos2x+sin x-4cosx. π (1)求 f( )的值; (2)求 f(x)的最大值和最小值. 3 2 4 第六讲 基础自测 3 1.- 5 题型分类 二倍角的三角函数及简单的 三角恒等变换 4.-2sin 4 5.-3 3 2 24 2.- 7 3.Π 深度剖析 2 2 (1+cos2x) -2cos2x-1 cos 2x 例 1 解 (1)f(x)= = ?π ? ?π ? ?π ? ?π ? sin? +x?sin? -x? sin? +x?cos? +x? ?4 ? ?4 ? ?4 ? ?4 ? 2 2 2cos 2x 2cos 2x = = =2cos2x, π ? ? cos2x sin? +2x? ?2 ? ? 11π ?=2cos?-11π ?=2cosπ = 3. ∴f?- ? ? 6 ? 6 ? 12 ? ? ? π? ? (2)g(x)=cos2x+sin2x= 2sin?2x+ ?. 4? ? π ?π 3π ? π ? π? ∵x∈?0, ?,∴2x+ ∈? , ?,∴当 x= 时,g(x)max= 2,当 x=0 时,g(x)min 4 4 4 4 8 ? ? ? ? =1. 5 12 例 2 解 (1)∵α 是第一象限角, cosα = ,∴sinα = . 13 13 π 2 2 2 2 sin(α + ) (sinα +cosα ) (sinα +cosα ) 4 2 2 2 2 ∴ = = = = 2 2 cos(2α +4π ) cos2α cos α -sin α cosα -sinα 5 12 - 13 13 13 2 =- . 14 π π π 2 (2)cos(2α + )=cos2α cos -sin2α sin = (cos2α -sin2α ), 4 4 4 2 π 3π 3π π 7π π 3 ∵ ≤α < ,∴ ≤α + < .又 cos(α + )= >0, 2 2 4 4 4 4 5 3π π 7 π 4 故可知 <α + < π ,∴sin(α + )=- , 2 4 4 4 5 π π π 4 3 24 从而 cos2α =sin(2α + )=2sin(α + )cos(α + )=2×(- )× =- . 2 4 4 5 5 25 π π 3 2 7 2 sin2α =-cos(2α + )=1-2cos (α + )=1-2×( ) = . 2 4 5 25 π 2 2 24 7 31 2 ∴cos(2α + )= (cos2α -sin2α )= ×(- - )=- . 4 2 2 25 25 50 ? cosx?sin2x=sin2x+sinxcosx=1-cos

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