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2014年皖北协作区高三年级联考试卷数学(理科)参考答案及评分标准


2014 年皖北协作区高三年级联考试卷

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:1-10 DC C D D B A A B C 二、填空题: 11. 1;12. 三、解答题: 16.解: f ( x) ? 2sin x[a ? sin( x ?

? ;13. ? 2 ? a ? 4 ;14. 60 ; 15.(1) (2) (3) (4) 6

?

1 1 ) ? sin x] ? 2 2 2
………………2 分 ………………6 分

1 ? 2a sin x ? cos x ? (1 ? 2sin 2 x) 2 1 ? a sin 2 x ? cos 2 x. 2
由题意知 f ( x) 在点 x ?

?
3

处取得最大值或最小值是 ? a ? (? ) , ……8 分
2 2

1 2

于是,得 a sin

2? 1 2? 1 ? cos ? ? a2 ? , 3 2 3 4
3 . 2

………………10 分

整理,得 4a ? 4 3a ? 3 ? 0 ,解得 a ?
2

………………12 分

17. 解:由题设

f (1) ? e ? 1, f (e) ? 1得 | 0? e | ?b ? e ? 1, | a | ? 1? | b? 1 . ? a ? 1,b ? 1 .

………………3 分 ………………4 分 ………………5 分

e ? f ( x) ?| ln x ? | ?1 . x
令 g ( x ) ? ln x ? e ,则 g ?( x) ? (ln x ? e )? ? 1 ? e , 2

x

x

x

x

? x ? (0, ??),? g ?( x) ? 0 ,
? y ? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增.
又 ………………7 分

e ? g (e) ? ln e ? ? 0, e

………………9 分

数学(理科)参考答案及评分标准 第 1 页 (共 6 页)

?当 x ? e 时, f ( x) ?| ln x ? x | ?1 ? ln x ? x ? 1 在 (e, ??) 上单调递增;………10 分
2 2
当0 ?

x ? e 时, f ( x) ?| ln x ? x | ?1 ? ?(ln x ? x ) ? 1 在 (0, e) 上单调递减.
2 2

…11 分

故 f ( x) 在 (0, e) 上单调递减, f ( x) 在 (e, ??) 上单调递增. ………………12 分 18. 解: (1)设每次比赛乙获胜的概率为 p,则比赛 5 次乙恰好有 k 次获胜的概率为

C 5k p k (1-p)5-k(k=0,1,2,…,5),
2 2 1 由题设 C5 p (1 ? p) 3 ? C5 p(1 ? p) 4 ,且 0 ? p ? 1 ,

……………2 分

化简得 p ?

1 , 3 1 3

……………4 分 ……………5 分

所以,乙获胜的概率为 . (2)甲获胜的概率为 1 ? p ? 1 ?

1 2 ? . 3 3

……………6 分 ……………7 分

依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6.

[解法一]设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 2 1 5 ( )2 ? ( )2 ? . 3 3 9 若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对 5 下轮比赛是否停止没有影响.从而有 P(? ? 2) ? , 9 4 16 4 5 20 , P(? ? 6) ? ( ) 2 ? , ………………10 分 P(? ? 4) ? ( )( ) ? 9 81 9 9 81 5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . ………………12 分 9 81 81 81 [解法二] 令 Ak 表示甲在第 k 局比赛中获胜,则 Ak 表示乙在第 k 局比赛中获胜. 由独立性与互不相容性得: P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ?

5 , 9 P(? ? 4) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) 2 1 1 2 20 , ? 2[( )3 ( ) ? ( )3 ( )] ? 3 3 3 3 81 P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) 2 1 16 ? 4( )2 ( ) 2 ? , 3 3 81

5 20 16 266 故 E? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? . 9 81 81 81

………………12 分

数学(理科)参考答案及评分标准 第 2 页 (共 6 页)

19.(1)作 EO1 ? 面 ABCD 于 O1 , 作 FO2 ? 面 ABCD 于 O2 ,因 与 F ? CBD 都是正三棱锥, E ? ABD 且 O1 、 O2 分别为 ?ABD 与 ?CBD 的 中心,

E

F

B A
O1 O

C
O2

D

? EO1 / / FO2 且

EO1 ? FO2 ?

6 . 3

………………3 分

所以四边形 EO1O2 F 是平行四边形,所以 O1O2 / / EF . ………………4 分 又 O1O2

ABCD, EF ? ABCD ,所以 EF / / 平面 ABCD . …………6 分

(2)如图,建立空间直角坐标系, B(0, ?1, 0) 、C(? 3, 0, 0) 、 D(0,1, 0) 、 E(

3 6 , 0, )、 3 3

F(?

3 6 , 0, ). 3 3
E
F

??? ? ??? ? 3 6 ? BE ? ( ,1, ) 、 BC ? (? 3,1, 0) 、 3 3 ??? ? ??? ? A 3 6 BD ? ( 0 , 2 , 0 ) BF ? ( ? 、 ,1, ) .…7 分 3 3 ? 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 BDE 的法向量, ? ? ? 2 y1 ? 0 ? ??? ? ??????? ?n1 ? BE ?n1 ? BE ? 0 ? ? ? ?? 3 ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? 6 x1 ? y1 ? z1 ? 0, ? ? ? ?n1 ? BD, ?n1 ? BD ? 0, 3 ? 3 ? y1 ? 0 ? ?? 3 6 x1 ? z1 ? 0, ? 3 ? 3

B

O
D

C

? n1 ? ( 2, 0, ?1). ………………9 分 ? 设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 为平面 BCF 的法向量,
数学(理科)参考答案及评分标准 第 3 页 (共 6 页)

? ? ? ? 3 x2 ? y2 ? 0 ? ??? ? ??? ? ? ? ?n2 ? BC ?n2 ? BC ? 0 ?? 3 ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? 6 x2 ? y2 ? z2 ? 0, ? ? ?? ?n2 ? BF , ?n2 ? BF ? 0, 3 ? 3 ? y2 ? 3 x2 ? ?? 3 6 x2 ? y2 ? z2 ? 0, ?? 3 ? 3 ? n2 ? ( 3,3, ? 6).
设平面 EBD 与平面 FBC 所成锐二面角为 ? ,

………………10 分 ………………11 分

? ? n ?n 6? 6 2 6 2 ? ? ?| n1 |? 3,| n2 |? 3 2, ? cos ? ?| ? 1 ?2 |?| |? ? . ………………12 分 | n1 || n2 | 3 ?3 2 3 6 3
所以,面 EBD 与面 FBC 所成锐二面角的余弦值为

2 . 3

………………13 分

20.解: (1)由题意可设椭圆方程为

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0) ,
y

?c 3 ? ? ?a 2 1 ? 2 ?a ? 2 ? 2 ?1 ? 2 由 a 得 ? , ………3 分 2 b ? b ?1 ? 2 2 2 ?a ? b ? c ? ?
x2 4

M
P

A

O

Q

B

x

所以,椭圆方程为

? y 2 ? 1 ………4 分

(2)设 P( x0 , y0 ) ,则直线 AP 的方程 y ?

y0 ( x ? 2) , x0 ? 2

可得 M (2,

4 y0 ), x0 ? 2

………………6 分

设定点 Q (a, 0) ,? MQ ? PB ,

数学(理科)参考答案及评分标准 第 4 页 (共 6 页)

4 y0 x ? 2 y0 ? ? ?1 , ? kM Q ? k P B? ?1 ,即 0 2 ? a x0 ? 2
? y0 2 4 ? ? ?1. 2 x0 ? 4 2 ? a
1?

………………8 分

………………10 分

x0 2 x2 y2 1 2 又因为 0 ? y0 ? 1 ,所以 2 0 ? 2 4 ? ? . ………………12 分 x0 ? 4 x0 ? 4 4 4
进而求得 a ? 1 ,故定点为 Q(1, 0) . 21.解: (1) f n' ( x) ? nx n ?1 (1 ? x) 2 ? 2 x n (1 ? x) ? x
n ?1

………………13 分

(1 ? x)[n(1 ? x) ? 2 x]

? (n ? 2) x n?1 ( x ? 1)( x ?
1 4

n ) n?2
n . n?2

………………2 分 ……………3 分

当 x ? ( ,1) 时,由 f n' ( x) ? 0 知: x ?

? n ? 1?

n 1 ………………4 分 ? ( ,1). n?2 4 1 n n ∵ x ?( , ) 时, f n' ( x) ? 0 ; x ? ( ,1) 时, f n' ( x) ? 0 ; 4 n?2 n?2
∴ f ( x)在( ,

1 n n ) 上单调递增,在 ( ,1) 4 n?2 n ? 2 上单调递减

∴ f n ( x) 在 x ? 即 an ? (

n 处取得最大值, n?2
………………6 分

n n 2 2 4n n ) ( ) ? . n?2 n?2 (n ? 2) n ? 2
4n n 1 ? , n?2 (n ? 2) ( n ? 2) 2

(2)当 n ? 2 时,欲证

只需证明 (1 ? ) n ? 4

2 n

………………7 分

0 1 2 n ∵ (1 ? ) n ? Cn ? Cn ? ( )1 ? Cn ? ( ) 2 ? ? ? Cn ? ( )n

2 n

2 n

2 n

2 n

数学(理科)参考答案及评分标准 第 5 页 (共 6 页)

? 1? 2 ?

n(n ? 1) 4 ? 2 ? 1? 2 ?1 ? 4 . 2 n

………………9 分

所以,当 n ? 2 时,都有 an ?

1 成立. ………………10 分 ( n ? 2) 2

(3) Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ?

4 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 ??? 27 4 5 6 (n ? 2) 2

?

4 1 1 13 4 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? . ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )? 27 3 n ? 2 27 27 3 4 4 5 5 6 n ?1 n ? 2
13 成立. ………………13 分 27

所以,对任意正整数 n ,都有 S n ?

数学(理科)参考答案及评分标准 第 6 页 (共 6 页)


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