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江西省白鹭洲中学12-13学年高二上学期第二次月考数学理试题


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白鹭洲中学 2012—2013 年上学期高二年级月考 数学试卷(理科)
考生注意: 1、 本试卷设Ⅰ、Ⅱ卷和答题卡纸三部分,试卷所有答案都必须写在答题纸上。 2、 答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的,答题时应特别注意,不能错位。 3、 考试时间为 120 分钟,试卷满分为 150 分。

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 已知空间三条直线 l、m、n. 若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则( A. m 与 n 异面. C. m 与 n 平行. B. m 与 n 相交. D. m 与 n 异面、相交、平行均有可能.



2. 已知二面角 ?—AB—? 是直二面角,P 为棱 AB 上一点,PQ、PR 分别在平面 ? 、 ? 内,且
?QPB ? ?RPB ? 45? ,则 ?QPR 为(

) C.120? D.150? )

A.45?

B.60?

3.正方体的棱长为 a ,由它的互不相邻的四个顶点连线所构成的四面体的体积是( A. 4.
a3 6

B.

a3 4

C.

a3 3

D.

a3 2

若 ? , ? , ? 是三个互不重合的平面, l 是一条直线,则下列命题中正确的是( A.若 ? ? ? , l ? ? , 则l / /? B.若 l ? ? , l / / ? , 则? ? ? C.若 l与? , ? 的所成角相等,则 ? / / ? D.若 l 上有两个点到α 的距离相等,则 l / /?



5. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中与 AD1 成 600 角的面对角线的条数是( ) A.4 条 B.6 条 C.8 条 D.10 条 6.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的侧面 AB1 内有一动点 P 到直线 AB 与直线 B1C1 的距离相 等,则动点 P 所在曲线的形状为( )
D A
A B O P A1 B1
A1 A P B1 B

C B P D1 C1 B1

A P A1

B O

A

B O P

B1

A1

B1

A1

?

??
D.

A.

B.

C.

7. 将边长为 1 的正方形 ABCD,沿对角线 AC 折起,使 BD= 体积为( )

6 .则三棱锥 D-ABC 的 2

A.

2 12

B.

6 24

C.

6 12

D.

2 24

8.如图,ABC—A1B1C1 是正方体,E、F 分别是 AD、DD1 的中点,则面 EFC1B 和面 BCC1 所成二面 角的正切值等于( )

A. 2 2

B.

3

C.

5

D.

7

9. 已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,A1B⊥CB1,则 A1B 与 AC1 所成的角为( A.450 B.600 C.900 D.1200



10. 二面角 ? ? AB ? ? 的平面角是锐角,点 C ? ? , 且点 C 不在棱 AB 上,D 是 C 在平面 ? 上的射 影,E 是棱 AB 上满足∠CEB 为锐角的任意一点,则( ) A .∠CEB>∠DEB B.∠CEB=∠DEB C.∠CEB<∠DEB D.∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 三条平行直线可以确定平面_________个。
12. A-BCD 是各条棱长都相等的三棱锥.,那么 AB 和 CD 所成的角等于_______。 13. 锐角 A 为 60°,边长为 a 的菱形 ABCD 沿 BD 折成 60°的二面角,则 A 与 C 之间的距离为 ___________。 14. 正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成 60°的二面角,则对角线 AC与对角线 BF

?

??


对所成角的余弦值是__________。

15. 已知直线 m、n 及平面 ? ,其中 m∥n,那么在平面 ? 内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合 可能是: (1)一条直线; (2)一个平面; (3)一个点; (4)空集.其中正确的是__________。 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分)

16.设函数

3 (1 ? cos 2? ) cos( ? ? ? ) 2 f (? ) ? ? cos 2 ? . 2 cos( ? ? ? )

(1)设 A是?ABC 的内角,且为钝角,求 (2)设 A, B 是锐角 ?ABC 的内角,且 AC 边的长。

f ( A) 的最小值;
7? , f ( A) ? 1, BC ? 2, 求 ?ABC 12
的三个内角的大小和

A? B ?

17.图形 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=AB,Q 是 PC 中点.AC,BD 交于 O 点. (1)二面角 Q-BD-C 的大小: (2 求二面角 B-QD-C 的大小.

18.. 已知双曲线 C 的中心在原点, 抛物线 y ? 2 5x 的焦点是双曲线 C 的一个焦点, 且双曲线经过
2

点 (1, 3) ,又知直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C 相交于 A、B 两点. (1)求双曲线 C 的方程; (2)若 OA ? OB ,求实数 k 值.

19.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1,FD⊥平面 ABCD,EB⊥平面 ABCD,FD=BE=1,M 为 BC 边上的动点.试探究点 M 的位置,使 F—AE—M 为直二面角.

F E D M A B

C

?

??

20. 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的侧面 PAD 垂直于底面 ABCD ,

?ADC ? ?BCD ? 90?

PA ? PD ? AD ? 2 BC ? 2



P

CD ? 3 , M 在 棱 PC 上 , N 是 AD 的 中 点 , 二 面 角
M ? BN ? C 为 30? 求

M D N A B C

PM 的值; MC

? 21. 已知梯形ABCD中,AD∥ BC,∠ ABC =∠ BAD = 2 ,AB=BC=2AD=4, E、F 分别是 AB、CD 上的点,且 EF∥ BC。设 AE = x ,G 是 BC 的中点.
沿 EF 将梯形 ABCD 翻折,使平面 AEFD⊥ 平面 EBCF (如图) . (1)当 x =2 时,求证:BD⊥ EG ; (2)若以 F、B、C、D 为顶点的三棱锥的体积记为 f ( x ) ,求 f ( x ) 的最大值; (3)当 f ( x ) 取得最大值时,求二面角 D-BF-E 的余弦值.

白鹭洲中学 2012—2013 学年上学期高二年级月考 数学试卷(理科)答题卡
考生注意: 1、考生务必用黑色签字笔填写试题答案,字体工整、笔记清楚。 2、答题前,请考生叫密封线内的姓名、班级、考号填写清楚。 3、保持卷面整洁,不得折叠、不要弄破。

一、选择题(5×10=50)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

二、填空题(5×5=25)
考号

11、

12、

13、

14

15.、

三、解答题(本大题共 6 小题,共计 75 分。 ) 16(本题满分 12 分)

姓名

?

??

17(本题满分 12 分)

18(本题满分 12 分)

?

??

19(本题满分 12 分)

F E D M A B

C

20(本题满分 13 分)
P

M D N A B C

?

??

21(本题满分 14 分)

白鹭洲中学 2012—2013 学年上学期高二年级月考

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??

数学试卷(理科)参考答案和评分标准
一、选择题 1
D

2
B C

3
B

4
C

5
C

6
B

7
A

8
C

9

1 0
A

二、填空题(5×5=25)

11、1 个或 3 个 12、

90°

13、

3 a 2

14

1/4

15.、 (2) (1) (4)

15(1)成立,如 m、n 都在平面内,则其对称轴符合条件; (2)成立,m、n 在平面 ? 的同一侧, 且它们到 ? 的距离相等,则平面 ? 为所求, (4)成立,当 m、n 所在的平面与平面 ? 垂直时,平面 ?
内不存在到 m、n 距离相等的点 三、解答题(本大题共 6 小题,共计 75 分。 ) 16(本题满分 12 分)

3 (cos 2 A ? 1) cos( ? ? A) cos 2 A sin A 2 f ( A) ? ? cos 2 A ? ? cos 2 A 2 cos(? ? A) cos A 16.解: (1)

?

1 1 2 ? 1 sin 2 A ? cos2 A ? (sin 2 A ? cos 2 A ? 1) ? sin(2 A ? ) ? . 2 2 2 4 2 ………3 分
?

?
2

? A ? ?,

∵ A 为钝角, 角

5? ? 9? ? 2A ? ? . 4 4 4

……………………………4 分

? 当2 A ?

?
4

?

3? 1? 2 时, f ( A) . 2 取值最小值,其最小值为 2 ……………………6 分

f ( A) ? 1得
(2)由

2 ? 1 ? 2 sin(2 A ? ) ? ? 1,? sin(2 A ? ) ? . 2 4 2 4 2 ………………8 分

? A为锐角, ?

?
4

? 2A ?

?

5 ? ? 4 4 ,

? 2A ?

?
4

?

3? ? 7? ? 5? , A ? .又 ? A ? B ? ,? B ? . ? C ? . 4 4 12 3 12 …………10 分

?

??

BC AC BC sin B ? .? AC ? ? 6. sin A 在△ ABC 中,由正弦定理得: sin A sin B

……12 分

17Ⅰ)解:连 QO,则 QO∥PA 且 QO= ∵ PA⊥面 ABCD ∴ QO⊥面 ABCD 面 QBD 过 QO, ∴ 面 QBD⊥面 ABCD 故二面角 Q-BD-C 等于 90°.

1 1 PA= AB 2 2
Q H D C

B

O

(Ⅱ)解:过 O 作 OH⊥QD,垂足为 H,连 CH. ∵ 面 QBD⊥面 BCD, 又∵ CO⊥BD CO⊥面 QBD CH 在面 QBD 内的射影是 OH ∵ OH⊥QD ∴ CH⊥QD 于是∠OHC 是二面角的平面角. 设正方形 ABCD 边长 2,

则 OQ=1,OD= 2 ,QD= 3 . ∵ OH·QD=OQ·OD

∴ OH=

2 3



又 OC= 2

?

??

在 Rt△COH 中:tan∠OHC=

OC 2 = 2· = 3 OH 3

∴ ∠OHC=60° 故二面角 B-QD-C 等于 60°. 18 本题满分 12 分) 解: (1)抛物线的焦点是(

5 5 ,则双曲线的 c ? .………………1 分 ,0 ) 2 2

设双曲线方程: 解得: a ?
2

x2 y2 1 3 ? 2 ? 1, 则有 2 ? 2 ? 1 …………………………2 分 2 a b a b

1 2 , b ? 1 ? 方程为 : 4 x 2 ? y 2 ? 1…………………………5 分 4

(2)联立方程: ?

? y ? kx ? 1 ?4 x ? y ? 1
2 2

? (4 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0

当 ? ? 0时, 得 ? 2 2 ? k ? 2 2 (且k ? ?2) ……………………7 分(未写△扣 1 分) 由韦达定理: x1 ? x 2 ?

2k ?2 , x1 x 2 ? ……………………8 分 2 4?k 4?k2

设 A( x1 , y1 ), B( x1 ? x2 ),由 OA ? OB, x1 x2 ? y1 y2 ? 0

即(1 ? k 2 ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 代入可得: k 2 ? 2, k ? ? 2 ,检验合格.……12 分
19 本题满分 12 分) 以 D 为坐标原点,分别以 DA、DC、DF 所在直线为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标 D-xyz, 依题意,得 D(0,0,0),A(1,0,0),F(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),E(1,1,1), 设 M(λ,1,0),平面 AEF 的法向量为 n1 =(x1,y1,z1),平面 AME 的法向量为

n 2 =(x2,y2,z2)
∵ AE =(0,1,1), AF =(-1,0,1),

?n1 ? AE ? 0 ∴? ?n1 ? AF ? 0

∴?

? y1 ? z 1 ? 0 ? z1 ? x1 ? 0

取 z1=1,得 x1=1,y1=-1

∴ n1 =(1,-1,0)

又 AM =(λ-1,1,0) , AE =(0,1,1),

?

??

? n2 ? AE ? 0 ∴? ?n2 ? AM ? 0

∴?

y2 ? z2 ? 0 ? x 2 (? ? 1) ? y 2 ? 0 ?


取 x2=1 得 y2=1-λ,z2=λ-1 若平面 AME⊥平面 AEF,则 n1 ⊥ n 2 ∴ 1-(1-λ)+(λ-1)=0,解得λ= 此时 M 为 BC 的中点.

n 2 =(1,1-λ,λ-1)
∴ n1

? n 2 =0,

1 , 2

所以当 M 在 BC 的中点时, 平面 AME⊥平面 AEF.

……………12 分

20 立如图所示的坐标系 N ? xyz ,其中 N (0,0,0) , A(1,0,0) , B(0, 3,0) ,

C(?1, 3,0) , D(?1,0,0) , P(0,0, 3) 。
设 PM ? ? MC(? ? 0) ,则 M (

?? 3? 3 , , ), 1? ? 1? ? 1? ?

于是 NB ? (0, 3,0) , NM ? (

???? ?

?? 3? 3 , , ) 1? ? 1? ? 1? ?

设 n ? (x,y,z) 为面 MBN 的法向量,则 NB ? n ? 0, NM ? n ? 0 ,

? 3 y ? 0 , ? ?x ? 3?y ? 3z ? 0, 取 n ? ( 3,0, ? ) ,
又 m ? (0,0,1) 为面 BNC 的法向量,由二面角 M ? BN ? C 为 30 ? , 得 cos m, n ?

m?n mn

?

?
3??
2

? cos 30? ?

3 , 2

解得 ? ? 3, 故

PM ? 3。 MC

21.解: (1)方法一: ∵平面 AEFD ? 平面 EBCF ,? EF // AD , ?AEF ? 又 BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系 E-xyz. ? EA ? 2,? EB ? 2 ,又? G 为 BC 的中点,BC=4,

?
2

,
A

z
D

? AE⊥EF,∴AE⊥平面 EBCF ,AE⊥EF,AE⊥BE,
? BG ? 2 .则 A(0,0,2) ,B(2,0,0) ,

E F

y

??? ? ??? ? BD ? (-2,2,2) EG ? (2,2,0) , , ??? ??? ? ? BD ? EG ? (-2,2,2) ?(2,2,0)=0, ∴ BD ? EG .……4 分

G(2,2,0) ,D(0,2,2) ,E(0,0,0) , xB

G

C

?

??

方法二: 作 DH⊥EF 于 H,连 BH,GH, 由平面 AEFD ? 平面 EBCF 知:DH⊥平面 EBCF, 而 EG ? 平面 EBCF,故 EG⊥DH.

? EF // BC ,? ?AEH ? ?EBC ?

?
2

,? AE ? EF ,? AE // DH . ? AD // EF ,? AEHD 为

平行四边形, EH ? AD ? 2,? EH // BC , EH ? BC , 且 ?EBC ? ? 边形 BGHE 为正方形,∴EG⊥BH,BH ? DH=H, 故 EG⊥平面 DBH, 而 BD ? 平面 DBH,∴ EG⊥BD.………4 分 (或者直接利用三垂线定理得出结果) (2)∵AD∥面 BFC,所以 f ( x) ? V D ? BCF =VA-BFC=

?
2

, BE ? BC ? 2 , 四 ?

1 1 1 ? S ?BCF ? AE ? ? ? 4(4 ? x) x 3 3 2 2 8 8 8 ? ? ( x ? 2) 2 ? ? ,即 x ? 2 时 f ( x) 有最大值为 . ………8 分 3 3 3 3
A D

?? (3)设平面 DBF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,∵AE=2, B(2,0,0) , ??? ? D(0,2,2) ,F(0,3,0) ,∴ BF ? (?2,3,0), ………9 分 ??? ? BD ? (-2,2,2) , ?? ??? ? ?n1 ?BD ? 0 ( ?( x, y, z )? ?2, 2, 2) ? 0 ??2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? 则 ? ?? ??? ,即 ? ,? ? ( ? ( x, y, z )? ?2,3,0) ? 0 ? ?2 x ? 3 y ? 0 ? n1 ?BF ? 0 ? B ?? 取 x ? 3, y ? 2, z ? 1 ,∴ n1 ? (3,2,1) ?? ? ? AE ? 面BCF ,? 面 BCF 一个法向量为 n2 ? (0,0,1) , ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 14 ? 则 cos< n1 , n2 >= ??? ??? ? ,………14 分 | n1 || n2 | 14

E

H
F

G

C

()


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