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第四章 第三节 平面向量的数量积及平面微量应用举例


一、两个向量的夹角 1.定义 定义 向量a和b, 已知两个 非零向量a和b,作 叫做向量a与 的夹角 的夹角. ∠AOB=θ叫做向量 与b的夹角 = 叫做向量 =a, = b,则 b,

2.范围 范围 ° 向量夹角θ的范围是 ° 同向时, 向量夹角 的范围是 0°≤θ≤180° ,a与b同向时,夹角 与 同向时 180° ° 反向时, θ= 0° 与b反向时,夹角 = ° . = ;a与 反向时 夹角θ= 3.向量垂直 向量垂直 ° 与 垂直 ⊥ 如果向量a与 的夹角是 垂直, . 如果向量 与b的夹角是 90°则a与b垂直,记作 a⊥b ,

二、平面向量数量积的意义 1.a,b是两个非零向量,它们的夹角为θ,则数 , 是两个非零向量,它们的夹角为 , 是两个非零向量 |a|·|b|·cosθ叫做 与b的数量积,记作 ,即a·b 叫做a与 的数量积 记作a·b, 的数量积, 叫做 = |a|·|b|·cosθ . 规定0·a=0. 规定 = 当a⊥b时,θ=90°,这时 = 0 ⊥ 时 = ° 这时a·b= . 2.a·b的几何意义 的几何意义 a·b等于 的长度 与b在a的方向上的 等于a的长度 等于 的长度|a|与 在 的方向上的 投影|b|cosθ的乘积 投影 的乘积 .

b在a上的投影是向量吗? 在 上的投影是向量吗 上的投影是向量吗? 提示:不是,b在a上的投影是一个数量 上的投影是一个数量|b|cosθ, 提示:不是, 在 上的投影是一个数量 , 它可以为正,可以为负,也可以为 它可以为正,可以为负,也可以为0.

三、向量数量积的性质 〈 , 〉 1.如果 是单位向量,则a·e=e·a= |a|cos〈a,e〉. 如果e是单位向量, = = 如果 是单位向量 2.a⊥b? a·b=0 且a·b=0? ⊥ ? = ? 2 3. a·a = |a| ,|a|= |a|= 4.cos〈a,b〉= 〈 , 〉 5.|a·b| ≤ |a||b|. . . a⊥b ⊥

四、数量积的运算律 1.交换律 = b·a . 交换律a·b= 交换律 + 2.分配律 +b)·c= a·c+b·c . 分配律(a+ 分配律 = 3.对λ∈R,λ(a·b)= 对 ∈ , = (λa)·b = a·(λb)

数量积的运算满足结合律吗? 数量积的运算满足结合律吗? 提示:数量积的运算不满足结合律, 提示:数量积的运算不满足结合律,即(a·b)c= = a(b·c)不成立 这是由于 不成立.这是由于 表示一个与c共线的 不成立 这是由于(a·b)c表示一个与 共线的 表示一个与 向量, 表示一个与a共线的向量 向量,而a(b·c)表示一个与 共线的向量,因此 表示一个与 共线的向量, (a·b)c与a(b·c)一般是不相等的 与 一般是不相等的. 一般是不相等的

五、数量积的坐标运算 设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 = , = , 1.a·b= a1b1+a2b2 . = 2.a⊥b? a1b1+a2b2=0. ⊥ ? 3.|a|= = 4.cos〈a,b〉= 〈 , 〉 .

5.已知向量 、b的夹角为 °,且|a|=4,( 已知向量a、 的夹角为 的夹角为45° 已知向量 = , =12,则|b|= , = ;b在a方向上的投影等于 在 方向上的投影等于

a+b)·(2a-3b) + - . |b|, ,

解析: = 解析:a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉=4|b|cos45°=2 〈 , 〉 ° 又( a+b)·(2a-3b)=|a|2+ + - = a·b-3|b|2 -

=16+ |b|-3|b|2=12, + - , 解得|b|= 解得 = 2 或|b|= = (舍去 舍去). 舍去 cos45°=1. °

b在a上的投影为 在 上的投影为|b|cos〈a,b〉= 〈 , 〉 上的投影为 答案: 答案:

1.当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角,需求得 及 当 , 是非坐标形式时 是非坐标形式时, 的夹角, 与 的夹角 需求得a·b及 |a|,|b|或得出它们的关系 , 或得出它们的关系 或得出它们的关系. 2.若已知 与b的坐标,则可直接利用公式 若已知a与 的坐标 的坐标, 若已知 cosθ= 的夹角θ∈ , 【注意】 平面向量 、b的夹角 ∈[0,π]. 注意】 平面向量a、 的夹角

已知|a|= , = 已知 =1,a·b= 求:(1)a与b的夹角; 的夹角; 与 的夹角 (2)a-b与a+b的夹角的余弦值 - 与 + 的夹角的余弦值 的夹角的余弦值.

,(a-b)·(a+b)= - + =

(1)由(a-b)和(a+b)的数量积可得出 、|b|的 由 - 和 + 的数量积可得出 的数量积可得出|a|、 的 关系.(2)计算 - 和 + 的模 的模. 关系 计算a-b和a+b的模 计算

【解】 (1)∵(a-b)·(a+b)= ∵ - + = 又∵|a|=1,∴|b|= = , = 的夹角为θ, 设a与b的夹角为 ,则cosθ= 与 的夹角为 = 又∵θ∈[0,π], ∈ , , ∴θ= =

,∴|a|2-|b|2=



(2)∵(a-b)2=a2-2a·b+b2 ∵ - +

= 1 ? 2×
∴ a?b =
(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2 + + + ∴|a+b|= + = 的夹角为α, ,设a-b与a+b的夹角为 , - 与 + 的夹角为

则 cos α =

1.已知 、b、c是同一平面内的三个向量,其中 =(1,2). 已知a、 、 是同一平面内的三个向量 其中a= 是同一平面内的三个向量, 已知 (1)若|c|=2 若 = (2)若|b|= 若 = ,且c∥a,求c的坐标; 的坐标; ∥ , 的坐标 垂直, 的夹角θ. ,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角 + 与 - 垂直 与 的夹角

解:(1)设c=(x,y),由c∥a和|c|=2 设 = , , ∥ 和 =

可得

,-4). ∴c=(2,4)或c=(-2,- = 或 = - ,- (2)∵(a+2b)⊥(2a-b), (a+2b)·(2a-b)=0, (2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0, 即2a2+3a·b-2b2=0.∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0, - ∴ - , ∴2×5+3a·b-2× × + - × ∴cosθ= = =0,∴a·b=— , = ,

=-1, =- ,∵θ∈[0,π],∴θ=π. ∈ , , =

利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用, 利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此 类问题的处理方法: 类问题的处理方法: (1)|a|2=a2=a·a; ; (2)|a±b|2=a2±2a·b+b2; ± + (3)若a=(x,y),则|a|= 若 = , , =

已知向量a= 已知向量 = b=(cos = ,-sin -

(cos

x,sin

x ) ,

),且 ,

x∈

(1)求a·b及|a+b|; 求 及 + ; (2)若f(x)=a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值 若 = - + , 的最大值和最小值. 的最大值和最小值

利用数量积的坐标运算及性质即可求解, 利用数量积的坐标运算及性质即可求解,在求 |a+b|时注意 的取值范围 + 时注意 的取值范围. 时注意x的取值范围

2.(2009·湖北高考 已知向量 =(cosα,sinα),b=(cosβ, 湖北高考)已知向量 湖北高考 已知向量a= , , = , sinβ),c=(-1,0). , =- (1)求向量 +c的长度的最大值; 求向量b+ 的长度的最大值 的长度的最大值; 求向量 (2)设α= 设 的值. 且a⊥(b+c),求cosβ的值 ⊥ + , 的值

法一: 解:(1)法一:由已知得 +c=(cosβ-1,sinβ),则 法一 由已知得b+ = - , , |b+c|2=(cosβ-1)2+sin2β=2(1-cosβ). + - = - ∵-1≤cosβ≤1,∴0≤|b+c|2≤4,即0≤|b+c|≤2. , + , + 当cosβ=- 时,有|b+c|max=2, =-1时 =- + , 所以向量b+ 的长度的最大值为 的长度的最大值为2. 所以向量 +c的长度的最大值为 法二: 法二:∵|b|=1,|c|=1,|b+c|≤|b|+|c|=2. = , = , + + = =-1时 当cosβ=- 时,有b+c=(-2,0),即|b+c|=2, =- + =- , + = , 所以向量b+ 的长度的最大值为 的长度的最大值为2. 所以向量 +c的长度的最大值为

(2)法一:由已知可得b+c=(cosβ-1,sinβ), 法一:由已知可得 + = 法一 - , , a·(b+c)=cosαcosβ+sinαsinβ-cosα + = + - =cos(α-β)-cosα. - - ∵a⊥(b+c),∴a·(b+c)=0,即cos(α-β)=cosα. ⊥ + , + = , - = 由α= = 即β- - ,得cos( =2kπ± ± -β)=cos = (k∈Z), ∈ , ,

∴β=2kπ+ = +

π

于是cosβ=0或cosβ=1. = 或 于是 =

2

或β=2kπ,k∈Z, = , ∈ ,

法二: 法二:若α= =

,则a= =

又由b= 又由 =(cosβ,sinβ),c=(-1,0), , , =- , 得a·(b+c)= + = (cosβ-1,sinβ) - ,

cosβ+ sinβ+ ∵a⊥(b+c),∴a·(b+c)=0,即cosβ+sinβ=1. ⊥ + , + = , + = ∴sinβ=1-cosβ,平方后化简得 = - ,平方后化简得cosβ(cosβ-1)=0, - = , 解得cosβ=0或cosβ=1. = 或 解得 = 经检验, 即为所求. 经检验,cosβ=0或cosβ=1即为所求 = 或 = 即为所求

1.证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线 证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行 共线 共线) 证明线段平行问题 的充要条件: 的充要条件: a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0(b≠0). ∥ ? = ? 2.证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件: 证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件: 证明垂直问题 a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0. ⊥ ? = ?

已知向量a= 已知向量 =(cos(-θ),sin(-θ)), - , - , b=(cos( = -θ),Sin( , -θ))

(1)求证:a⊥b; 求证: ⊥ ; 求证 (2)若存在不等于 的实数 和t,使x=a+(t2+3)b, 若存在不等于0的实数 若存在不等于 的实数k和 , = + , y=- +tb,满足 ⊥y,试求此时 =-ka+ ,满足x⊥ , =- 的最小值. 的最小值

(1)可通过求 =0证明 ⊥b. 可通过求a·b= 证明 证明a⊥ 可通过求 (2)由x⊥y得x·y=0,即求出关于 ,t的一个方 由 ⊥ 得 = ,即求出关于k, 的一个方 程,从而求出 的代数表达式, 的代数表达式,消去一个

的函数, 量k,得出关于 的函数,从而求出最小值 ,得出关于t的函数 从而求出最小值.

【解】 (1)∵a·b=cos(-θ)cos( ∵ = - sin( ∴a⊥b. ⊥ (2)由x⊥y得:x·y=0, 由 ⊥ 得 = , 即[a+(t2+3)b]·(-ka+tb)=0, + - + = ,

-θ)+sin(-θ) + -

-θ)=sinθcosθ-sinθcosθ=0. = - =

∴-ka2+(t3+3t)b2+[t-k(t2+3)]a·b=0, - = , ∴-k|a|2+(t3+3t)|b|2=0. 又|a|2=1,|b|2=1, , , ∴-k+t3+3t=0∴k=t3+3t.

=t2+t+3=

故当t=-

时,

有最小值

3.已知 已知A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),O为原点 为原点. 已知 , , , , 为原点 (1)若 若 (2)若 若 (3)若 若 ,求tanα的值; 的值; 的值 的值; ,求sin2α的值; 的值 且α∈(0,π),求 ∈ , , 的夹角. 的夹角

解:(1)

(0,3)-(3,0)=(-3,3). - =- ∴3cosα+3sinα=0, + = ,

=-1. 即sinα+cosα=0,∴tanα=- + = , =- (2) (cosα -3 ,sinα), , =(cosα,sinα-3), , - ,

即(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=0, - + - = , ∴1-3(cosα+sinα)=0,∴sinα+cosα= - + = , + = 两边平方得1+ 两边平方得 +sin2α= = ∴sin2α=

(3+cosα,sinα), + , ∴(3+cosα)2+sin2α=13,∴cosα= + = , = 又α∈(0,π), ∴α= ∈ , , sinα=



的夹角为θ, 的夹角为 ,则

又θ∈[0,π],∴θ= ∈ , , =

从近几年高考试题看, 从近几年高考试题看,平面向量的数量积是高考命题的 热点,主要考查平面向量积的数量的运算、几何意义、模与 热点,主要考查平面向量积的数量的运算、几何意义、 夹角、垂直问题.在高考中直接考查以选择题或填空题为主, 在高考中直接考查以选择题或填空题为主, 夹角、垂直问题 在高考中直接考查以选择题或填空题为主 有时出现解答题,主要与三角函数、 有时出现解答题,主要与三角函数、解析几何综合在一起命 年江苏卷15题考查了向量与三角函数相结合的题目 题.2009年江苏卷 题考查了向量与三角函数相结合的题目, 年江苏卷 题考查了向量与三角函数相结合的题目, 代表了高考的一种考查方向. 代表了高考的一种考查方向

(2009·江苏高考 设向量 =(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ), 江苏高考)设向量 江苏高考 设向量a= , , = , , c=(cosβ,- = ,-4sinβ). ,- (1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值; 若 与 - 垂直, + 的值; 垂直 的值 (2)求|b+c|的最大值; 求 + 的最大值 的最大值; (3)若tanαtanβ=16,求证:a∥b. 若 = ,求证: ∥

[解] (1)因为 与b-2c垂直,? 解 因为a与 - 垂直 垂直, 因为 所以a·(b-2c) - 所以 =4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ - + + =4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,? + - + = , 因此tan(α+β)=2.? + = ? 因此

(2)由b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),得 由 + = + , - , |b+c|= +

又当β=- 又当 =-

时,等号成立, 等号成立,

所以|b+ 的最大值为 的最大值为? 所以 +c|的最大值为? (3)证明:由tanαtanβ=16得= 证明: 证明 = 得 所以a∥ ? 所以 ∥b.?

数学解答题在高考中都是分步赋分的, 数学解答题在高考中都是分步赋分的,只有结果没有相应 步骤和推验过程要被扣分, 步骤和推验过程要被扣分,步骤不完整亦会被扣分如本题 题时, 中,很多考生在答(1)题时,只写由题意得 很多考生在答 题时 只写由题意得a·(b-2c)=0.而 - = 而 不写条件a与 - 垂直 会被扣掉1分 在答(2)题时得出 垂直, 不写条件 与b-2c垂直,会被扣掉 分,在答 题时得出 |b+c|≤4 + 而不说明取等号的条件又会被扣掉1分 而不说明取等号的条件又会被扣掉 分,因此

规范是得满分的前提. 规范是得满分的前提


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