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【金榜原创】2014年高考一轮复习热点难点精讲精析:2.4二次函数


【金榜原创】2014 年高考一轮复习热点难点精讲精析:2.4 二次函数
一、求二次函数的解析式 1.相关链接 求二次函数解析式的方法及思路 求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式,一 般选择规律如下:

2.例题解析 【例 1】设二次函数 f(x)满足 f(x-2)=f(-x-2)且图象在 y 轴上的截距为 1,在 x 轴上截得的线段长为

2 2 , 求 f(x)的解析式.
【方法诠释】二次函数 f(x)满足 f(x+t)=f(t-x),则其对称轴方程为 x=t;图象在 x 轴上截得的线段长 度公式为|x1-x2|,本题可设 f(x)的一般式,亦可设顶点式. 解析:设 f(x)的两零点分别为 x1,x2, 方法一:设 f(x)=ax2+bx+c,则由题知: c=1,且对称轴为 x=-2.

??

b ? ?2, 即 b=4a.∴f(x)=ax2+4ax+1. 2a

? x1 ? x2 ?
∴b=4a=2

? x1 ? x2 ?

2

? 4x1x2 ? 16 ?

4 1 ? 2 2 ?a ? . a 2

∴函数 f(x)的解析式为 f ? x ? ?

1 2 x ? 2x ? 1. 2

方法二:∵f(x-2)=f(-x-2), ∴二次函数 f(x)的对称轴为 x=-2. 设 f(x)=a(x+2)2+b, 且 f(0)=1,∴4a+b=1.

∴f(x)=a(x+2)2+1-4a=ax2+4ax+1,

? x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 ?

2

? 4x1x2 ? 16 ?

4 ?2 2 a

1 1 ? a ? .? b ? ?1.? f ? x ? ? x 2 ? 2x ? 1. 2 2
【方法指导】用待定系数法求二次函数的解析式: (1)设一般式是通法; (2)已知顶点(对称轴或最值),往往设顶点式; (3)已知图象与 x 轴的两交点,往往设两根式, 若选用形式不当,引入的待定系数过多,会加大运算量. 【例 2】如图,抛物线与直线 y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上 、 两点,该抛物线的对称轴 x=-1 与 x 轴相交于点 ,且∠ABC=90°,求: (1)直线 AB 对应函数的解析式; (2)抛物线的解析式.

【解析】(1)由已知及图形得:A(4,0),B(0,-4k), (-1,0), 又∵∠CBA=∠BOC=90°,∴OB2=CO·AO.

1 ∴(-4k)2=1×4, ? k ? ? . 2
又∵由图知 k<0, ? k ? ? . ∴所求直线的解析式为 y ? ?

1 2

1 x ? 2. 2

(2)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,

1 ? ? ?a ? ? 12 ?0 ? 16a ? 4b ? c ? ? 1 ? , 解得 ?b ? ? . 则 ?2 ? c 6 ? ? b ?c ? 2 ?? ? ?1 ? 2a ? ?
∴所求抛物线的解析式为 y ? ?

1 2 1 x ? x ? 2. 12 6

二、二次函数图象与性质的应用 1.相关链接

<一>求二次函数最值的类型及解法 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类 型,解决的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论; (2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解,最值一般在区间的端点或顶点处取得. <二>二次函数单调性问题的解法 结合二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨论求解. 注:配方法是解决二次函数最值问题的常用方法,但要注意自变量范围与对称轴之间的关系. 2.例题解析 【例】(2012·盐城模拟)已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当 a=-1 时,求 f(|x|)的单调区间. 【方法诠释】解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系,结合图象或单调性直接求解,对于(3),应先将 函数化为分段函数,再求单调区间. 解析:(1)当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, 则函数在[-4,2)上为减函数,在(2,6]上为增函数, ∴f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3=35.

2a ? ? a, (2)函数 f(x)=x2+2ax+3 的对称轴为 x ? ? 2
∴要使 f(x)在[-4,6]上为单调函数,只需-a≤-4 或-a≥6,解得 a≥4 或 a≤-6. (3)当 a=-1 时,f(|x|)=x2-2|x|+3
2 2 ? ?x ? 2x ? 3 ? ? x ? 1? ? 2, x ? 0 ?? 2 2 ? ?x ? 2x ? 3 ? ? x ? 1? ? 2, x>0

其图象如图所示:

注: 1.影响二次函数 f(x)在区间[m,n]上最值的要素有三个,即抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间; 常用数形结合思想求解,但当三要素中有一要素不明确时,要分情况讨论. 2.确定与应用二次函数单调性,常借助其图象数形结合求解. 三、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的综合问题 1.相关链接 二次函数问题的解题思路

(1)解决一元二次方程根的分布问题的方法,常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从①开口方 向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析. (2)解决一元二次不等式的有关问题的策略,一般需借助于二次函数的图象、性质求解. 2.例题解析 【例 3】设函数 f(x)=ax2-2x+2,对于满足 1<x<4 的一切 x 值都有 f(x)>0,求实数 a 的取值范围. 【方法诠释】解答本题可以有两条途径:(1)分 a>0,a<0,a=0 三种情况,求出 f(x)在(1,4)上的最小 值 f(x)min,再令 f(x)min>0,从而求出 a 的取值范围;

2 2 2 2 ? , 然后求 g ? x ? ? ? 2 ? 2 x x x x 1 2 1 解析:方法一:当 a>0 时, f ? x ? ? a(x ? ) ? 2 ? , a a
(2)将参数 a 分离得 a> ?

的最大值即可.

?1 ? ?1 由 f(x)>0,x∈(1,4)得: ? a ?f ?1? ? a ? 2 ? 2 ? 0 ?
? 1 ?1 1< <4 ? ?a ? 1 ? a ? ?4 或? 或 ?a , ?? ?f ( 1 ) ? 2 ? 1 >0 ?f ? 4 ? ? 16a ? 8 ? 2 ? 0 ?a ? 0 ? ? a ? a 1 ? ?1 <a<1 ?a ? ? ?4 ? 4 , 或? 或? ?a > 1 ?a ? 3 ? ? 8 ? 2 ?
∴a≥1 或 < a<1 或 ?,即 a> , 当 a<0 时, ?

1 2

1 2

?f ?1? ? a ? 2 ? 2 ? 0 ? , f 4 ? 16a ? 8 ? 2 ? 0 ? ? ? ?

解得 a∈?; 当 a=0 时,f(x)=-2x+2, f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意. 综上可得, 实数 a 的取值范围是 a> .

1 2

2 2 方法二:由 f(x)>0,即 ax2-2x+2>0,x∈(1,4),得 a> ? 2 ? x x
在(1,4)上恒成立. 令 g ? x? ? ?

2 2 1 1 1 ? ? ?2( ? ) 2 ? , 2 x x x 2 2 1 1 1 ? ( , 1),? g ? x ?max ? g ? 2 ? ? , x 4 2

所以要使 f(x)>0 在(1,4)上恒成立,只要 a>

1 即可. 2

注:1.一元二次不等式问题及一元二次方程解的确定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用 问题求解,但要注意讨论. 2.关于不等式的恒成立问题,能用分离参数法,尽量用.因为该法可以避开频繁地对参数的讨论.


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