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2015年北京市西城区一模高三理科数学(含答)


北京市西城区 2015 年高三一模试卷



学(理科)


2015.4

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.设集合 A ? {0,1},集合 B ? {x | x ? a} ,若 A (A) a≤1 (B) a≥1

B ? ? ,则实数 a 的取值范围是(
(C) a≥0 (D) a≤0

2.复数 z 满足 z ? i ? 3 ? i ,则在复平面内,复数 z 对应的点位于( (A)第一象限 (C)第三象限 (B)第二象限 (D)第四象限



3. 在极坐标系中,曲线 ρ = 2 cos θ 是( (A)过极点的直线 (C)关于极点对称的图形

) (B)半径为 2 的圆 (D)关于极轴对称的图形

4.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 3, 则输出的 n 的值为( (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 )

开始 输入 x
n ?1

x ? 100
否 x=3x n=n+1



输出 n

结束

5. 若函数 f ( x) 的定义域为 R , 则 “ ?x ? R , f ( x ? 1) ? f ( x) ” 是 “函数 f ( x) 为增函数” 的 ( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件



第 1 页 共 9 页

6. 一个几何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积的是( (A) 47 6 (B) 23 3 (C) 15 2 (D) 7 2 ) 2

1 1 1 1

1

正(主)视图 1 1

侧(左)视图

2 俯视图

7. 已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元,而 4 枝玫瑰与 4 枝康乃馨的价格之和小 于 20 元,那么 2 枝玫瑰和 3 枝康乃馨的价格的比较结果是( (A)2 枝玫瑰的价格高 (C)价格相同 8. 已知抛物线 y = )

(B)3 枝康乃馨的价格高 (D)不确定

1 2 1 2 x 和y= x + 5 所围成的封闭曲线如图所示,给定点 A(0, a) ,若在此封 y 4 16


闭曲线 5 A

上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点 A 对称,则实数 a 的取值范围是( (A) (1,3) (C) ( ,3) (B) (2, 4) (D) ( , 4)

3 2

5 2

O

x

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 已知平面向量 a , b 满足 a ? (1, ?1) , (a ? b) ? (a ? b) ,那么 | b |= ____. 10.已知双曲线 C:

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点是抛物线 y ? 8x 的焦点,且双曲线 2 a b

C 的离心率为 2 ,那么双曲线 C 的方程为____. 11.在 ? ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 A ?

π 2 7 , cos B ? , b ? 2 ,则 a ? ____. 3 7

12. 若数列 {an } 满足 a1 ? ?2 , 且对于任意的 m, n ? N* , 都有 am?n ? am ? an , 则 a3 ? ___; 数列 {an } 前 10 项的和 S10 ? ____. 13. 某种产品的加工需要 A,B,C,D,E 五道工艺,其中 A 必须在 D 的前面完成(不一定相邻) ,其它工艺的顺序 可以改变,但不能同时进行,为了节省加工时间,B 与 C 必须相邻,那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序 有____种. (用数字作答) 14. 如图,四面体 ABCD 的一条棱长为 x ,其余棱长均为 1,记四面体 ABCD 的体积为 F ( x ) , 则函数 F ( x ) 的单调增区间是____;最大值为____. B
第 2 页 共 9 页

A

D C

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (满分 13 分)设函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 3 , x ? R . (Ⅰ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x) 的值域; (Ⅱ)已知函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? 1 有交点,求相邻两个交点间的最短距离

π 3

π 2

16. (13 分)2014 年 12 月 28 日开始,北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表.(不考虑公交卡折 扣情况)
乘公共电汽车 案 方 10 公里(含)内 2 元; 10 公里以上部分,每增加 1 元可乘坐 5 公里(含). 6 公里(含)内 3 元; 乘坐地铁方案 (不含 机场线) 6 公里至 12 公里(含)4 元; 12 公里至 22 公里(含)5 元; 22 公里至 32 公里(含)6 元; 32 公里以上部分,每增加 1 元可乘坐 20 公里(含).

已知在北京地铁四号线上,任意一站到陶然亭站的票价不超过 5 元,现从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭 站出站的乘客中随机选出 120 人,他们乘坐地铁的票价统计如图所示. (Ⅰ)如果从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中任选 1 人,试估计此人乘坐地铁的票价小于 5 元的概率; (Ⅱ)从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选 2 人, 记 X 为这 2 人乘坐地铁的票价和, 根据统计图, 并以频率作为概率, 求 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)小李乘坐地铁从 A 地到陶然亭的票价是 5 元,返程时,小李乘 坐某路公共电汽车所花交通费也是 5 元,假设小李往返过程中乘坐地铁和 公共电汽车的路程均为 s 公里,试写出 s 的取值范围.(只需写出结论)
人数 60 50 40 30 20 10 O 3 4 5 票价(元)

第 3 页 共 9 页

17. (本小题满分 14 分)如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形, EF //AD , 平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且 BC ? 2 EF , AE ? AF ,点 G 是 EF 的中点. (Ⅰ)证明: AG ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)若直线 BF 与平面 ACE 所成角的正弦值为

6 9

,求 AG 的长;

(Ⅲ)判断线段 AC 上是否存在一点 M ,使 MG //平面 ABF ?若存在,求出 F

AM MC

的值;若不存在,说明理由. E

G A

D C

B 18. (本小题满分 13 分) 设 n ? N* ,函数 f ( x) ?

ln x ex ,函数 , x ? (0, ??) . g ( x ) ? xn xn

(Ⅰ)当 n ? 1 时,写出函数 y ? f ( x) ?1 零点个数,并说明理由; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 分别位于直线 l: y ? 1的两侧,求 n 的所有可能取值. 19. (本小题满分 14 分)设 F1 , F2 分别为椭圆 E :

3 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 P (1, ) 在椭圆 E 上,且 2 2 a b

3 点 P 和 F1 关于点 C (0, ) 对称. 4
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆相交于 A , B 两点,过点 P 且平行于 AB 的直线与椭圆交于另一点 Q ,问是 否存在直线 l ,使得四边形 PABQ 的对角线互相平分?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 13 分)已知点列 T : P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ),
? xi ? xi ?1 , ( i ? 2,3, ? ? yi ? yi ?1 ? 1

, Pk ( xk , yk ) ( k ? N* , k≥2 )满足 P 1 (1,1) ,且 ?

? xi ? xi ?1 ? 1, 与 ? yi ? yi ?1

, k ) 中有且仅有一个成立.

(Ⅰ)写出满足 k ? 4 且 P4 (3, 2) 的所有点列;
k (Ⅱ) 证明:对于任意给定的 k ( k ? N* , k≥2 ) ,不存在点列 T ,使得 ? xi ? ? yi ? 2 ; i ?1 i ?1 k k

(Ⅲ)当 k ? 2 n ? 1 且 P2 n ?1 (n, n) ( n ? N* , n≥2 )时,求 ? xi ? ? yi 的最大值.
i ?1 i ?1

k

k

第 4 页 共 9 页

北京市西城区 2015 年高三一模试卷参考答案及评分标准

高三数学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.B 2.C 3.D 4.B 5.B 6.A 7.A 8.D

2015.4

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 2 10. x 2 ?

y2 ?1 3

11. 7 12. ?8

682

13. 24

14. (0,

6 6 ] (或写成 (0, ) ) 2 2

1 8

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:= 2sin(2 x ? ) ,

π 3

?? 5 分 ??? 6 分所以 ?

因为 0≤x≤

π π π 2π , 所以 ? ≤2 x ? ≤ , 2 3 3 3

3 π ≤sin(2 x ? )≤1 , 2 3

即 ? 3≤f ( x)≤2 ,其中当 x ?

5π 时, f ( x) 取到最大值 2;当 x ? 0 时, f ( x) 取到最小值 ? 3 , 12
?? 9 分 ?????? 10 分 ?????? 12 分

所以函数 f ( x) 的值域为 [? 3,2] . (Ⅱ)依题意,得 2 sin(2 x ?

π π 1 ) ? 1, sin(2 x ? ) ? , 3 3 2 π π π 5π ? 2kπ , 所以 2 x ? ? ? 2kπ 或 2 x ? ? 3 6 3 6 π 7π ? kπ (k ? Z) , 所以 x ? ? kπ 或 x ? 4 12

所以函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? 1 的两个相邻交点间的最短距离为 16. (本小题满分 13 分)

π . ?? 13 分 3

(Ⅰ)解:记事件 A 为“此人乘坐地铁的票价小于 5 元”,
所以票价小于 5 元的有 60 ? 40 ? 100 (人). 故 120 人中票价小于 5 元的频率是

??????1 分

由统计图可知,得 120 人中票价为 3 元、4 元、5 元的人数分别为 60 , 40 , 20 (人). ??2 分

100 5 ? . 120 6

所以估计此人乘坐地铁的票价小于 5 元的概率 P( A) = (Ⅱ)解:X 的所有可能取值为 6,7,8,9,10. ?? 5 分

5 . 6

???4 分

根据统计图,可知 120 人中地铁票价为 3 元、4 元、5 元的频率分别为

60 40 , , 120 120

20 1 1 1 ,即 , , , 120 2 3 6

??? 6 分

第 5 页 共 9 页

以频率作为概率,知乘客地铁票价为 3 元、4 元、5 元的概率分别为

1 1 1 , , . 2 3 6

所以

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 P( X ? 6) ? ? ? , P( X ? 7) ? ? ? ? ? , P( X ? 8) ? ? ? ? ? ? ? , 2 2 4 2 3 3 2 3 2 6 6 2 3 3 18 1 1 1 1 1 1 1 1 P( X ? 9) ? ? ? ? ? , P( X ? 10) ? ? ? , 3 6 6 3 9 6 6 36

8分

所以随机变量 X 的分布列为: X P 6
1 4

7
1 3

8
5 18

9
1 9

10
1 36

?9分
1 1 5 1 1 22 所以 E( X ) ? 6 ? ? 7 ? ? 8 ? ? 9 ? ? 10 ? ? . 4 3 18 9 36 3

? 10 分

(Ⅲ)解: s ? (20, 22] .

?13 分

17. (本小题满分 14 分(Ⅰ)???4 分 (Ⅱ)解令 z ? 1, 得 n ? (t , ?t ,1) . ??7 分 所以 AG ? 1 或

34 2

.

??9 分

(Ⅲ)解:假设线段 AC 上存在一点 M ,使得 MG //平面 ABF , 设

AM AC

=? ,则 AM ? ? AC ,

由 AC ? (4, 4, 0) ,得 AM ? (4? , 4?, 0) ,??10 分

解得 ? ?

1 AM 1 = 时, MG //平面 ABF . ??14 分 .所以当 4 MC 3

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:结论:函数 y ? f ( x) ? 1 不存在零点. 当 n ? 1 时, f ( x) ? ?????1 分 ?????2 分 ?????3 分

ln x 1 ? ln x ,求导得 f ?( x) ? , x x2

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? e . 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x ) 的变化如下表所示:

x
f ?( x ) f ( x)

(0, e)

e
0

(e, ??)

?


?


所以函数 f ( x ) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e, ??) 上单调递减,

1 . e 1 所以函数 y ? f ( x) ? 1 的最大值为 f (e) ? 1 ? ? 1 ? 0 , e
则当 x ? e 时,函数 f ( x ) 有最大值 f (e) ?
第 6 页 共 9 页

?????4 分

所以函数 y ? f ( x) ? 1 不存在零点. (Ⅱ)解:由函数 f ( x) ?

?????5 分

ln x 1 ? n ln x f ?( x) ? , n 求导,得 x x n ?1
1

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? e n . 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x ) 的变化如下表所示:

x
f ?( x )

(0, e )

1 n

e

1 n

(e , ??)

1 n

?


0

?
↘ ?????7 分

f ( x)

所以函数 f ( x ) 在 (0, e n ) 上单调递增,在 (e n , ??) 上单调递减, 则当 x ? e n 时,函数 f ( x ) 有最大值 f (e n ) ?
1

1

1

1

1 ; ne

?????8 分

由函数 g ( x) ?

ex e x ( x ? n) ? x ? (0, ?? ) g ( x ) ? , 求导,得 , xn x n ?1

?????9 分

令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? n . 当 x 变化时, g ?( x ) 与 g ( x) 的变化如下表所示:

x
g ?( x )
g ( x)

(0, n)

n
0

(n, ??)

?


?


所以函数 g ( x) 在 (0, n) 上单调递减,在 (n, ??) 上单调递增,
n 则当 x ? n 时,函数 g ( x) 有最小值 g ( n) ? ( ) .

e n

?????11 分

因为 ?n ? N ,函数 f ( x ) 有最大值 f (e ) ?
*

1 n

1 ?1, ne

所以曲线 y ?

ex ln x 在直线 l: y ? 1的下方,而曲线 y ? n 在直线 l: y ? 1的上方, xn x
??12 分 解得 n ? e . 所以 n 的取值集合为 {1, 2} . ??13 分

n 所以 ( ) ? 1 ,

e n

第 7 页 共 9 页

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:故椭圆 E 的方程为 x 2 . y2 ? ?1 4 3 ?? 5 分

(II)解:结论:存在直线 l ,使得四边形 PABQ 的对角线互相平分. 理由如下: 由题可知直线 l ,直线 PQ 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,直线 PQ 的方程为 y ?

??? 6 分

3 ? k ( x ? 1) . ????? 7 分 2

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由 ?4 3 ? y ? k ( x ? 1), ?

消去 y ,

得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 ,

??? 8 分

由题意,可知 ? ? 0 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

8k 2 4k 2 ? 12 则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ,? 9 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? x2 y 2 ? ? 1, ? ? 4 3 由? 消去 y , 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? (8k 2 ?12k ) x ? 4k 2 ?12k ? 3 ? 0 , 3 ? y ? ? k ( x ? 1), ? ? 2
由 ? ? 0 ,可知 k ? ?

1 3 ,设 Q( x3 , y3 ) ,又 P (1, ) , 2 2
?? 10 分

8k 2 ? 12k 4k 2 ? 12k ? 3 则 x3 ? 1 ? , x3 ?1 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

若四边形 PABQ 的对角线互相平分,则 PB 与 AQ 的中点重合, 所以

x1 ? x3 x2 ? 1 ? ,即 x1 ? x2 ? 1 ? x3 , ??? 11 分 2 2

故 ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? (1 ? x3 )2 .

? 12 分

所以 (

3 8k 2 2 4k 2 ? 12 4k 2 ? 12k ? 3 2 ) ? 4 ? ? (1 ? ) 解得 k ? . 2 2 2 4 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k

所以直线 l 为 3x ? 4 y ? 3 ? 0 时, 四边形 PABQ 的对角线互相平分. ??? 14 分 (注:利用四边形 PABQ 为平行四边形,则有 | PQ |?| AB | ,也可解决问题)
1 (1,1), P 2 (1, 2), P 3 (2, 2), P 4 (3, 2) ; 20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )解:符合条件的点列为 T:P

或 T:P 1 (1,1), P 2 (2,1), P 3 (2, 2), P 4 (3, 2) ;或 T:P 1 (1,1), P 2 (2,1), P 3 (3,1), P 4 (3, 2) .??? 3 分 (Ⅱ )证明:由已知,得 xi ? yi ? xi ?1 ? yi ?1 ? 1 , 由 x1 ? y1 ? 2 ,得 xi ? yi ? i ? 1 ( i ? 1, 2, 所以数列 {xi ? yi } 是公差为 1 的等差数列.
,k ) .

??? 3 分

第 8 页 共 9 页

故 ? xi ? ? yi ? ? ( xi ? yi ) ? 2 ? 3 ?
i ?1 i ?1 i ?1

k

k

k

? (k ? 1) ?

1 k (k ? 3) . 2

??? 5 分

k 若存在点列 T ,使得 ? xi ? ? yi ? 2 , 则 i ?1 i ?1

k

k

1 k (k ? 3) ? 2k ,即 k (k ? 3) ? 2k ?1 . 2

因为整数 k 和 k ? 3 总是一个为奇数,一个为偶数,且 k≥2 ,而整数 2 k ?1 中不含有大于 1 的奇因子, 所以对于任意正整数 k (k≥2) ,任意点列均不能满足 ? xi ? ? yi ? 2k . ???? 8 分
i ?1 i ?1 k k

(Ⅲ)解:由(Ⅱ)可知, yi ? i ? 1 ? xi (i ? 1, 2, 所以 ? xi ? ? yi ? ( x1 ? x2 ?
i ?1 i ?1 k k

, 2n ? 1) ,

? x2 n ?1 )(2 ? x1 ? 3 ? x2 ?
? x2n?1 )[(2 ? 3 ?
k k

? 2n ? x2 n ?1 )
? x2n?1 )] ,

? ( x1 ? x2 ?

? 2n) ? ( x1 ? x2 ?

令 t ? x1 ? x2 ?

? x2n?1 ,则 ? xi ? ? yi ? t[(n ? 1)(2n ? 1) ? t ] .? 10 分
i ?1 i ?1

考察关于 t 的二次函数 f (t ) ? t[(n ? 1)(2n ? 1) ? t ] .
1 (1)当 n 为奇数时,可得 (n ? 1)(2 n ?1) 是正整数, 2

可构造数列 { xi } : 1, 2, 对应数列 { yi } : 1,1, 而且此时, x1 ? x2 ?

1 , (n ? 1), 2
n项

1 1 , (n ? 1), (n ? 1) ? 1, 2 2

,n ,

,1,2,
n项

, n,

(由此构造的点列符合已知条件) ,n .
1 1 ? n ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? 2 2
( n ?1) 个

? x2 n ?1 ? 1 ? 2 ?

1 ? (n ? 1) 2

?1? 2 ? 1 所以当 t ? (n ? 1)(2n ? 1) 时, 2
k

1 1 ? n ? (n ? 1)(n ? 1) ? (n ? 1)(2n ? 1) , 2 2

k 1 x ? yi 有最大值 (n ? 1)2 (2n ? 1)2 .?????12 分 ? ? i 4 i ?1 i ?1

1 1 1 (2)当 n 为偶数时, (n ? 1)(2n ? 1) 不是正整数,而 (n ? 1)(2n ? 1) ? 是离其最近的正整数, 2 2 2 n n n n n 可构造数列 { xi } : 1, 2, , , , , ( ? 1), , ( ? 1), ? 2, , n , 2 2 2 2 2
n ( +1)项 2 n 项 2

n n n n n 对应数列 { yi } : 1,1, ,1, 2, , ? 1, ? 1, ? 2, , ? , , n , (由此构造的点列符合已知条件) 2 2 2 2 2
n ( +1)项 2 n 项 2

而且此时, x1 ? x2 ?

? x2 n ?1 ? 1 ? 2 ?

?n?

n ? 2
n 个 2

?

n n ? ( ? 1) ? 2 2

n ? ( ? 1) 2

n ( ?1) 个 2

?1? 2 ?

n n n n ? n ? ? ? ( ? 1) ? ( ? 1) 2 2 2 2

1 1 ? (n ? 1)(2n ? 1) ? , 2 2

1 1 所以当 t ? (n ? 1)(2n ? 1) ? 时, 2 2

? x ? ? y 有最大值 4 (n ? 1) (2n ? 1)
2
i ?1 i i ?1 i

k

k

1

2

?

1 . 4

?????? 13 分
第 9 页 共 9 页


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