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【南方新课堂】2016年高考数学总复习 第七章 解析几何 第8讲 抛物线课件 理


第8讲

抛物线

1.了解抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
2.理解数形结合的思想.

1.抛物线的定义
平面上到定点的距离与到定直线 l(定点不在直线 l 上)的距 离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点为抛物线的焦点,定直线 准线 . 为抛物线的______

2.抛物线的标准方程、类型及其几何性质(p>0) 标准 方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

图形

焦点

?p ? F?2,0? ? ?

? p ? F?-2,0? ? ?

? p? F?0,2? ? ?

? p? F?0,-2? ? ?

(续表) 标准 方程 准线 范围 对称轴 顶点 离心率

y2=2px
p x=- 2

y2=-2px
p x= 2

x2=2py
p y=- 2

x2=-2py
p y= 2

x≥0,y∈R x轴

x≤0,y∈R x轴

x∈R,y≥0 x∈R,y≤0 y轴 y轴

(0,0)

e=1

x=-2 1.(2013 年上海)抛物线 y2=8x 的准线方程是___________ .
2.(2013 年北京)若抛物线 y2=2px 的焦点坐标为(1,0),则 2 x=-1 . p=________ ;准线方程为________

p 解析:2=1,p=2.

3.(教材改编题)已知抛物线的焦点坐标是(0,-3),则抛 物线的标准方程是( A )

A.x2=-12y
C.y2=-12x

B.x2=12y

D.y2=12x

p 解析:∵2=3,∴p=6,∴x2=-12y.
4.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物 线的方程是( C ) A.y2=-8x C.y2=8x B.y2=-4x D.y2=4x

考点 1 抛物线的标准方程
例 1:(1)已知抛物线的焦点在 x 轴上,其上一点 P(-3,m) 到焦点距离为 5,则抛物线的标准方程为( A.y2=8x B.y2=-8x )

C.y2=4x

D.y2=-4x

解析:已知抛物线焦点在x轴上,其上有一点为P(-3, m),显然开口向左,设y2=-2px,由点P(-3,m)到焦点距离 p 为5,所以点P(-3,m)到准线距离也为5,即3+ 2 =5,p=4, 故标准方程为y2=-8x. 答案:B

(2) 焦点在直线 x -2y -4 =0 上的抛物线的标准方程为 ________________,对应的准线方程为________________.

解析:令x=0,得y=-2;令y=0,得x=4,∴抛物线的 p 焦点为(4,0)或(0,-2).当焦点为(4,0)时, 2 =4,∴p=8,此 p 时抛物线方程为y =16x.当焦点为(0,-2)时, =2,∴p=4, 2
2

此时抛物线方程为x2=-8y.∴所求抛物线方程为y2=16x或x2= -8y,对应的准线方程分别是x=-4或y=2.

答案:y2=16x(或 x2=-8y) x=-4(或 y=2)

【规律方法】第(1)题利用抛物线的定义直接得出 p 的值可 以减少运算;第(2)题易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论, 先入为主,设定一种形式的标准方程后求解,以致失去一解.

【互动探究】

1.(2014年新课标Ⅰ)已知抛物线C:y2=x的焦点为F, 5 A(x0,y0)是C上一点,|AF|=4x0,则x0=( A ) A.1 B.2 C.4 D.8

解析:根据抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等 1 于到准线的距离,又抛物线的准线方程为x=- 4 ,则有|AF|= 1 5 1 x0+ ,即 x0=x0+ ,∴x0=1. 4 4 4

考点 2 抛物线的几何性质 例 2:已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点 (0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为(

)

17 A. 2

B.3

C. 5

9 D.2

解析:由抛物线的定义知,点 P 到该抛物线准线的距离等

于点 P 到其焦点的距离,因此点 P 到点(0,2)的距离与点P 到该
抛物线准线的距离之和即为点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 的距离之和.显然,当 P,F,(0,2)三点共线时,距离之和取得

最小值,最小值为

? 1?2 ?0- ? +?2-0?2= 2? ?

17 . 2

答案:A
【规律方法】求两个距离和的最小值,当两条直线拉直 ?三点共线?时和最小,当直接求解怎么做都不可能三点共线时, 联想到抛物线的定义,即点 P 到该抛物线准线的距离等于点P 到其焦点的距离,进行转换再求解.

【互动探究】

2.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=
4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( A ) 11 5 37 16

A.2

B.3

C.

D.

解析:直线l2:x=-1为抛物线y2=4x的准线.由抛物线 的定义知,点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距 离,故本题转化为在抛物线y2=4x上找一个点P,使得点P到点 F(1,0)和直线l1的距离之和最小,最小值为F(1,0)到直线l1:4x |4-0+6| -3y+6=0的距离,即dmin= =2.故选A. 5

考点 3 直线与抛物线的位置关系 例 3:(2015 年广东惠州三模)已知直线 y=-2 上有一个动

点 Q,过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴,动点 P 在 l1 上,且满足

OP⊥OQ(O 为坐标原点),记点 P 的轨迹为 C.
(1)求曲线 C 的方程; (2)若直线 l2 是曲线 C 的一条切线,当点(0,2)到直线 l2 的距 离最短时,求直线 l2 的方程.

解:(1)设点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(x,-2). ∵OP⊥OQ,∴kOP· kOQ=-1. →· → =x2-2y=0,且x≠0得出) (或者用向量:OP OQ

y -2 当x≠0时,得 · =-1.化简,得x2=2y; x x 当x=0时,P,O,Q三点共线,不符合题意,故x≠0. ∴曲线C的方程为x2=2y(x≠0). (2)方法一:∵直线l2与曲线C相切, ∴直线l2的斜率存在. 设直线l2的方程为y=kx+b,
? ?y=kx+b, 由? 2 ? ?x =2y,

得x2-2kx-2b=0.

2 k ∵直线l2与曲线C相切,∴Δ=4k2+8b=0,即b=- 2 .

∴直线l2的方程为2kx-2y-k2=0. |-2+b| 1 k2+4 ∴点(0,2)到直线l2的距离d= 2 =2· 2 = k +1 k +1 3 ? 1? ? k2+1+ ? 1 2 ?≥2×2 2? k + 1 ? ?
2

3 k +1· 2 = 3. k +1
2

3 当且仅当 k +1= 2 ,即k=± 2时,等号成立. k +1 此时b=-1. ∴直线l2的方程为 2x-y-1=0或 2x+y+1=0.

方法二:由x2=2y,得y′=x. ∵直线l2与曲线C相切,设切点M的坐标为(x1,y1), 1 2 其中y1= x1, 2 ∴直线l2的方程为y-y1=x1(x-x1), 1 2 化简,得x1x-y- x1=0. 2 点(0,2)到直线l2的距离 d=
? 1 2? ?-2- x1? 2 ? ?
2 3 ? 1 x1+4 1? ? x2+1+ ? = · = 1 2 2 2 x2 2? x1+1? x1 +1 ? ? 1+1

1 ≥2×2

x2 1+1·

3 = 3. 2 x1+1

当且仅当

2 x1 +1 =

3 ,即x1=± 2时,等号成立. 2 x1+1

∴直线l2的方程为 2x-y-1=0或 2x+y+1=0. 方法三:由x2=2y,得y′=x. ∵直线l2与曲线C相切,设切点M的坐标为(x2,y2),其中y2 1 2 =2x2>0, ∴直线l2的方程为y-y2=x2(x-x2), 化简,得x2x-y-y2=0.
? -2-y2? y2+2 ? 点(0,2)到直线l2的距离d= = 2 x2+1 2y2+1 ? ? ?

? 3 1? ? 2y +1+ ? = ? 2 2? 2y2+1? ?

1 ≥2×2

3 2y2+1· = 3. 2y2+1

3 当且仅当 2y2+1 = ,即y2=1时,等号成立,此 2y2+1 时x2=± 2. ∴直线l2的方程为 2x-y-1=0或 2x+y+1=0.

【互动探究】 且与该抛物线相交于 A,B 两点.其中点 A 在 x 轴上方.若直
3 线 l 的倾斜角为 60°,则△OAF 的面积为__________ .

3.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,

解析:由y2=4x可求得焦点坐标F(1,0),∵直线l的倾斜角为
60° ,∴直线l的斜率为k=tan60° = = 3 x- A(3,2 3. 3 .利用点斜式得直线方程为y 3, ? 3=
? ?y= 3x- 3 ,将直线和曲线联立方程组,得 ? 2 ? ? y =4 x

?1 2 ? 3 ),B ,- ?3

3? 3

? .因此S△OAF= · yA= 2 ×1×2 2 OF· ?

1

1

●思想与方法●

⊙利用运动变化的思想探求抛物线中的不变问题
例题:AB 为过抛物线焦点的动弦,P 为 AB 的中点,A,B,

P在准线 l 的射影分别是A1,B1,P1.在以下结论中:①FA1⊥FB1;
②AP1⊥BP1;③BP1⊥FB1;④AP1⊥FA1.其中,正确的个数为( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

解析:①如图 7-8-1(1),AA1 =AF,∠AA1F=∠AFA1 ,又

AA1∥F1F,∠AA1F=∠A1FF1,则∠AFA1=∠A1FF1.
同理∠BFB1=∠B1FF1,则∠A1FB1=90°,故FA1⊥FB1.

AA1+BB1 AF+BF AB ②如图781(2),PP1= = 2 = 2 ,即 2 △AP1B为直角三角形,故AP1⊥BP1. ③如图781(3),BB1=BF,即△BB1F为等腰三角形,PP1 =PB,∠PP1B=∠PBP1.又BB1∥P1P,∠PP1B=∠B1BP1,则 ∠PBP1=∠B1BP1,即BP1为角平分线,故BP1⊥FB1. ④如图781(4),同③有AP1⊥FA1. 综上所述,①②③④都正确.故选D.

(1)

(2)

(3)

图 7-8-1

(4)

答案:D

【规律方法】利用抛物线的定义“P 到该抛物线准线的距
离等于点 P 到其焦点的距离”能得到多个等腰三角形,然后利

用平行线的性质,得到多对相等的角,最后充分利用平面几何
的性质解题.


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