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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科)预测卷及答案(全国课标卷二)


刁哥数学——激发你无限的创造力

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文)预测(全国课标卷 2)
(满分 150 分,考试时间 120 分)

第Ⅰ卷(选择题 60 分)
一、选择题(5× 12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请 将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.集合 A={x|y= },B={y|y=log2x,x>0},则 A∩B 等于( )

A. R B. ? C. [0,+∞) D. (0,+∞) 答案及解析:1.C 解:集合 A={x|y= }={x|x≥0},集合 B={y|y=log2x,x>0}=R,因为 A

? B,所以 A∩B=A={x|x≥0},故选:C. 2.若角 的终边过点 ,则 的值为

A. 答案及解析:

B.

C.

D.

B

解析:因为角

的终边过点

,所以



所以

故选 B.

3.已知 i 为虚数单位,复数 A. B. C. D.

,则复数 z 的实部为(



答案及解析: 3.D

解:复数 故选:D.

=

=

=﹣

,则复数 z 的实部为﹣ .

4.某同学同时抛掷两颗骰子,得到的点数分别记为 、b,则双曲线 的概率是( )

的离心率

A.

B.

C.

D.

1

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答案及解析:A 解:由



b>2a

若 a=1 则 b=3、4、5、6,若

a=2 则 b=5、6 P= 5.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,3)内是增函数的是 A.y= 答案及解析: 5.A 故函数为偶函数, 故函数 在(0,3)为增函数,故 A 正确;y=cosx 和 y=x+x 偶函数,但是在(0,3)内是减函数. 6.设等边三角形 ABC 边长为 6,若 A. B. F3 C.- 18 ,则 D.18 等于
- 1

B. y=cosx

C.y=

D.y=x+x

- 1

奇函数,故 B,D 错;y=



答案及解析: 6.【知识点】向量的数量积

B 解析:由题意可得

8.已知函数

的图象与 轴的两个相邻交点的距离等于

,若将函数

的图象向左平移

个单位得到函数

的图象,则

是减函数的区间为( )

A. 答案及解析:

B.

C.

D.

8.【答案解析】D 解析:因为

=

,由图象与 轴

的两个相邻交点的距离等于

,所以其最小正周期为π ,则

,所以

2

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,对于 A,B,C,D 四个选项对应的 2x 的范围分别是

,所以应选 D. 9.已知某几何体的三视图如上图所示,则该几何体的体积为 ( )

A. 答案及解析: 9.C

B.

C.

D.

解析:由三视图易知,该几何体是底面积为

,高为 3 的三棱锥,由锥体的体积公式得

10.已知变量 为( ) A.(∞,1]

满足约束条件



恒成立,则实数

的取值范围

B.

[1,+∞)

C.

[1,1]

D. [-1,1)

答案及解析: C 解析:由题意作出其平面区域,

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则 x+2y≥﹣5 恒成立可化为图象中的阴影部分在直线 x+2y=﹣5 的上方, 则实数 a 的取值范围为[﹣1,1]. 故答案为:[﹣1,1]. 11.已知 F 是抛物线 y =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的 中点到 y 轴的距离为( ) A. B. 1 C. D. 答案及解析: 11.C 【考点】: 抛物线的简单性质. 【专题】: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】: 根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距 离等于到准线的距离,列出方程求出 A,B 的中点横坐标,求出线段 AB 的中点到 y 轴的距 离. 2 解:∵F 是抛物线 y =x 的焦点, F( )准线方程 x= , 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|= |BF|= , =3 , ,
2

∴|AF|+|BF|= 解得

∴线段 AB 的中点横坐标为 , ∴线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 . 故选 C. 【点评】: 本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题,利用抛物线的定义将到焦点的 距离转化为到准线的距离.

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12.已知函数

,( >0,其中 为自然对数的底数),若关于 的方程 ,有且只有一个实数解,则实数 的取值范围为( ) D.

A.

B.

C.

答案及解析: 14.B 【知识点】函数与方程 B9 若 a=0 则方程 f(f(x))=0 有无数个实根,不满足条件,

若 a≠0,若 f(f(x))=0,则 f(x)=1,∵x>0 时,f( 关于 x 的方程 f(f(x))=0 有且只有一个实数解,

)=1,

故当 x≤0 时,a?e =1 无解,即 e =

x

x

在 x≤0 时无解,



<0 或

> 1 ,故 a∈(-∞,0)∪(0,1),

【思路点拨】若 a=0 则方程 f(f(x))=0 有无数个实根,不满足条件, 若 a≠0,若 f(f(x))=0,可得当 x≤0 时,a?e =1 无解,进而得到实数 a 的取值范围. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第 22-24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上。 13.已知直线 与圆 交于 两点, 。 是坐标原点,向量 满足
x

,则实数 的值是 答案及解析:±2 解析:因为向量 满足

,所以 OA⊥OB,又直线 x+y=a 的斜率

为-1,所以直线经过圆与 y 轴的交点,所以 a=±2. 【思路点拨】本题先由向量加法与减法的几何意义得到 OA⊥OB,再由所给直线与圆的特殊 性确定实数 a 的值. 14.正四面体 ABCD 的棱长为 4, E 为棱 BC 的中点,过 E 作其外接球的截面,则截面面 积的最小值为______. 【知识点】几何体的作图;球的半径与截面圆的半径之间的关系. 【答案解析】 4? 解析:解:将四面体 ABCD 放置于正方体中,如图所示

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D

B

j'
O A
可得正方体的外接球就是四面体 ABCD 的外接球, ∵正四面体 ABCD 的棱长为 4, ∴正方体的棱长为 2 2

E C

可得外接球半径 R 满足 2R= 2 2 ? 3 解得 R= 6 E 为棱 BC 的中点,过 E 作其外接球的截面,当截面到球心 O 的距离最大时, 截面圆的面积达最小值, 此时球心 O 到截面的距离等于正方体棱长的一半, 可得截面圆的半径为 r= R2 ? 2 ? 2 得到截面圆的面积最小值为 S= ? r 故答案为:4π
2

=4π .

15.设函数

则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是________.

答案及解析: 15.【知识点】指数不等式,对数不等式的解法. B6 B7 【答案解析】 得 ,所以 x 的取值范围是 【思路点拨】利用同底法求解指数、对数不等式. 16.如图所示,我舰在敌岛 A 南偏西 50°相距 12 海里的 B 处,发现敌舰正由岛 A 沿北偏西 10°的方向以每小时 10 海里的速度航行,我舰要用 2 小时在 C 处追上敌舰,则需要的速度 是_______________. 解析:由 得 ,由

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答案及解析:16. 三、解答题:本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明.推理过程或计算步骤. 17. (12 分)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2, a4 ? 16 (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2)令 bn ?

1 , n ? N ? , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn log 2 an ?log2 an?1

18. (12 分)如图,已知四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面是菱形,侧棱
BB1 ? 底面ABCD ,E 是侧棱 CC1 的中点.
D1

C1
B1

(1)求证: AC ? 平面BDD1 B1 ;

A1

E
D

C
B

(2)求证:AC∥平面 B1 DE .

A

18 题图

19. (12 分)在某学校组织的一次篮球总投篮训练中,规定每人最多投 3 次;在 A 处每投 进一球得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分,如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮, 否则投第 3 次。某同学在 A 处的命中率 q1 为 0.25,在 B 处的命中率为 q 2 。该同学选择 先在 A 处投一球,以后都在 B 处投,用 ? 表示该同学投篮的训练结束后所得的总分,其 分布列为 ? 0 2 3 4 5 P P P P 0.03 1 2 3 4 P (1)求 q 2 的值;

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(2)求随机变量 ? 的数学期望 E? ; (3)试比较该同学选择在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的 概率的大小。

20. (12 分)如图,已知圆 G : ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 是椭圆 其中 A 为椭圆的左顶点. (1)求圆 G 的半径 r ;

x2 ? y 2 ? 1 的内接 ?ABC 的内切圆, 16
y M B F

O G相切.x (2)过点 M (0,1) 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E , F 两点,证明:直线 EF 与圆 G E 20 题图 C

A

21. (12 分)已知二次函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? 1 ? a, b ? R, a ? 0? , 设方程 f ? x ? ? x 的两个实数 根为 x1 和 x2 . (1)如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4, 设函数 f ? x ? 的对称轴为 x ? x0 , 求证: x0 ? ?1; (2)如果 x1 ? 2, x2 ? x1 ? 2 求 b 的取值范围。

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请考生在第 22-24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在 Rt?ABC 中, AB ? BC , 以 AB 为直径的 ? O 交 AC 于点 D ,过 D DE ? BC , 垂足为 E ,连接 AE 交 ? O 于点 F .求证: BE ?CE ? EF ?EA. . E B C F
D
22 题图

O
A

23. (10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? 2 t, ?x ? 3 ? ? 2 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数).在极坐标系 2 ? y? 5? t ? ? 2

(与直角坐 标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的 方程为 ? ? 2 5 sin ? . (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A, B ,若点 P 的坐标为 (3, 5) ,求 PA ? PB .

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24. (10 分)选修 4-5:不等式选讲 2x ? a 已知 f ( x) ? 2 ( x ? R) 在区间 ? ?1,1? 上是增函数。 x ?2 (1)求实数 a 的值所组成的集合 A; 1 (2)设关于 x 的方程 f ( x) ? 的两个根为 x1 、 x 2 ,若对任意 x ? A 及 t ? ? ?1,1? ,不等式 x m 2 ? tm ? 1 ≥ x1 ? x2 恒成立,求 m 的取值范围。

三、解答题 17. 解:(1)设等比数列 ?an ? 的公比为 q 依题意得 ? 解得 q ? 2 3 ?a4 ? a1q ? 16 所以:数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n 1 1 1 (2)由(1)得 log 2 an ? n,log 2 an?1 ? n ? 1, bn ? ? ? n ? n ? 1? n n ? 1

?a1 ? 2

1 ? 1 n ? 1? ? 1 1? ?1 . ? Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ?1 n ?1 ? 2? ? 2 3? ? n n ?1 ?
18. 解析:(1)因为底面 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD ,因为 BB1 ? 底面 ABCD ,所以 BB1 ? AC ,所以 AC ? 平面 BDD1 B1 . (2)设 AC , BD 交于点 O ,取 B1 D 的中点 F ,连接 OF , EF ,
1 1 则 OF ∥ BB1 ,且 OF ? BB1 ,又 EC ? CC1 , 2 2 BB1 ∥ CC1 , BB1 ? CC1 ,所以 OF ∥ CC1 , 1 且 OF ? CC1 ,所以 OF ∥ EC ,且 2 OF ? EC ,所以四边形 OCEF 为平行四边形, OC ∥ EF ,又 AC ? 平面 B1 DE , EF ? 平面 B1 DE ,
D1

C1

A1

B1

F
D

E

C
O

A

所以 AC ∥平面 B1 DE .

18 题图

B

19. 解:(1)由题设知,“ ? ? 0 ”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”,由对 立事件和相互独立事件性质可知 P(? ? 0) ? (1 ? q1 )(1 ? q2 )2 ? 0.03
q2 ? 0.8
1 (2)根据题意 P 1 ? P(? ? 2) ? (1 ? q1 )C2 (1 ? q2 )q2 ? 0.75 ? 2 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.24

解得

P2 ? P(? ? 3) ? q1 (1 ? q2 )2 ? 0.25 ? (1 ? 0.8)2 ? 0.01
2 2 P 3 ? P(? ? 4) ? (1 ? q1 )q2 ? 0.75 ? 0.8 ? 0.48

P4 ? P(? ? 5) ? q1q2 ? q1 (1 ? q2 )q2 ? 0.25 ? 0.8 ? 0.25 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.24

因此 E? ? 0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3 ? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24 ? 3.63 (3)用 C 表示事件“该同学选择第一次在 A 处投,以后都在 B 处投,得分超过 3 分”,用 D 表示事件“该同学选择都在 B 处投,得分超过 3 分”,

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则 P(C ) ? P(? ? 4) ? P(? ? 5) ? P3 ? P4 ? 0.48 ? 0.24 ? 0.72 故 P( D) ? P(C ) 即该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大于该同学选择第一次在 A 处投以后都在 B 处投得分超过 3 分的概率 20.解(1)设 B(2 ? r , y0 ) ,过圆心 G 作 GD ? AB 于 D , BC 交长轴于 H y r GD HB ? 0 , 由 得 ? 2 6 ?r AD AH 36 ? r
1 P( D) ? q22 ? C2 q2 (1 ? q2 )q2 ? 0.82 ? 2 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.896

即 y0 ?

r 6?r

6?r 而点 B(2 ? r, y0 ) 在椭圆上,



(2 ? r )2 12 ? 4r ? r 2 (r ? 2)(r ? 6) ② ? ?? 16 16 16 由①、②式得 15r 2 ? 8r ? 12 ? 0 , 2 6 解得 r ? 或 r ? ? (舍去) 3 5 4 (2)设过点 M (0,1) 与圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 相切的直线方程为: y ? 1 ? kx 9 2k ? 1 2 则 ? ,即 32k 2 ? 36k ? 5 ? 0 ④ 3 1? k 2
2 y0 ? 1?



解得 k1 ?

?9 ? 41 ?9 ? 41 , k2 ? 16 16

x2 ? y 2 ? 1 得 (16k 2 ? 1) x 2 ? 32kx ? 0 , 16 32k 则异于零的解为 x ? ? 16k 2 ? 1 设 F ( x1 , k1 x1 ? 1), E ( x2 , k2 x2 ? 1) ,则

将③代入

x1 ? ?

32k1 32k2 , x2 ? ? 2 2 16k1 ? 1 16k2 ?1 k2 x2 ? k1 x1 k ?k 3 ? 1 2 ? x2 ? x1 1 ? 16k1k2 4

则直线的斜率为: k EF ?

于是直线 FE 的方程为: y ?

32k12 32k1 3 ?1 ? (x ? ) 4 16k12 ? 1 16k12 ? 1

3 7 即 y ? x? 4 3

3 7 ? 2 2 3 ? 故结论成立. 则圆心(2,0)到直线 FE 的距离 d ? 3 9 1? 16 21. 答案:二次函数 f ? x ? 的图象具有连续性,且由于二次方程至多有两个实数根。如

果存在实数 m, n 使得 m ? n 且 f ? m ? f ? n ? ? 0 ? 在区间 ? m, n ? 上,必存在 f ? x ? ? 0 的 唯一的实数根;则“一元二次方程根的问题 转化 ????? ? 二次函数问题
转化 ?????????????????? 不 ? 利用数形结合?

等式问题”而条件 x1 ? 2 ? x2 ? 4 实际上给出了 f ? x ? ? x 的两个实数根所在的区间, 因此可以考虑利用上述图象特征去等价转化。设 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? ax2 ? ?b ? 1? x ? 1, 则 g ? x ? ? 0 的两根为 x1 和 x2 .

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b 3 ? 3?3 ? ? ?0 ? g 2 ? 0 ? ? ? 4 a ? 2 b ? 1 ? 0 ? ? ? 2a 4a ,即? (1)由 a ? 0 及 x1 ? 2 ? x2 ? 4, 可得 ? , 即? , 两式 ?16a ? 4b ? 3 ? 0 ? ??4 ? 2 ? b ? 3 ? 0 ? g ? 4? ? 0 ? 2a 4a ? b 相加得 ? 1,? x0 ? ?1; 2a

(2)由 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? , 可得 2a ? 1 ? ? a ? a
2

? b ?1 ?

2

4

? b ? 1?

2

? 1. 又 x1 x2 ?

1 ? 0,? x1 , x2 同号。 a

22.

F 连接 OD ,因为 AB ? BC ,所以 ?BAC ? 45?. O 所以 ?BOD ? 90?. D ? 在四边形 BODE 中, ?BOD ? ?OBE ? ?BED ? 90 , 所以 BODE 为矩形. 22 题图 A 1 所以 BE ? OD ? OB ? BC . 即 BE ? CE. 2 所以 BE ?CE ? EF ?EA. 23. 本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知 识,考查运算求解能力. 解析:(Ⅰ)由 ? ? 2 5 sin ? 得 x2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0, 即 x2 ? ( y ? 5)2 ? 5.

0 ? x1 ? 2 ? x2 x ? ?2 ? x1 ? 0 ? ? ? ? 2 ? x1 ? 2, x2 ? x1 ? 2 等价于 ? 或? , 2 2 ? ?2a ? 1 ? ? b ? 1? ? 1 ? ?2a ? 1 ? ? b ? 1? ? 1 ?g 2 ? 0 ? g ?2 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 7 ? ? 即 ? g ? 0? ? 0 或 ? g ? 0? ? 0 解之得 b ? 或 b ? . 4 4 ? ? 2 2 ? ? 2 a ? 1 ? b ? 1 ? 1 2 a ? 1 ? b ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? 证法:因为 Rt?ABC 中, ?ABC ? 90? 所以 OB ? CB. 所以 CB 为 ? O 的切线. E C 所以 EB 2 ? EF ?EA.

B

(Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 (3 ?
t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0.

2 2 2 t ) ? ( t )2 ? 5 ,即 2 2
?t ? t2 ? 3 2, ? ? ?t1 .t2 ? 4.

由于 ? ? (3 2)2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实根,所以 ? 1

又直线l过点P(3, 5) ,故由上式及 t 的几何意义得: PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2.

24. 解:(1) f ( x) ?

4 ? 2ax ? 2 x 2 ?2( x 2 ? ax ? 2) ? , ? f ( x ) 在区间 ? ?1,1? 上是增函数, ( x 2 ? 2) 2 ( x 2 ? 2) 2

? f ( x ) ≥0 对 x ? ? ?1,1?

恒成立,即 x 2 ? ax ? 2 ≤0 对 x ? ? ?1,1? 恒成立
?? (1) ? 1 ? a ? 2 ? 0 ? ?1 ? a ? 1 , 设 ? ( x) ? x2 ? ax ? 2 ,则问题等价于 ? ?? (?1) ? 1 ? a ? 2 ? 0

? A ? ? ?1,1?

(2) 由

2x ? a 1 ? ,得 x 2 ? ax ? 2 ? 0 ,? ? ? a 2 ? 8 ? 0 ,? x1 , x2 是方程 x 2 ? ax ? 2 ? 0 x2 ? 2 x 的两非零实根,

? x1 ? x2 ? a, x1 x2 ? ?2 ,从而 x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? a 2 ? 8 ,

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? ?1 ≤ a ≤1,? x1 ? x2 ? a2 ? 8 ≤3。

? 不等式 m 2 ? tm ? 1 ≥ x1 ? x2 对任意 x ? A 及 t ? ? ?1,1? 恒成立 ? m 2 ? tm ? 1 ≥3

对任意 t ? ? ?1,1? 恒成立 ? m 2 ? tm ? 2 ≥0 对任意 t ? ? ?1,1? 恒成立. 设
2 ? ? g (?1) ? m ? m ? 2 ? 0 g (t ) ? m2 ? tm ? 2 ? mt ? (m2 ? 2) ,则问题又等价于 ? ?m 2 ? ? g (1) ? m ? m ? 2 ? 0 ≤-2, m ≥2 即 m 的取值范围是 (??, ? 2? ? ? 2, ??) 。

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