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2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)9.4随机事件的概率课件 新人教A版_图文

[知识能否忆起] 一、随机事件的概率的定义

在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机
事件A发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A 发生的频率具有 稳定性 .这时,我们把这个 常数 叫作 随机事件A的概率,记作P(A),有 0 ≤P(A)≤ .1

二、互斥事件和对立事件
事件 互斥 事件 定义 一个随机试验中,我 们把一次试验中不能 同时发生 的两个事 件 A 与 B 称作互斥事 件. 在一个随机试验中, 两个试验不会 同时 发生,并且一定 有一个 发生的事件 A 和 A 称为对立事件. 概率公式 P(A+B)= P(A)+P(B) ,(事件 A,B 是互斥事件); P(A1+A2+?+An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An) (事 件 A1, 2, A ?, n 任意两个互斥) A

对立 事件

P( A )= 1-P(A)

三、概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围: [0,1] . (2)必然事件的概率P(E)= 1 . (3)不可能事件的概率P(F)= 0 .

[小题能否全取]
1.在下列六个事件中,随机事件的个数为 ( ) ①如果a、b都是实数,那a+b=b+a;②从分别标有号数 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张,得到4号签;③ 没有水分,种子发芽;④某电话总机在60秒内接到至少10 次呼叫;⑤在标准大气压下,水的温度达到50°C时沸腾; ⑥同性电荷,相互排斥

A.2
C.4

B.3
D.5

解析:①⑥是必然要发生的,是必然事件,③⑤是不可能

事件;②④是随机事件.
答案:A

2.(教材习题改编)掷一枚均匀的硬币两次,事件M:一 次正面朝上,一次反面朝上;事件N:至少一次正面

朝上.则下列结果正确的是
1 A.P(M)= 3 1 B.P(M)= 2 1 C.P(M)= 3 1 D.P(M)= 2 1 P(N)= 2 1 P(N)= 2 3 P(N)= 4 3 P(N)= 4

(

)

解析:由条件知事件 M 包含:(正、反)、(反、正).事件 N 包含:(正、正)、(正、反)、(反、正). 1 3 故 P(M)= ,P(N)= . 2 4

答案:D

3.(2013· 兰州月考)从装有5个红球和3个白球的口袋内任 取3个球,那么互斥而不对立的事件是 A.至少有一个红球与都是红球 ( )

B.至少有一个红球与都是白球
C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有二个红球

解析:A中的两个事件不互斥,B中两事件互斥且对立,
C中的两个事件不互斥,D中的两个互斥而不对立. 答案:D

4.(教材习题改编)2012年伦敦奥运会中国与韩国选手进 行女子重剑决赛.中国选手获胜的概率为0.41.战平的 概率为0.27,那么中国选手不输的概率为________. 解析:中国选手不输的概率为0.41+0.27=0.68. 答案:0.68

5.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机
选 取一个数为b,则a<b的概率为________. 解析:从{1,2,3,4,5}中任取一数 a,从{1,2,3}中任取一数
b,共有 5×3=15 种取法,满足 a<b 的有(1,2),(1,3), 3 1 (2,3)共 3 种,故所求概率 P= = . 15 5

1 答案: 5

1.互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立

事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一
必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情 况,而互斥事件未必是对立事件. 2.从集合角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个 事件所含的结果组成的集合交集为空集;事件A的对立事 件B所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结 果组成的集合的补集.

随机事件的频率与概率

[例1]

(2012· 陕西高考)假设甲乙两种品牌的同类产

品在某地区市场上销售量相等,为了解他们的使用寿命, 现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试, 结果统计如下:

(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率; (2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时, 试估计该产品是甲品牌的概率.

[自主解答]

(1)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频

5+20 1 率为 = ,用频率估计概率,所以,甲品牌产品寿命 100 4 1 小于 200 小时的概率为 . 4 (2)根据抽样结果,寿命大于 200 小时的产品有 75

+70=145 个, 其中甲品牌产品是 75 个, 所以在样本中, 75 15 寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率为 = , 145 29 用频率估计概率,所以已使用了 200 小时的该产品是甲 15 品牌的概率为 . 29

1.概率是一个常数,它是频率的科学抽象,将事件
发生的频率近似地作为它的概率是求一事件概率的基本 方法.
m 2.概率公式 P= n (n 次试验中,事件 A 出现 m 次).

1.(2011· 湖南高考)某河流上的一座水力发电站,每年六 月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份 的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y

=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为:
140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,

140,110,160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表: 近20年六月份降雨量频率分布表

降雨量 频率

70

110

140

160

200

220

(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分
布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力 发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时) 的概率.

解:(1)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为 160毫米的有7个,为200毫米的有3个.故近20年六月份 降雨量频率分布表为
降雨量 频率 70 1 20 110 3 20 140 4 20 160 7 20 200 3 20 220 2 20

(2)P(“发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦 时”)=P(Y<490 或 Y>530)=P(X<130 或 X>210)= 1 3 2 3 P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)= + + = . 20 20 20 10 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千 3 瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率为 . 10

互斥事件的概率

[例2]

(2012· 湖南高考)某超市为了解顾客的购物量

及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市
购物的100位顾客的相关数据,如下表所示:
一次购物量 顾客数(人) 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 x 1 30 1.5 25 2 y 2.5 10 3

结算时间
(分钟/人)

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平 均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概 率.(将频率视为概率).
[自主解答] (1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45, 所以 x=15,y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所 收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容 量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均 值可用样本平均数估计,其估计值为 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 =1.9(分钟). 100

(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分 钟”,A1,A2,A3 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”,“该顾 客一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率得 P(A1)= 15 3 30 3 25 1 = ,P(A2)= = ,P(A3)= = . 100 20 100 10 100 4 因为 A=A1∪A2∪A3,且 A1,A2,A3 是互斥事件,所以 P(A) 3 3 1 7 =P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + + = . 20 10 4 10 7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 . 10

应用互斥事件的概率加法公式的关键是判断事件是互 斥事件.

2.(1)(2012· 郑州模拟)抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设 事件 A 为出现奇数点,事件 B 为出现 2 点,已知 P(A) 1 1 = ,P(B)= ,则出现奇数点或 2 点的概率为________. 2 6

解析:因为事件 A 与事件 B 是互斥事件,所以 P(A∪ 1 1 2 B)=P(A)+P(B)= + = . 2 6 3 2 答案: 3

(2)盒内有大小相同的 9 个球, 其中 2 个红色球, 个白色球, 3 4 个黑色球.规定取出 1 个红色球得 1 分,取出 1 个白色球 得 0 分,取出 1 个黑色球得-1 分.现从盒内一次性取 3 个 球. 则取出的 3 个球得分之和恰好为 1 分的概率是________.

解析: 记“取出 1 个红色球, 个白色球”为事件 A, 2 “取 出 2 个红色球,1 个黑色球”为事件 B,则取出 3 个球得 分之和为 1 的事件为“A+B”,则 P(A+B)=P(A)+P(B) C1C2 C2C1 5 2 3 2 4 = 3 + 3 = . 答案: 5 C9 C9 42 42

对立事件的概率

[例3]

一盒中装有大小和质地均相同的12个小球,

其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随

机取出1球,求:
(1)取出的小球是红球或黑球的概率; (2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率.

[自主解答] 记事件 A={任取 1 球为红球},事件 B ={任取 1 球为黑球},事件 C={任取 1 球为白球},事件 5 4 1 D={任取 1 球为绿球},∴P(A)= ,P(B)= = ,P(C) 12 12 3 2 1 1 = = ,P(D)= . 12 6 12

(1)取出的小球是红球或黑球的概率为 P1=P(A∪B) 5 1 9 3 =P(A)+P(B)= + = = . 12 3 12 4

(2)法一:取出的小球是红球或黑球或白球的概率为 5 1 1 11 P2=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= + + = . 12 3 6 12

法二:“取出的小球是红球或黑球或白球”与“取 出的小球为绿球”互为对立事件,故所求概率为 P2=1 1 11 -P(D)=1- = . 12 12

求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法: (1)直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此 互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的概率加法公式 计算;
(2)间接求解法,先求此事件的对立事件的概率,再 用公式 P(A)=1-P( A )求解,即正难则反的数学思想, 特别是“至多”“至少”型题目,用间接求解法就显得 较简便.

3.(2012· 长春模拟)黄种人群中各种血型的人所占的比如下

表所示:
血型 该血型的人所占比/% A 28 B 29 AB 8 O 35

已知同种血型的人可以输血,O型血可以输给任一种 血型的人,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他 不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若小明 因病需要输血,问: (1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?

(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?

解:(1)对任一人,其血型为A,B,AB,O型血的事 件分别记为A′,B′,C′,D′,它们是互斥的.由已知,

有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=
0.35. 因为B,O型血可以输给B型血的人,故“可以输给B型 血的人”为事件B′+D′.根据互斥事件的加法公式,有 P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.

(2)法一:由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“不能
输给B型血的人”为事件A′+C′,且P(A′+C′)=P(A′)+ P(C′)=0.28+0.08=0.36.
法二:因为事件“其血可以输给 B 型血的人”与事件 “其血不能输给 B 型血的人”是对立事件,故由对立事 件的概率公式,有 P( B′ + D′ )=1-P(B′+D′)=1 -0.64=0.36.

答:任找一人,其血可以输给小明的概率为0.64,其血不 能输给小明的概率为0.36.

[典例] 抛掷一枚骰子,事件A表示“朝上一面的点 数是奇数”,事件B表示“朝上一面的点数不超过2”. 求:(1)P(A);(2)P(B);(3)P(A∪B).

[尝试解题]

基本事件总数为6个.

(1)事件 A 包括出现 1,3,5 三个基本事件. 3 1 故 P(A)= = . 6 2 (2)事件 B 包括出现 1,2 两个基本事件. 2 1 故 P(B)= = . 6 3 (3)事件 A∪B 包括出现 1,2,3,5 四个基本事件. 4 2 故 P(A∪B)= = . 6 3

1.因忽视判断事件 A 与 B 是否互斥,错用公式 P(A 5 ∪B)=P(A)+P(B)= 而导致第(3)问失误. 6

2.应用加法公式求概率的前提为事件必须是互

斥事件,在应用时特别注意是否具备应用公式的条件,
否则会出错.

?针对训练 某产品共有三个等级,分别为一等品、二等品和不

合格品.从一箱产品中随机抽取1件进行检测,设“抽到

一等品”的概率为0.65,“抽到二等品”的概率为0.3,则“
抽到不合格品”的概率为 A.0.95 C.0.35 B.0.7 D.0.05 ( )

解析: “抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件, 所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65+0.3=0.95,“ 抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件,故 其概率为1-0.95=0.05. 答案: D

教师备选题(给有能力的学生加餐) 1.掷一颗质地均匀的骰子,观察所得的点数 a,设事件A=“a为3”,B=“a为4”,C= “a为奇数”,则下列结论正确的是 ( )
解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(六十一)”

A.A与B为互斥事件 B.A与B为对立事件

C.A与C为对立事件 D.A与C为互斥事件

解析:依题意,事件A与B不可能同时发生,故A与B是互 斥事件,但A与B不是对立事件,显然,A与C既不是对立 事件也不是互斥事件. 答案:A

2.(2012·“江南十校”联考)现有甲、乙、丙、丁四名义


到三个不同的社区参加公益活动.若每个社区至少一 名义工,则甲、乙两人被分到不同社区的概率为
1 A. 6 10 C. 27 5 B. 6 17 D. 27

(

)

解析:甲、乙两人被分到不同社区的对立事件是甲、乙两 人分到同一社区. C2· 3 5 2 A3 故所求事件的概率为 P=1- 2 3= . C4· 3 6 A

答案:B

3.已知向量a=(x,y),b=(1,-2),从6张大小相同、分 别标有号码1、2、3、4、5、6的卡片中,有放回地抽 取两张,x、y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上 的号码. (1)求满足a⊥b的概率; (2)求满足a· b>0的概率.

解:(1)设(x,y)表示一个基本事件,则两次抽取卡片的所有基本 事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,1)、(2,2)、?、 (6,5)、(6,6),共 36 个. 用 A 表示事件“a⊥b”,即 x-2y=0,则 A 包含的基本事件有 3 1 (2,1)、(4,2)、(6,3),共 3 个,P(A)= = . 36 12 (2)a· b>0,即 x-2y>0,在(1)中的 36 个基本事件中,满足 x- 2y>0 的事件有(3,1)、(4,1)、(5,1)、(6,1)、(5,2)、(6,2),共 6 个, 6 1 所以所求概率 P= = . 36 6

4. (2012· 琼海模拟)某观赏鱼池塘中养殖大量 的红鲫鱼与金鱼, 为了估计池中两种鱼数 量情况, 养殖人员从池中捕出红鲫鱼和金 鱼各 1 000 条,并给每条鱼作上不影响其存活的记号,然后 放回池内, 经过一段时间后, 再从池中随机捕出 1 000 条鱼, 分别记录下其中有记号的鱼数目,再放回池中,这样的记录 作了 10 次,将记录数据制成如图所示的茎叶图.

(1)根据茎叶图分别计算有记号的两种鱼的平均数,并估计 池塘中两种鱼的数量. (2)随机从池塘中逐条有放回地捕出 3 条鱼,求恰好是 1 条 金鱼 2 条红鲫鱼的概率.

解:(1)由茎叶图可求得有记号的红鲫鱼数目的平均数为 20(条); 有记号的金鱼数目的平均数为 20(条). 由于有记号的两种鱼数目的平均数均为 20(条), 故可认为池中两种鱼的数目相同, 设池中两种鱼的总数目为 x 条,则有 解得 x=50 000, 因此可估计池中的红鲫鱼与金鱼的数量均为 25 000 条. 40 2 000 = x , 1 000

(2)由于是用随机逐条有放回地捕出 3 条鱼, 每一条鱼被捕到的 概率相同,用 x 表示捕到的是红鲫鱼,y 表示捕到的是金鱼, 基本事件总数有 8 种(x,x,x),(x,x,y),(x,y,x),(y,x, x),(x,y,y),(y,x,y),(y,y,x),(y,y,y),恰好是 1 条 金鱼,2 条红鲫鱼的基本事件有 3 个, 3 故所求概率为 P= . 8

[知识能否忆起] 1.古典概型的两个特征

(1)试验的所有可能结果只有 有限个 ,每次试验只出
现其中的 一个 结果; (2)每一个试验结果出现的可能性都 相同 .


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