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2011北约自主招生数学题及解答


2011 北约自主招生数学题及解答 ?1、已知平行四边形的其中两条边长分别是 3 和 5,一条对角线长是 6,求另一条对角线的 长。 解:由对角线的平方和等于四边的平方和:所以 36+x2=2(9+25),x2=32,∴x=42。 ?2 求过抛物线 y=2x2-2x-1,y=-5x2+2x+3 交点的直线方程。 解:y=2x2-2x-1y=-5x2+2x+3,5y=10x2-10x-52y=-10x2+4x+6,7y=-6x+1,∴6x+7y-1=0 为所求。 ?3、等差数列 a1,a2,?满足 a3=-13,a7=3,这个数列的前 n 项和为 Sn,数列 S1,S2,?中哪 一项最小,并求出这个最小值。 解:d=a7-a37-3=164=4,∴a1=-21,Sn=2n2-23n,当 n=234,即 n=6 时 Sn 最小,最小为 -66。 ?4、?ABC 的三边 a,b,c 满足 a+b≥2c,A,B,C 为?ABC 的内角,求证:C≤60°。 解 : ab≤(a+b2)2 , cosC=a2+b2-c22ab=(a+b)2-2ab-c22ab≥(a+b)2-c2(a+b)22-1=1-2c2(a+b)2≥1-2c24c2=1 2, 所以 C≤60°。 ? 5、是否存在四个正实数,它们的两两乘积分别是 2,3,5,6,10,16? 解:设存在四个正实数分别为 a<b<c<d,依题意:ab=2,ac=3,ad=5,bc=6,bd=10,cd=16, ∴a2bc=6,∴a=1,b=2,c=3,d=5,而 cd=15≠16,故不存在。 或解:∵abcd=32,而(abcd)3=1800×16,不满足,故不存在。 ?6、C1 和 C2 是平面上两个不重合的固定圆,C 是该平面上的一个动圆,C 和 C1,C2 都相 切,则 C 的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由。 解:设两定圆⊙C1,⊙C2 的半径分别为 r1,r2,动圆 C 的半径为 R。 ⑴当 r1=r2 ①⊙C1 与⊙C2 相交时 a).⊙C 与它两都外切,轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线去掉两圆的公共弦; b).⊙C 与它两都内切,轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线; c).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,|CC1|=r1-R,|CC2|=r2+R,|CC1|+|CC2|=r1+r2, 轨迹是以 C1、C2 为焦点的椭圆。 ②⊙O1 与⊙O2 外切时 a).⊙C 与它两都外切,轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线去掉两圆的切点; b).⊙C 与它两都内切,轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线; c).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,轨迹是直线 C1C2,去掉 C1、C2 和两圆的切点。 ③⊙O1 与⊙O2 相离时 a).⊙C 与它两都外切,轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线; b).⊙C 与它两都内切,轨迹是线段 C1C2 的垂直平分线; c).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,|CC1|-r1=|CC2|+r2,||CC1|-|CC2||=r1+r2, 轨迹是以 C1、C2 为焦点的双曲线。 ⑵当 r1≠r2,不妨设 r1<r2 ①⊙C1 与⊙C2 相交时 a).⊙C 与它两都外切,|CC1|-r1=|CC2|-r2,轨迹是以 C1、C2 为焦点的双曲线中(对应焦点 C1)的一支,去掉两圆公共区域的部分; b).⊙C 与它两都内切,|CC1|+r1=|CC2|+r2,或 r1-|CC1|=r2-|CC2|轨迹是以 C1、C2 为焦 点的双曲线中(对应焦点 C2)的一支;

c).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,|CC1|-r1=r2-|CC2|,轨迹是以 C1、C2 为焦点的椭圆。 ②⊙O1 与⊙O2 外切时 a).⊙C 与它两都外切,|CC1|-r1=|CC2|-r2,轨迹是以 C1、C2 为焦点的双曲线中(对应焦点 C1)的一支,去掉两圆的切点; b).⊙C 与它两都内切|CC1|+r1=|CC2|+r2,轨迹是以 C1、C2 为焦点的双曲线中(对应焦点 C2)的一支; c).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,|CC1|-r1=r2-|CC2|,轨迹是直线 C1C2,去掉 C1、C2 和两圆切点。 ③⊙O1 与⊙O2 相离时 a).⊙C 与它两都外切,|CC1|-r1=|CC2|-r2,轨迹是以 C1、C2 为焦点的双曲线中(对应焦点 C1)的一支; b).⊙C 与它两都内切,|CC1|+r1=|CC2|+r2,轨迹是以 C1、C2 为焦点的双曲线中(对应焦点 C2)的一支; c).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,|CC1|-r1=r2-|CC2|,轨迹是以 C1、C2 为焦点的双曲 线。 ④⊙O1 与⊙O2 内切时 a).⊙C 与它两都外切,轨迹是射线 C2C1 在两圆切点以外部分; b).⊙C 与它两都内切,轨迹是以两圆切点为端点,方向是 C1C2,去掉 C1、C2 和两圆切点 的射线。 c).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,轨迹是以 C1、C2 为焦点的椭圆,去掉两圆的切点。 ⑤⊙O1 与⊙O2 内含时 a).⊙C 与它两都内切,轨迹是以 C1、C2 为焦点的椭圆; b).⊙C 与两圆一个内切,一个外切时,轨迹是以 C1、C2 为焦点的椭圆。 ?7、求 f(x)=x-1+2x-1+?+|2011x-1|的最小值。 解:f(x)=|x-1|+|x-12|+|x-12|+|x-13|+|x-13|+|x-13|+?+|x-12011|+|x-12011|+? +|x-12011|,一共有 1+2+3+?+2011=1006×2011 个绝对值,则是偶数个,故中间第 503×2011 个和第 503×2011+1 个之间取得最小值;设第 503×2011 个绝对值是|x-1n|, ∴1+2+3+?+n=n(n+1)2≤503×2011,∴n(n+1)≤1006×2011=2023066,∵2023066≈1422, ∵1422×1423=2023506,∴取 n=1421。∴第 503×2011 个和第 503×2011+1 个绝对值是 |x-11422|,∴fminx=f11422=|11422-1|+|21422-1|+|31422-1|+?+|20111422-1| =11422(|1-1422|+|2-1422|+|3-1422|+?+|2011-1422|)=11422(1421+1420+1419+? +1+0+1+2+3+?+589)= 11422(1422×14212+590×5892)= 11422(1010331+173755)=592043711。


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