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【步步高】高考数学大一轮复习 4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切试题(含解析)新人教A版

4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切
一、选择题 1. 计算sin43 cos13 -sin13 cos 43 的值等于( )

A.

1 2

B.

3 3

C.

2 2

D.

3 2

解析 原式= sin (43 -13 )= sin 30 = 答案 A

1 ,故选 A. 2
)

?π ? 2.已知锐角 α 满足 cos 2α =cos ? -α ?,则 sin 2α 等于( ?4 ?
1 A. 2 C. 2 2 B.- D.- 1 2 2 2

解析:由 cos 2α =cos ?

?π -α ? ? ?4 ?
2 (cos α +sin α ) 2

得(cos α -sin α )(cos α +sin α )= 由 α 为锐角知 cos α +sin α ≠0. ∴cos α -sin α = 1 ∴sin 2α = . 2 答案:A

2 1 ,平方得 1-sin 2α = . 2 2

4 ? π ? 3.已知 x∈?- ,0?,cos x= ,则 tan 2x 等于( 5 ? 2 ? A. 7 24 7 B.- 24 24 C. 7

). 24 D.- 7

4 3 ? π ? 解析 ∵x∈?- ,0?,cos x= .∴sin x=- , 2 5 5 ? ? 3 2tan x ∴tan x=- .∴tan 2x= 2 = 4 1-tan x 答案 D 4.已知 α ,β 都是锐角,若 sin α = 5 10 ,sin β = ,则 α +β = ( 5 10 ).

? 3? 2×?- ? 24 ? 4? =- . 7 ? 3?2 1-?- ? 4 ? ?

π A. 4 π 3π C. 和 4 4

3π B. 4 π 3π D.- 和- 4 4
2

解析 由 α ,β 都为锐角,所以 cos α = 1-sin α =

2 5 3 10 2 ,cos β = 1-sin β = . 5 10 2 π ,所以 α +β = . 2 4

所以 cos(α +β )=cos α ·cos β -sin α ·sin β = 答案 A

β ? π π 3 ?π ? 1 ?π β ? ? 5.若 0<α < ,- <β <0,cos? +α ?= ,cos? - ?= ,则 cos?α + ?= 2? 2 2 ?4 ? 3 ?4 2? 3 ? ( A. 3 3 ). B.- D.- 6 9 3 3

5 3 C. 9

β ? ? ??π ? ?π β ?? 解析 对于 cos ?α + ?=cos?? +α ?-? - ??= 2 4 ? ? ?? ? ? 4 2 ??

?π ? ?π β ? ?π ? ?π β ? cos? +α ?cos? - ?+sin? +α ?sin? - ?, ?4 ? ?4 2? ?4 ? ?4 2?
π ?π 3π ? π β ?π π ? 而 +α ∈? , ?, - ∈? , ?, 4 ? 4 2 ?4 2? 4 ?4

?π ? 2 2,sin?π -β ?= 6, 因此 sin? +α ?= ?4 2? 3 ?4 ? 3 ? ?
β ? 1 3 2 2 6 5 3 ? 则 cos?α + ?= × + × = . 2 3 3 9 ? ? 3 3 答案 C 3 6.已知 α 是第二象限角,且 sin(π +α )=- ,则 tan2α 的值为( ) 5 4 23 24 8 A. B.- C.- D.- 5 7 7 3 3 3 2 解析 由 sin(π +α )=- , 得 sinα = , 又 α 是第二象限角, 故 cosα =- 1-sin α = 5 5 ? 3? 2×?- ? 4 3 2tanα 24 ? 4? - ,∴tanα =- ,tan2α = = =- . 2 5 4 1-tan α 3 7 ? ?2 1-?- ? ? 4? 答案 C π? 7π ? 4 3 ? ? 7.已知 cos?α - ?+sin α = ,则 sin?α + ?的值是( 6 6 ? 5 ? ? ? ).

2 3 A.- 5

2 3 B. 6

4 C.- 5

4 D. 5

π? 4 3 3 3 ? 解析 cos?α - ?+sin α = ? sin α + cos α 6? 5 2 2 ? π? 4 4 3 ? = ? sin?α + ?= , 6? 5 5 ? 7π ? π? 4 ? ? 所以 sin?α + ?=-sin?α + ?=- . 6 6 5 ? ? ? ? 答案 C 二、填空题 π? 1 ? ? π? 8.已知 cos ?α + ?= ,α ∈?0, ?,则 cos α =________. 4 2? ? ? 3 ? π ? π 3π ? ? π? 解析:∵α ∈?0, ?,∴α + ∈? , ?, 2 4 ? 4 ?4 ? ? π? 2 2 ? ∴sin ?α + ?= . 4? 3 ? π? π ? 故 cos α =cos [?α + ?- ] 4? 4 ? π? π π? π ? ? =cos ?α + ?cos +sin ?α + ?sin 4 4? 4 4 ? ? ? 1 2 2 2 2 4+ 2 = × + × = . 3 2 3 2 6 4+ 2 答案: 6 9.化简[2sin50°+sin10°(1+ 3tan10°)]· 2sin 80°的结果是________. cos10°+ 3sin10° 解析 原式=2sin50°+sin10°· · 2sin80° cos10° 1 3 ? ? cos10°+ sin10°? ? 2 2 = ?2sin50°+2sin10°· ?· 2cos10° cos10° ? ? cos 60°-10° ? ? =?2sin50°+2sin10°· ?· 2cos10° cos10° ? ? =2 2(sin50°cos10°+sin10°cos50°)=2 2sin60°= 6. 答案 6
2

?π ? 2 10.已知 tan? +θ ?=3,则 sin 2θ -2cos θ 的值为________. ?4 ? ?π ? 解析 法一 ∵tan? +θ ?=3, ?4 ?
1+tan θ ∴ =3, 1-tan θ

1 解得 tan θ = . 2 ∵sin 2θ -2cos θ =sin 2θ -cos 2θ -1 = 2sin θ cos θ cos θ -sin θ - 2 -1 2 2 2 sin θ +cos θ sin θ +cos θ
2 2 2 2

2tan θ 1-tan θ = - -1 2 2 1+tan θ 1+tan θ 4 3 4 = - -1=- . 5 5 5 法二 sin 2θ -2cos θ =sin 2θ -cos 2θ -1
2

?π ? ?π =-cos? +2 θ ?-sin? +2θ ?2 ? ?2
2?π 1-tan ? +θ ?4 =- 2?π 1+tan ? +θ ?4

?-1 ? ?

? 2tan?π +θ ? ? ?4 ? ? ? ? - -1 π ? 1+tan2? +θ ? ? ?4 ? ? ? ?

1-9 2×3 4 =- - -1=- . 1+9 1+9 5 4 答案 - 5 11.函数 f(x)=2cos x+sin 2x 的最小值是________. π? ? 2 解析 ∵f(x)=2cos x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=1+ 2sin?2x+ ?,∴f(x)min=1- 4? ? 2. 答案 1- 2 1 3 12.若 cos(α +β )= ,cos(α -β )= ,则 tan α tan β =________. 5 5 1 3 解析 由已知,得 cos α cos β -sin α sin β = ,cos α cos β +sin α sin β = , 5 5 2 1 sin α sin β 1 1 则有 cos α cos β = ,sin α sin β = , = ,即 tan α tan β = . 5 5 cos α cos β 2 2 答案 1 2
2

三、解答题

1-tan x ?π ? 5 ? π 3π ? 13.已知 sin? +x?= ,且 x∈? , ?,求 . 4 ? 1+tan x ?4 ? 13 ?4 π ?π 3π ? ?π ? 解析 ∵x∈? , ?,∴ +x∈? ,π ?, 4 4 4 ? ? ?2 ?

12 ?π ? ∴cos? +x?=- , 13 ?4 ? 5 ?π ? ∴tan? +x?=- , 4 12 ? ? 1-tan x 1 12 ∴ = =- . 1+tan x π 5 ? ? tan?x+ ? 4? ? π? ? 14.设函数 f(x)=sinω x+sin?ω x- ?,x∈R. 2? ? 1 (1)若 ω = ,求 f(x)的最大值及相应的 x 的集合; 2 π (2)若 x= 是 f(x)的一个零点,且 0<ω <10,求 ω 的值和 f(x)的最小正周期. 8 π? ? 解析 (1)f(x)=sinω x+sin?ω x- ?=sinω x-cosω x, 2? ? 1 x x ?x π ? 当 ω = 时,f(x)=sin -cos = 2sin? - ?, 2 2 2 ?2 4 ? x π ? ? 而-1≤sin? - ?≤1,所以 f(x)的最大值为 2, ?2 4 ? x π π 3π 此时, - = +2kπ ,k∈Z,即 x= +4kπ ,k∈Z, 2 4 2 2
? ? ? 3π 相应的 x 的集合为?x?x= +4kπ ,k∈Z? 2 ? ? ?

.

π? ? (2)因为 f(x)= 2sin?ω x- ?, 4? ? π ?π ? ?ω π -π ?=0, 所以,x= 是 f(x)的一个零点?f? ?=sin? 4? 8 ?8? ? 8 ? ωπ π 即 - =kπ ,k∈Z,整理,得 ω =8k+2, 8 4 1 又 0<ω <10,所以 0<8k+2<10,- <k<1,而 k∈Z,所以 k=0,ω =2, 4 π? ? f(x)= 2sin?2x- ?,f(x)的最小正周期为 π . 4? ? B? 2?π 15.在△ABC 中,A、B、C 为三个内角,f(B)=4cos B·sin ? + ?+ 3cos 2B-2cos B. 4 2 ? ? (1)若 f(B)=2,求角 B; (2)若 f(B)-m>2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

?π ? 1-cos? +B? ?2 ? 解析 (1)f(B)=4cos B× + 3cos 2B-2cos B 2
=2cos B(1+sin B)+ 3cos 2B-2cos B =2cos Bsin B+ 3cos 2B

π? ? =sin 2B+ 3cos 2B=2sin?2B+ ?. 3? ? π? π π 7 ? ∵f(B)=2,∴2sin?2B+ ?=2, <2B+ < π , 3 3 3 3 ? ? π π π ∴2B+ = .∴B= . 3 2 12 π? ? (2)f(B)-m>2 恒成立,即 2sin?2B+ ?>2+m 恒成立. 3? ? π? ? ∵0<B<π ,∴2sin?2B+ ?∈[-2,2],∴2+m<-2. 3? ? ∴m<-4. 16. (1)①证明两角和的余弦公式 C(α +β ):cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β ; ②由 C(α +β )推导两角和的正弦公式 S(α +β ):sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β . 3 ? 4 1 ? ?π ? (2)已知 cos α =- ,α ∈?π , π ?,tan β =- ,β ∈? ,π ?, 2 ? 5 3 ? ?2 ? 求 cos(α +β ). 解析 (1)证明 ①如图,在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,并作出角 α ,β 与-β ,使角 α 的始边为 Ox 轴非负半轴,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于点 P2;角 β 的始边为 OP2,终边 交⊙O 于点 P3,角-β 的始边为 OP1,终边交⊙O 于点 P4. 则 P1(1,0),P2(cos α ,sin α ),P3(cos(α +β ),sin(α +β )),P4(cos(-β ),sin(- β )). 由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得 [cos(α +β )-1] +sin (α +β )=[cos(-β )-cos α ] +[sin(-β )-sin α ] ,展开 并整理,得 2-2cos(α +β )=2-2(cos α cos β -sin α sin β ). ∴cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β .
2 2 2 2

?π ? ②由①易得,cos? -α ?=sin α , ?2 ? ?π ? sin? -α ?=cos α . ?2 ? ?π sin(α +β )=cos ? - α +β ?2 ??π ? =cos?? -α ?+ 2 ?? ?
-β

? ? ?

? ? ?

?π ? ?π ? =cos? -α ?cos(-β )-sin? -α ?sin(-β ) ?2 ? ?2 ?

=sin α cos β +cos α sin β . ∴sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β . 3 ? 4 3 ? (2)∵α ∈?π , π ?,cos α =- ,∴sin α =- . 2 ? 5 5 ? ∵β ∈?

?π ,π ?,tan β =-1, ? 3 ?2 ?

3 10 10 ∴cos β =- ,sin β = . 10 10 cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β

? 4? ? 3 10?-?-3?× 10=3 10. =?- ?×?- ? ? ? 10 ? 5? ? 10 ? ? 5? 10