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空间图形的基本关系与公理


空间图形的基本关系与公理
一、知识梳理
1.平面概述 (1)平面的两个特征:①无限延展 ②平的(没有厚度) (2)平面的画法:通常画平行四边形来表示平面 (3)平面的表示:用一个小写的希腊字母 ? 、 ? 、 ? 等表示,如平面 ? 、平面 ? ;用表示平行四边 形的两个相对顶点的字母表示,如平面 AC。 2.三公理三推论: 公理 1:若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上所有的点都在这个平面内: A ? l ,B ? l ,A ? ? ,B ? ? ? l ? ? 公理 2:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。 推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理 3:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过 这个公共点的直线。

3、直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
? ?相 交 直 线 ?共 面 直 线 ? ? ?平 行 直 线 ? ?异 面 直 线 : 不 同 在 任 何 一 个 平 面 内 , 没 有 公 共 点

(2)异面直线所成的角①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点 O 作直线 a’∥a,b’∥b,把
? ? ? ? 0, ? a’与 b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)②范围: ? 2 ?

4、直线和平面的位置关系
位置关系 公共点 符号表示 直线 a 在平面α 内 有无数个公共点
a ??

直线 a 与平面α 相交 有且只有一个公共点
a?? ? A

直线 a 与平面α 平行 没有公共点
a / /?

图形表示

5、两个平面的位置关系
位置关系 图示 表示法 公共点个数

两平面平行

? / /?

0

斜交 两平面相交

? ?? ? a

有无数个公共点在 一条直线上

? ? ?

垂直
? ?? ? a

有无数个公共点在 一条直线上

6、平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 (但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行,可能 相交,也可能异面) 7、定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。

二、直线、平面平行的判定及其性质
1、直线与平面平行的判定与性质 (1)判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行; (2)性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行; 2、平面与平面平行的判定与性质 (1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; (2)性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 注:能否由线线平行得到面面平行?(可以。只要一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面 内的两条相交直线,这两个平面就平行) 三、直线、平面垂直的判定及其性质 1、直线与平面垂直 (1)定义:如果直线 l 与平面α 内的任意一条直线都垂直,则直线 l 与平面α 垂直; (2)判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;

2、二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角; (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 3、平面与平面垂直 (1)定义:如果两个平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直; (2)判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直; (2)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 注:垂直于同一平面的两平面是否平行?(可能平行,也可能相交) 4、直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。 当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为 900 和 00。

二、范题精讲:
考点一 异面直线的判定 证明两直线为异面直线的方法: 1、定义法(不易操作) 2、反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严密的 推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。 3、客观题中,也可用下述结论: 过平面处一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线,如图:

〖例〗如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分 别是 A1B1、B1C1 的中点。问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由。 思路解析: (1)易证 MN//AC,∴AM 与 CN 不异面。 (2)由图易判断 D1B 和 CC1 是异面直线,证明时常用反证法。 解答: (1)不是异面直线。理由:连接 MN、A1C1、AC。 ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点,∴MN// A1C1, 又∵A1A CC1,∴A1ACC1 为平行四边形。 ∴A1C1//AC,得到 MN//AC, ∴A、M、N、C 在同一平面内,故 AM 和 CN 不是异面直线。 (2)是异面直线。证明如下: ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体,∴B、C、C1、D1 不共面。 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线, 则存在平面α ,使 D1B ? 平面α ,CC1 ? 平面α , ∴D1、B、C、C1∈α ,∴与 ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾。 ∴假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线

考点二 点共线、线共点、点线共面 (1)点共线问题 证明空间点共线问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理 2 证明这些点都在 这两个平面的交线上。 (2)线共点问题 证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点 在直线上。 (3)证明点线共面的常用方法 ①纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内; ②辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α ,再证明其余元素确定平面β ,最后证明平面α 、β 重合。 例1 如图,E、F、G、H 分别是空间四边形 AB、BC、CD、DA 上的点, 且 EH 与 FG 相交于点 O. 求证:B、D、O 三点共线.

例 2 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 CC1、AA1 的中点, 画出平面 BED1F 与平面 ABCD 的交线.

例 3 如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点. 求证: (1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE,D1F,DA 三线共点. 〖例〗如图,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,
1 1 2 FA,

∠BAD=∠FAB=900,BC

2 AD,BE

G、H 分别为 FA、FD 的中点。 (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么?
1

思路解析: (1)G、H 为中点 ? GH
1

2 AD,

又 BC

2 AD ? GH

BC;

(2)方法一:证明 D 点在 EF、GJ 确定的平面内。

方法二:延长 FE、DC 分别与 AB 交于 M, M ,可证 M 与 M 重合,从而 FE 与 DC 相交。 解答: (1)
由 已 知 F G ? G A, F H ? H D , 可 得 G H / / ?四 边 形 BCHG为 平 行 四 边 形 。 1 2 A D .又 B C / / 1 2 A D ,? G H / / B C

'

'

(2)方法一:
BE / / 1 2 ? E F / / B G .由 (1) 知 B G / / C H ,? E F / / C H ,? E F 与 C H 共 面 . 又 D ? F H ,? C 、 D 、 F 、 E 四 点 共 面 .
1

A F , G 为 F A中 点 知 , B E / / F G ,? 四 边 形 B E F G 为 平 行 四 边 形 ,

方法二:如图,延长 FE,DC 分别与 AB 交于点 M, M ,∵BE
1

'

2 AF,∴B 为 MA 中点。

∵BC

2 AD,∴B 为 M ' A 中点,∴M 与 M ' 重合,即 FE 与 DC 交于点 M( M ' ) ,

∴C、D、F、E 四点共面。 20. (2008 年高考四川卷)如图, 平面 ABEF⊥平面 ABCD, 四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形, ∠BAD 1 1 =∠FAB=90° ,BC AD,BE FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点. 2 2 (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? (3)设 AB=BE,证明:平面 ADE⊥平面 CDE. 解:(1)证明:由题设知,FG=GA,FH=HD, 1 1 所以 GH AD.又 BC AD,故 GH BC.所以四边形 BCHG 是平行四边形. 2 2 (2)C、D、F、E 四点共面.理由如下: 1 由 BE AF,G 是 FA 的中点知,BE GF,所以 EF∥BG. 2 由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,故 EC、FH 共面. 又点 D 在直线 FH 上,所以 C、D、F、E 四点共面. (3)证明:连结 EG.由 AB=BE,BE AG 及∠BAG=90°知 ABEG 是正方形, 故 BG⊥EA.由题设知,FA、AD、AB 两两垂直,故 AD⊥平面 FABE, 因此 EA 是 ED 在平面 FABE 内的射影.根据三垂线定理,BG⊥ED. 又 ED∩EA=E,所以 BG⊥平面 ADE. 由(1)知,CH∥BG,所以 CH⊥平面 ADE. 由(2)知 F∈平面 CDE,故 CH?平面 CDE,得平面 ADE⊥平面 CDE.

三、模拟演练
1.以下四个命题中,正确命题的个数是________. ①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则 A、B、 C、D、E 共面;③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面;④依次首尾相接的四条线 段必共面.

解析:①正确,可以用反证法证明;②从条件看出两平面有三个公共点 A、B、C,但是若 A、B、C 共 线,则结论不正确;③不正确,共面不具有传递性;④不正确,因为此时所得的四边形四条边可以不 在一个平面上.答案:1 2.给出下列四个命题: ①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合;②两条直线可以确定一个平面; ③若 M∈α ,M∈β ,α ∩β =l,则 M∈l;④空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内. 其中真命题的个数为________. 解析:根据平面的基本性质知③正确.答案:1 3.(2009 年高考湖南卷改编)平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为 ________. 解析:根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面,可得 CD、BC、BB1、AA1、C1D1 符合条件.答 案:5 4.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点.那么,正方体的过 P、Q、R 的截 面图形是________. 2 解析:边长是正方体棱长的 倍的正六边形.答案:正六边形 2 5.(原创题)已知直线 m、n 及平面 α ,其中 m∥n,那么平面 α 内到两条直线 m、n 距离相等的点的 集合可能是:(1)一条直线;(2)一个平面;(3)一个点;(4)空集.其中正确的是________. 解析:如图 1,当直线 m 或直线 n 在平面 α 内且 m、n 所在平面与 α 垂直时不可能有符合题意的点; 如图 2,直线 m、n 到已知平面 α 的距离相等且两直线所在平面与已知平面 α 垂直,则已知平面 α 为符合题意的点;如图 3,直线 m、n 所在平面与已知平面 α 平行,则符合题意的点为一条直线. 答案:(1)(2)(4)

6.如图,已知平面 α 、β ,且 α ∩β =l.设梯形 ABCD 中,AD∥BC,且 AB?α , CD?β .求证:AB,CD,l 共点(相交于一点). 证明:∵梯形 ABCD 中,AD∥BC,∴AB,CD 是梯形 ABCD 的两腰, ∴AB,CD 必定相交于一点. 如图,设 AB∩CD=M. 又∵AB?α ,CD?β , ∴M∈α ,且 M∈β , ∴M∈α ∩β . 又∵α ∩β =l,∴M∈l,即 AB,CD,l 共点 7.有以下三个命题: ①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点; ②直线 l 在平面 α 内,可以用符号“l∈α ”表示; ③若平面 α 内的一条直线 a 与平面 β 内的一条直线 b 相交,则 α 与 β 相交,其中所有正确命题的 序号是______________. 解析:表示线与面的关系用“?”或“?”表示,故②错误.答案:①③ 8.(2010 年黄冈调研)下列命题中正确的是________. ①若△ABC 在平面 α 外,它的三条边所在的直线分别交 α 于 P、Q、R,则 P、Q、R 三点共线;② 若三条直线 a、b、c 互相平行且分别交直线 l 于 A、B、C 三点,则这四条直线共面;③空间中不共面 的五个点一定能确定 10 个平面.

解析:在①中,因为 P、Q、R 三点既在平面 ABC 上,又在平面 α 上,所以这三点必在平面 ABC 与 α 的交线上,即 P、Q、R 三点共线,故①正确;在②中,因为 a∥b,所以 a 与 b 确定一个平面 α ,而 l 上有 A、B 两点在该平面上,所以 l?α ,即 a、b、l 三线共面于 α ;同理 a、c、l 三线也共面, 不妨设为 β ,而 α 、β 有两条公共的直线 a、l,∴α 与 β 重合,即这些直线共面,故②正确;在 ③中,不妨设其中有四点共面,则它们最多只能确定 7 个平面,故③错.答案:①② 9.对于空间三条直线,有下列四个条件: ①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点 ④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交 其中使三条直线共面的充分条件有:________. 解析:易知①中的三条直线一定共面,④中两条直线平行可确定一个平面,第三条直线和这两条直线 相交于两点,则第三条直线也在这个平面内,故三条直线共面.答案:①④ 10.(2008 年高考浙江卷改编)对两条不相交的空间直线 a 与 b,必存在平面 α ,使得________. ①a?α ,b?α ②a?α ,b∥α ③a⊥α ,b⊥α ④a?α ,b⊥α 解析:不相交的直线 a、b 的位置有两种:平行或异面.当 a、b 异面时,不存在平面 α 满足①、③; 又只有当 a⊥b 时④才成立.答案:② 11.正方体 AC1 中,E、F 分别是线段 C1D、BC 的中点,则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是________. 解析:直线 AB 与直线外一点 E 确定的平面为 A1BCD1,EF?平面 A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相 交.答案:相交 12.(2010 年湖南郴州调研)设 α ,β ,γ 是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列四个命题: ①若 α ⊥β ,l⊥β ,则 l∥α ;②若 l⊥α ,l∥β ,则 α ⊥β ;③若 l 上有两点到 α 的距离相等, 则 l∥α ; ④若 α ⊥β ,α ∥γ ,则 γ ⊥β .其中正确命题的序号是________.解析:①错误,l 可能在平面 α 内;②正确, l∥β ,l?γ ,β ∩γ =n?l∥n?n⊥α ,则 α ⊥β ;③错误,直线可能与平面相交;④正确.故 填②④.答案:②④ 13.(2009 年高考广东卷改编)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是________. 解析:当两个平面相交时,一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面,故①不对;由平面与平面 垂直的判定定理可知②正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行,相交也可以异面,故③ 不对;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故④正 确.答案:②④

14.(2009 年高考宁夏、海南卷改编)如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两 2 个动点 E,F,且 EF= ,则下列结论中错误的是________. 2 ①AC⊥BE ②EF∥平面 ABCD ③三棱锥 A-BEF 的体积为定值 ④异面直线 AE,BF 所成的角为定值 解析:∵AC⊥平面 BB1D1D,又 BE?平面 BB1D1D, ∴AC⊥BE.故①正确. ∵B1D1∥平面 ABCD,又 E、F 在直线 D1B1 上运动, ∴EF∥平面 ABCD.故②正确.

③中由于点 B 到直线 B1D1 的距离不变,故△BEF 的面积为定值. 2 又点 A 到平面 BEF 的距离为 ,故 VA-BEF 为定值. 2 当点 E 在 D1 处,F 为 D1B1 的中点时,

?1 1 ? 建立空间直角坐标系,如图所示,可得 A(1,1,0),B(0,1,0),E(1,0,1),F? , ,1?. ?2 2 ? 1 → → 1 ∴A E =(0,-1,1),B F =( ,- ,1), 2 2 3 2 3 6 3 → → → → → → ∴A E ·B F = .又|AE|= 2,|BF|= ,∴cos〈A E ,B F 〉= = , 2 2 2· 6 2
2 ∴AE 与 BF 成 30°角.当 E 为 D1B1 中点,F 在 B1 处时, 1 ? → → ? 1 ?1 1 ? 此时 E? , ,1?,F(0,1,1),∴A E =?- ,- ,1?,B F =(0,0,1), 2 2 ? 2 2 ? ? ? ∴A E ·B F =1,|A E |= 答案:④ 15.(2008 年高考陕西卷改编)如图,α ⊥β ,α ∩β =l,A∈α ,B∈β ,A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b,AB 与α 、β 所成的角分别是θ 和φ ,AB 在α 、β 内的射影分别是 m 和 n.若 a>b,则θ 与φ 的大 小关系为______,m 与 n 的大小关系为______. 解析:AB 与 β 成的角为∠ABC=φ , AB 与 α 成的角为∠BAD=θ ,







3 → → ,∴cos〈A E ,B F 〉= 2

2 6 3 = ≠ .故④错. 3 3 2

a , |AB| b sinθ =sin∠BAD= . |AB| ∵a>b,∴sinφ >sinθ .∴θ <φ . AB 在 α 内的射影 AD= AB2-b2, AB 在 β 内的射影 BC= AB2-a2, ∴AD.BC,即 m>n. 答案:θ <φ m>n
sin φ =sin∠ABC=

16、 (2011·浙江高考理科·T4)下列命题中错误的是 (A)如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? (B)如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? (C)如果平面 ? ⊥平面 ? ,平面 ? ⊥平面 ? , ? ? ? ? l ,那么 l ⊥平面 ? (D)如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? 【思路点拨】本题考查空间线面的垂直关系. 【精讲精析】选 D.如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内垂直于交线的直线都垂直于平面 ? ,其它与 交线不垂直的直线均不与平面 ? 垂直,故 D 项叙述是错误的. 17、如图,设平面 ? ? ? ? EF , AB ? ? , CD ? ? ,垂足分别为 B , D ,若增加一个条件,就能推出
BD ? EF .

现有① AC ? ? ; ② AC 与 ? , ? 所成的角相等; ③ AC 与 CD 在 ? 内的射影在同一条直线上;④ AC ∥ EF . 那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是
A.1 个 B .2 个 C .3 个 D . 4 个.
F D E

? B

A

C

?

答案:C

18. 如图, 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, F 分别为 D1C1、 1C1 的中点, E、 B AC∩BD=P, 1C1∩EF A =Q,若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点,试确定 R 点的位置. 解:在正方体 AC1 中,连结 PQ, ∵Q∈A1C1,∴Q∈平面 A1C1CA.又 Q∈EF, ∴Q∈平面 BDEF,即 Q 是平面 A1C1CA 与平面 BDEF 的公共点, 同理,P 也是平面 A1C1CA 与平面 BDEF 的公共点. ∴平面 A1C1CA∩平面 BDEF=PQ. 又 A1C∩平面 BDEF=R, ∴R∈A1C, ∴R∈平面 A1C1CA, R∈平面 BDEF. ∴R 是 A1C 与 PQ 的交点.如图. 19.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AB 的中点, N 为 BB1 的中点,O 为平面 BCC1B1 的中心. (1)过 O 作一直线与 AN 交于 P,与 CM 交于 Q(只写作法,不必证明); (2)求 PQ 的长.

解:(1)连结 ON,由 ON∥AD 知,AD 与 ON 确定一个平面 α . 又 O、C、M 三点确定一个平面 β (如图所示). ∵三个平面 α ,β 和 ABCD 两两相交,有三条交线 OP、CM、DA,其中交线 DA 与交线 CM 不平行且共 面. ∴DA 与 CM 必相交,记交点为 Q,∴OQ 是 α 与 β 的交线. 连结 OQ 与 AN 交于 P,与 CM 交于 Q, 故直线 OPQ 即为所求作的直线. (2)在 Rt△APQ 中,易知 AQ=1,又易知△APQ ∽△OPN, AP AQ 5 5 ∴ = =2,AN= ,∴AP= , PN NO 2 3 ∴PQ= AQ +AP =
2 2

14 . 3

21、 (2011·江苏高考·T16)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD,

AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点
求证: (1)直线 EF‖平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD 【思路点拨】本题证明的线面平行和面面垂直, 解决的关键是根据线面平行和面面垂直的判定定理寻找需要的条件, 注意要把所需的条件摆充分. 【精讲精析】 (1) 在 ? PAD 中, 因为 E , F 分别是 AP , AD 的中点, 所以 EF // PD , 又因为 EF ? 平面 PCD ,PD ? 平面 PCD ,所以直线 EF // 平面 PCD . (2)连结 BD.因为 AB ? AD , ? BAD ? 60 ,所以 ? ABD 为等边三角形.因为 F 分别是 AD 的中点, 所以 BF ? AD .因为平面 PAD ? 平面 ABCD , BF ? 平面 ABCD ,又因为
平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,所以 BF ? 平面 PAD .又因为 BF ? 平面 BEF ,所以平面
?

BEF

? 平面 PAD .


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