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人教版高中数学必修2第四章《圆与方程》4.1.2 圆的一般方程_图文

4.1.2 圆的标准方程 圆的标准方程 圆心C(a,b),半径r y M(x,y) O C x ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 2 2 2 标准方程 若圆心为O(0,0),则圆的方程为: x ?y ?r 2 2 2 求圆心和半径 ⑴圆 (x-1)2+ (y-1)2=9 圆心 (1, 1) ,半径3 ⑵圆 (x-2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, -4) ,半径 2 . ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 圆心 (-1, -2) ,半径|m| 圆的一般方程 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 6 2 2 展开得 x ? y ? 6x ? 8 y ? 19 ? 0 2 2 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 2 2 任何一个圆的方程都是二元二次方程 反之是否成立? 圆的一般方程 (1) x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 2 2 配方得 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 4 2 2 (2) x ? y ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0 2 2 以(1,-2)为圆心,以2为半径的圆 配方得 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? ?1 2 2 不表示任何图形 不是圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 2 2 不一定是圆 练习 ? 判断下列方程是不是表示圆 (1) x ? y ? 4 x ? 6 y ? 4 ? 0 2 2 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 以(2,3)为圆心,以3为半径的圆 (2) x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 13 ? 0 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 0 表示点(2,3) 2 2 2 2 x ? 2, y ? 3 (3) x ? y ? 4x ? 6 y ? 15 ? 0 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? ?2 不表示任何图形 圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 2 2 2 2 D E D ? E ? 4F ? ? ? ? ?x? ? ?? y ? ? ? 2? ? 2? 4 ? 2 2 (1)当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示圆, 2 2 ? D E? D ? E ? 4 F 圆心 ? - , ? ? r ? 2 ? 2 2? D E? ? 2 2 (2)当 D ? E ? 4F ? 0 时,表示点 ? - , ? ? ? 2 2? (3)当 D ? E ? 4F ? 0 时,不表示任何图形 2 2 两种方程的字母间的关系: 2 2 (x-a) +(y-b) 2 =r D 2 E 2 D ? E ? 4F (x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 4 2 2 形式特点:(1)x2和y2的系数相同,不等于0 (2)没有xy这样的项。 探究:当D=0,E=0或F=0时, 2 2 圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0的位置分别 有什么特点? y C o y C x o x y C o x D=0 E=0 F=0 练习1:下列方程各表示什么图形? 原点(0,0) (1)x ? y ? 0 ________ 2 2 (2)x ? y ? 2x ? 4y ? 6 ? 0____ 2 2 2 (3)x ? y ? 2ax ? b ? 0________ 2 2 (2)圆心为(?1, 2), 半径为 11 的圆 . (3)当a, b不同时为0时,圆心为(?a, 0), 半径为 a 2 ? b 2的圆 .当a, b同时为0时,表示一个点。 练习2 :将下列各圆方程化为标准方程, 并求圆的半径和圆心坐标. (1) x ? y ? 6 x ? 0, 2 2 (2) x ? y ? 2by ? 0, 2 2 (3) x ? y ? 2ax ? 2 3ay ? 3a ? 0 2 2 2 (1)圆心(-3,0),半径3. (2)圆心(0,b),半径|b|. (3)圆心(a, ? 3a), 半径 | a | . 练习: 求过点A(5, ?1),圆心为(8, ?3)的圆的方程, 并化一般方程。 设圆的方程为 ( x ? 8) ? ( y ? 3) ? r 2 2 2 把点(5,?1)代入得r ? 13, 2 ( x ? 8) ? ( y ? 3) ? 13 2 2 故圆的一般方程为x ? y ?16x ? 6 y ? 60 ? 0 2 2 若已知条件涉及圆心和半径, 我们一般采用圆的标准方程较简单. 练习: 求过三点A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程 . 设圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 2 2 把点A,B,C的坐标代入得方程组 62 ? 6 D ? F ? 0 82 ? 8 E ? F ? 0 F ?0 ? D ? ?6, ? ? E ? ?8, ? F ? 0. ? 所求圆的方程为: 2 ? 6x ? 8 y ? 0 2 ? y x 若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的 一般方程用待定系数法求解. 小结 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 2 2 D? ? E? D2 ? E 2 ? 4F ? ?x? ? ?? y ? ? ? 2? ? 2? 4 ? 2 2 (1)当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示圆, D2 ? E 2 ? 4F 2 ? D E? ?- ,? ? ? 2 2? ? D E? 圆心 ? - , ? ? ? 2 2? r? (2)当 (3)当 D ? E ? 4F ? 0 2 2 时,表示点 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,不表示任何图形 [简单的思考与应用] (1)已知圆 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 2 ? y