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数值分析 第四章 数值微分与数值积分


郑州大学研究生课程 (2009-2010学年第一学期)

数值分析 Numerical Analysis 第四章 数值微分与数值积分

第四章 数值微分与数值积分
§4.1 问题提出 §4.2 差商型数值微分 §4.3 插值型数值微分 §4.4 数值积分的一般问题 §4.5 Newton-Cotes数值积分公式 §4.6 复化积分方法

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§4.1 问题提出 ★ 求导运算的理论解决
? ? ? ? f ′( x) = ? ? ? ? ?

lim
h →0

lim
h →0

lim
h →0

f ( x + h) ? f ( x ) h f ( x ) ? f ( x ? h) h f ( x + h) ? f ( x ? h) 2h
结合各类求导运算法则可求基本初等函 数在其定义域上任一点的导数。

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§4.1 问题提出 ★ 求积分运算的理论解决

牛顿 ? 莱布尼兹公式



b

a

f ( x)dx = F (b) ? F (a)
各种积分法的综合运用。

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§4.1 实际情况: ★ 函数 f ( x) 的表达式是未知的,在工程实际问题中通
常是以离散点的形式给出。无法使用微积分中的理 论结果。

★ 原函数 F ( x) 难以求出,或者其形式非常复杂,给计
算带来不便。

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§4.1
例4.1.1

原函数难以求出的定积分例子.
椭圆积分 L = 4 ∫ 2 1 ? a 2 sin θ dθ;
0

π

正态分布概率密度
sin x sin x , cos x , , x
2 2

∫e
0

1

? x2

dx
1+ x , e
3 ? x2

1 , ln x

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§4.1 问题提出:
已知函数f ( x)在n + 1个点xi的值yi (i = 0,1, (1)f ( x)在点(xi , yi )(i = 0,1, n), 试近似求

n)的一阶、二阶导数值;

(2)f ( x)在区间[a, b](a = x0 , b = xn )上的积分值; 并分析近似值的截断误差。

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§4.2

差商型数值微分(等距节点)
将区间[a, b]等分为n份,xi = a + ih 是等距节点,h = (b ? a ) / n是步长。

4.2.1 显格式
导数与差商的关系
? ? ? ? f ′( x) = ? ? ? ? ?

lim
h →0

lim
h→0

lim
h →0

f ( x + h) ? f ( x ) h f ( x ) ? f ( x ? h) h f ( x + h) ? f ( x ? h) 2h

数值微分取为导数的近似值,即差商。
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4.2.1 显格式

向前差商

f ( xi + h) ? f ( xi ) f '( xi ) ≈ h

xi
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xi+h
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4.2.1 显格式
由Taylor展开

h2 f ( xi + h) = f ( xi ) + hf '( xi ) + f ''(ξ ), xi ≤ ξ ≤ xi + h 2! 因此,有误差 f ( xi + h) ? f ( xi ) h = ? f ''(ξ ) = O(h) R( x) = f '( xi ) ? 2! h

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4.2.1 显格式

向后差商

f ( xi ) ? f ( xi ? h) f '( xi ) ≈ h

xi-h
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xi

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4.2.1 显格式
由Taylor展开

h2 f ( xi ? h) = f ( xi ) ? hf '( xi ) + f ''(ξ ), xi ≤ ξ ≤ xi + h 2! 因此,有误差

f ( xi ) ? f ( xi ? h) h R( x) = f '( xi ) ? = f ''(ξ ) = O(h) h 2!

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4.2.1 显格式

中心差商
f '( xi ) ≈ f ( xi + h) ? f ( xi ? h) 2h

xi-h
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xi

xi+h

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4.2.1 显格式
由Taylor展开
h2 h3 f ( xi + h) = f ( xi ) + hf '( xi ) + f ''( xi ) + f '''(ξ1 ), xi ≤ ξ1 ≤ xi + h 2! 3! h2 h3 f ( xi ? h) = f ( xi ) ? hf '( xi ) + f ''( xi ) ? f '''(ξ 2 ), xi ? h ≤ ξ 2 ≤ xi 2! 3! 因此,有误差 f ( xi + h) ? f ( xi ? h) R( x) = f '( xi ) ? 2h h2 h2 = [ f '''(ξ1 ) + f '''(ξ 2 )] = f '''(ξ ) = O(h 2 ) 12 6
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4.2.1 显格式 问题: 中心差商具有好的截断误差, 但在区间端点处还能使用吗?

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4.2.1 显格式
h2 f ( x1 ) = f ( x0 ) + hf '( x0 ) + f ''( x0 ) + O ( h3 ) , 2! f ( x2 ) = f ( x0 ) + 2hf '( x0 ) + 2h 2 f ''( x0 ) + O ( h3 ) , 将第一式乘4并减去第二式,除以2h可得 4 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3 f ( x0 ) , f '( x0 ) ≈ 2h 类似可得 f ( xn ? 2 ) ? 4 f ( xn ?1 ) + 3 f ( xn ) . f '( xn ) ≈ 2h
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4.2.1 显格式

二阶差商
h2 h3 f ( xi +1 ) = f ( xi ) + hf '( xi ) + f ''( xi ) + f '''( xi ) + O( h 4 ), 2! 3! h2 h3 f ( xi ?1 ) = f ( xi ) ? hf '( xi ) + f ''( xi ) ? f '''( xi ) + O( h 4 ), 2! 3! 两式相加并除以h 2得 f ( xi ?1 ) ? 2 f ( xi ) + f ( xi +1 ) , (i = 1, 2, n ? 1) f ''( xi ) ≈ 2 h

截断误差为 O(h 2 )
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4.2.1 显格式 同样,在区间端点处特殊考虑
h2 h3 f ( x1 ) = f ( x0 ) + hf '( x0 ) + f ''( x0 ) + f '''( x0 ) + O ( h 4 ) , 2! 3! 4h 2 8h 3 f ( x2 ) = f ( x0 ) + 2hf '( x0 ) + f ''( x0 ) + f '''( x0 ) + O ( h 4 ) , 2! 3! 9h 2 27 h3 f ( x3 ) = f ( x0 ) + 3hf '( x0 ) + f ''( x0 ) + f '''( x0 ) + O ( h 4 ) , 2! 3!

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4.2.1 显格式

端点处二阶差商
将第一式乘-5,第二式乘以4,第三式乘以-1,然后相加除以h 2可得 2 f ( x0 ) ? 5 f ( x1 ) + 4 f ( x2 ) ? f ( x3 ) f ''( x0 ) ≈ , 2 h 类似可得 2 f ( xn ) ? 5 f ( xn ?1 ) + 4 f ( xn ? 2 ) ? f ( xn ?3 ) f ''( xn ) ≈ , 2 h

截断误差为 O(h 2 )
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4.2.1 显格式

数值微分公式的评价
★截断误差的阶越高,表明数值微分公 式的精度越高。 ★同一个数值微分公式,步长h越小,计 算效果越好?
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4.2.1 显格式
设定最佳步长 计算数值微分时产生的误差有截断误差和舍入误差两部分组成。 由数值微分公式产生截断误差,有原始数据产生舍入误差。 一般情况,步长 h 越小,误差也越小,但步长太小,会带来较 大的舍入误差,从而引起误差的增长。因此,实际计算时,需要选 择一个最佳步长。
∵ f(x0-h)≈f(x0+h) 有效数字严重损失

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4.2.1 显格式 中心差商格式的总误差
① 截断误差:

h ′′′(ζ ) = h M 3 . max f 6 6
② 舍入误差:

2

2

设 e 为计算 f(xi-h) 和 f(xi+h) 时的最大舍入误差,可 以证明,舍入误差量不超过 e/h。

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4.2.1 显格式 中心差商格式的总误差

h2 e g (h) = M3 + 6 h
M3 e h ? 2 = 0, 求出其极值点。 令 g ′( h ) = 3 h 从而中心差商公式的最佳步长是 hopt = 3
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3e . M3

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4.2.1 显格式
例4.2.1 对函数 y = ex,选取不同的步长进行计算 f '(1.15) 。
解 用中心差商表示的数值微分计算公式得到: h
0.1 0.09 0.08 0.07 0.06

f '(1.15)
3.1630 3.1622 3.1613 3.1607 3.1600

error
-0.0048 -0.0040 -0.0031 -0.0025 -0.0018

h
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

f '(1.15)
3.1590 3.1588 3.1583 3.1575 3.1550

error
-0.0008 -0.0006 -0.0001 0.0007 0.0032

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4.2.2 隐格式 (改进数值稳定性)

Taylor展开(k=6)
h2 h3 f ( xi +1 ) = f ( xi ) + hf '( xi ) + f ''( xi ) + f '''( xi ) + 2! 3! h 4 (4) h5 (4) f ( xi ) + f ( xi ) + O(h 6 ), + 4! 5! h2 h3 f ( xi ?1 ) = f ( xi ) ? hf '( xi ) + f ''( xi ) ? f '''( xi ) + 2! 3! h 4 (4) h5 (4) f ( xi ) ? f ( xi ) + O(h 6 ), + 4! 5!
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4.2.2 隐格式
两式相加 f ( xi ?1 ) ? 2 f ( xi ) + f ( xi +1 ) h 2 (4) = f ''( xi ) + f ( xi ) + O(h 4 ). h2 12 从而 f '( xi ?1 ) ? 2 f '( xi ) + f '( xi +1 ) h 2 (5) ? f '''( xi ) = ( f ') '' |x = xi = f ( xi ) + O(h 4 ). h2 12

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4.2.2 隐格式

Taylor展开(k=7)
h2 h3 f ( xi +1 ) = f ( xi ) + hf '( xi ) + f ''( xi ) + 2! 3! h 4 (4) h5 (5) h6 f ( xi ) + f ( xi ) + + 4! 5! 6! h2 h3 f ( xi ?1 ) = f ( xi ) ? hf '( xi ) + f ''( xi ) ? 2! 3! h 4 (4) h5 (4) h6 f ( xi ) ? f ( xi ) + + 4! 5! 6!
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f '''( xi ) + f (6) ( xi ) + O(h 7 ), f '''( xi ) + f (6) ( xi ) + O(h 7 ),

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4.2.2 隐格式
两式相减 f ( xi +1 ) ? f ( xi ?1 ) h 2 h 4 (5) f '( xi ) = ? f '''( xi ) ? f ( xi ) + O(h 6 ). 2h 6 120 将前面f '''( xi )表达式代入 f ( xi +1 ) ? f ( xi ?1 ) h 2 f '( xi ?1 ) ? 2 f '( xi ) + f '( xi +1 ) f '( xi ) = ? + O(h 4 ). h2 2h 6

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4.2.2 隐格式 引入记号 mi = f '( xi ), f i = f ( xi ), (i = 1, 2,
可得近似计算公式 fi +1 ? fi ?1 1 mi = ? (mi +1 ? 2mi + mi ?1 ), (i = 1, 2, 2h 6 , n ? 1)

n ? 1)

并补充人工边界条件

m0 = f '( x0 ), mn = f '( xn ).
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4.2.2 隐格式 求数值微分的二阶隐格式
3 ? ?4m1 + m2 = h ( f 2 ? f 0 ) ? m0 , ? ?m + 4m + m = 3 ( f ? f ), 2 3 3 1 ? 1 h ? ? ? 3 ?mn ?3 + 4mn ? 2 + mn ?1 = ( f n ?1 ? f n ? 2 ), h ? ? 3 mn ? 2 + 4mn ?1 = ( f n ? f n ? 2 ) ? mn . ? h ?
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4.2.2 隐格式 数值微分隐格式的优点 ★ 数值稳定性比较好。 ★ 可以一次求出所有点的导数,精度较好。 截断误差为 O(h 4 )
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§4.3 插值型数值微分(非等距节点) 设? n ( x)是f(x)的过点{x0 ,x1 ,x2 ,…xn }? [a,b]的 n 次插值多项式,由Lagrange插值余项,有对任意给 定的x∈[a,b],总存在如下关系式:

f (x) =?n (x) +

f ( n+1) (ξx ) (n+1)!

ω (x), a < ξ < b
n

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§4.3 插值型数值微分 若取数值微分公式 误差为:
R ′(x) = f ′(x) ??' (x) =
n
n

f ′( x) ≈ ? n' ( x)

f

d f (ξx ) ′ ωn (x) +ωn (x) dx (n +1)! (n +1)!

(n+1)

(ξx )

(n+1)

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§4.3

插值型数值微分

d ∵ ωn ( x) dx

f

( n + 1)

(ξ x )

( n + 1)!

中 ξ x 是未知的 , 其误差不能估计 ,

d 注意到在插值节点处 ω n ( x i ) dx
' Rn′ ( xi ) = f ′( xi ) ? ?n ( xi ) =

f

( n + 1)

(ξ x )

( n + 1)!

= 0, 此时的余项为

f

( n+1)

(ξi )

(n + 1)!

′ ωn+1 ( xi ) =

f

( n+1)

(ξi )

(n + 1)!

∏( x ? x )
k =0 k ≠i i k

n

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§4.3

插值型数值微分

插值型微分公式
' f ′( xi ) ≈ ?n ( xi ) = ∑ f ( xk )l 'k ( xi ) k =0 n

i = 0,1,..., n

( x ? x0 ) ( x ? xk?1 )( x ? xk+1 ) ( x ? xn ) lk ( x) = ( xk ? x0 ) ( xk ? xk?1 )( xk ? xk+1 ) ( xk ? xn )

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§4.3

插值型数值微分

例4.3.1
{( xi , f ( xi ))}i2=0 且 x2 ? x1 = x1 ? x0 = h ,求 给定点列
f ' ( x2 ), f ' ( x1 ), f ' ( x0 )
解: ( x ? x0 )( x ? x2 ) ( x ? x0 )( x ? x1 ) ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 2 ( x) = f ( x0 ) + f ( x1 ) + f ( x2 ) 2 2 2 2h 2h ?h ( x ? x0 + x ? x2 ) ( x ? x0 + x ? x1 ) ( x ? x1 + x ? x2 ) ? '2 ( x) = f ( x0 ) + f ( x1 ) + f ( x2 ) 2 2 2 2h 2h ?h

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§4.3

插值型数值微分

1 f '( x0 ) ≈ ? '2 ( x0 ) = ( ?3 f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ) 2h 1 f '( x1 ) ≈ ? '2 ( x1 ) = ( ? f ( x0 ) + f ( x2 ) ) 2h h2 f '''(ξ ) 6

h2 f '''(ξ ) 3

1 f '( x2 ) ≈ ? '2 ( x2 ) = ( f ( x0 ) ? 4 f ( x1 ) + 3 f ( x2 ) ) 2h

h2 f '''(ξ ) 3

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§4.3

插值型数值微分

1 f ''( x0 ) ≈ ? ''2 ( x0 ) = 2 ( f ( x0 ) ? 2 f ( x1 ) + f ( x2 ) ) h 1 f ''( x1 ) ≈ ? ''1 ( x2 ) = 2 ( f ( x0 ) ? 2 f ( x1 ) + f ( x2 ) ) h
1 f ''( x2 ) ≈ ? ''2 ( x2 ) = 2 ( f ( x0 ) ? 2 f ( x1 ) + f ( x2 ) ) h

h 2 (4) f (ξ 2 ) 6 h 2 (4) f (ξ ) 12
h 2 (4) f (ξ 2 ) 6
O(h 2 )

Taylor展开分析,可以知道,截断误差都是
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称为三点公式
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§4.4 数值积分的一般问题

积分值

I ( f ) = ∫ f ( x)dx

b

在几何上可解释为由x=a, x=b, y=0和 y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积.积分计算之所以有 困难,就是因为这个曲边梯形有一条边y=f(x) 是曲的.

a

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§4.4 数值积分的一般问题

依据积分中值定理,对于连续函数f(x) ,在 [a,b]内存在一点ξ,使得
I ( f ) = ∫ f ( x)dx = (b ? a ) f (ξ )
a b

称f(ξ)为区间[a,b]的平均高度. 问题在于 点ξ的具体位置一般是不知道的.这样,只要 对平均高度f(ξ)提供一种算法,相应地便获 得一种数值求积方法.
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§4.4 数值积分的一般问题

如果简单地选取区间[a,b]的一个端点或 区间中点的高度作为平均高度,这样建立的 求积公式分别是: 左矩形公式: 右矩形公式: 中矩形公式:
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I(f)≈(b-a)f(a) I(f)≈(b-a)f(b) I(f)≈(b-a)f[(a+b)/2]

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§4.4 数值积分的一般问题
此外,众所周知的梯形公式: I(f)≈(b-a)[f(a)+f(b)]/2 和 Simpson公式: I(f)≈(b-a)[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)]/6 则分别可以看作用 a, b, c=(a+b)/2, 三点 高度的加权平均值 [f(a)+f(b)]/2 和 [f(a)+4f(c)+f(b)]/6 作为平均高度f(ξ)的近似值.

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§4.4 数值积分的一般问题

更一般地,取区间[a,b]内n+1个点 {xi},(i=0,1,2,…n)处的高度{f(xi)} (i=0,1,…,n)通过加权平均的方法近似地得出 平均高度f(ξ),这类求积方法称为机械求积法:


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b

a

f ( x)dx ≈ (b ? a )∑ λ i f ( xi )
i =0

n

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§4.4 数值积分的一般问题 求积节点

I( f )



b

a

f ( x) dx ≈ ∑ A k f ( xk )
k =0

n

In ( f )
求积系数

数值积分公式

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§4.4 数值积分的一般问题
I n ( f ) = ∑ Ak f ( xk )
k =0 n

R( f ) = I ( f ) ? I n ( f ) = ∫ f ( x)dx ? ∑ Ak f ( xk ),
b a k =0

n

分别称为为数值求积公式和求积公式余项

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§4.4 数值积分的一般问题

构造或确定一个求积公式,要讨论解决的问 题有 (ii) 求积公式的误差估计和收敛性
(i) 确定求积系数Ak和求积节点xk ;

为了构造机械求积公式,需要提供一种判定 求积方法精度高低的准则。

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§4.4 数值积分的一般问题

求积公式的代数精度
定义1 称求积公式具有m次代数精度,如果它满 足如下两个条件: (i)对所有次数≤ m次的多项式 Pm (x) ,有

R( Pm ) = I ( Pm ) ? I n ( Pm ) = 0
(ii)存在m+1次多项式 Pm+1 ( x) ,使得

R( Pm +1 ) = I ( Pm +1 ) ? I n ( Pm +1 ) ≠ 0
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§4.4 数值积分的一般问题 定义1中的条件(i),(ii)等价于:

(i ) R ( x ) = I ( x ) ? I n ( x ) = 0, (0 ≤ k ≤ m)
k k k

(ii ) R ( x

m +1

)≠0

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§4.4 数值积分的一般问题

基本目标
对于给定的一组结点x0 , x1 , f ( x) = 1, x, x ,
2

, xn , 要构造至少

有n次代数精确度的求积公式, 则它对于 , x 精确成立.
n

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§4.4 数值积分的一般问题

即求积公式的系数A0 , A1 , A2 ,

, An满足线性方程组

? A0 + A1 + + An = b ? a ? b2 ? a2 ?A x + A x + + A x = 1 1 n n ? 0 0 2 ? ? ? b n +1 ? a n +1 n n ? A0 x0 + A1 x1n + + An xn = n +1 ?

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§4.4 数值积分的一般问题 上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式

因此结点互异时,方程组的解存在且唯一

因此对于给定的一组结点,构造求积公式 的实质是求解线性方程组。

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§4.5 Newton-Cotes数值积分公式

插值型求积公式
在积分区间[ a , b ]上取一组节点 a ≤ x0 < x1 <
n

< xn ≤ b

作f ( x)的n次Lagrange插值多项式

? n ( x) = ∑ f ( xk )lk ( x)
k =0

lk ( x )( k = 0 ,1,
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, n )为插值基函数

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§4.5 Newton-Cotes数值积分公式
用? n ( x)作为被积函数f ( x)的近似, 有



b

a

f ( x )dx ≈ ∫ ? n ( x)dx = ∫
a

b

b n

a

∑ f ( x )l ( x)dx
k =0 k k

= ∑ f ( xk )∫ lk ( x )dx
b k =0 a

n

记 Ak = ∫ lk ( x)dx , 则
a

b


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b

a

f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
k =0

n

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§4.5 Newton-Cotes数值积分公式

定义:系数由式Ak = ∫ lk ( x)dx (k = 0,1,
a

b

, n)所确定

的求积公式称为插值型求积公式.
定理4.5.1:利用n + 1个结点的求积公式至少具有n次 代数精确度的充分必要条件是它是插值型的.

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§4.5 Newton-Cotes数值积分公式

推论4.5.1:插值型求积公式的系数满足

∑A
k =0

n

k

=b?a

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§4.5 Newton-Cotes数值积分公式

等距节点的Newton-Cotes求积公式
设函数f ( x ) ∈ C[ a , b ]
各节点为 xk = a + kh , k = 0,1,

,n

b?a 将积分区间[ a, b]分割为n等份,其中h = 为步长 n f ( x)的Lagrange插值多项式为

? n ( x) = ∑ f ( xk )lk ( x)
k =0
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n

§4.5 Newton-Cotes数值积分公式 其中
x ? xi lk ( x ) = ∏ 0≤i ≤ n xk ? xi
i≠k

将x = a + th(t ∈ [0, n]), 代入式可得
t ?i ?n ( x) = ∑ (∏ ) f ( xk ) k =0 i =0 k ? i
n n i≠k

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§4.5 Newton-Cotes数值积分公式
因此



b

a

f ( x)dx ≈ ∫ ? n ( x)dx = h ∫ ? n (a + th)dt
a 0

b

n

b?a n n n t ?i = ∑ (∫0 ∏ k ? i dt ) f ( xk ) n k =0 i =0
i≠k

= (b ? a )∑ Ck( n ) f ( xk )
k =0

n

In ( f )

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§4.5 Newton-Cotes数值积分公式

其中 Ck( n )

h n n t ?i = ∫0 ∏ k ? i dt , k = 0,1, b ? a i =0
i≠k

,n

称为n阶Newton-Cotes求积公式,系数 Ck( n ) 称为 Cotes系数。

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§4.5 Newton-Cotes数值积分公式 常用的低阶Newton-Cotes求积公式 1.梯形(trapezia)公式

取n = 1, 则x0 = a , x1 = b , h = b ? a
4.5

Cotes系数为
(1) C(1)= ? ∫ (t ? 1)dt C1 = ∫ tdt 0

4 3.5

1

1

3 2.5 2 1.5 1

0

0

因此有梯形求积公式



b

a

(b ? a ) f ( x)dx ≈ [ f (a ) + f (b)] = T 2
0.5

0 -0.5

0

0.5

1

1.5

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§4.5 Newton-Cotes数值积分公式 2.Simpson公式

b+a b?a , x2 = b , h = 取n = 2 , 则x0 = a , x1 = 2 2 Cotes系数为
1 2 C = ∫ (t ? 1)(t ? 2)dt 4 0 1 2 (2) ?1 2 (2) C1 = t (t ? 2)dt C2 = ∫0 (t ? 1)tdt 4 2 ∫0
(2) 0

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§4.5 Newton-Cotes数值积分公式
4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5

因此有Simpson公式

0 -0.5

0

0.5

1

1.5



b

a

1 4 1 f ( x)dx ≈ (b ? a )[ f ( x0 ) + f ( x1 ) + f ( x2 )] 6 6 6
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§4.5 Newton-Cotes数值积分公式 3.Cotes公式

取n = 4 , 则 xk = a + kh , k = 0 ,1,
Cotes系数为

b?a ,4 , h = 4

1 4 C = ∫0 (t ? 1)(t ? 2)(t ? 3)(t ? 4)dt 4 ? 4! 1 4 (4) C1 = ? ∫0 t (t ? 2)(t ? 3)(t ? 4)dt 4 ? 3!
(4) 0

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§4.5 Newton-Cotes数值积分公式
4 1 C = ∫0 t (t ? 1)(t ? 3)(t ? 4)dt 4 ? 2!? 2! 1 4 (4) C3 = ? ∫0 t (t ? 1)(t ? 2)(t ? 4)dt 4 ? 3! 1 4 (4) 因此有Cotes求积公式 C4 = ? ∫0 t (t ? 1)(t ? 2)(t ? 3)dt 4 ? 4! b (4) 2



a

f ( x)dx

7 32 12 32 7 ≈ (b ? a )[ f ( x0 ) + f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) + f ( x4 )] 90 90 90 90 90 b?a = [7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x2 ) + 32 f ( x3 ) + 7 f ( x4 )] 90
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★ Newton-Cotes积分系数

[a, b] n 等分, 节点 xi = a +ih (i = 0,1,2,…,n), h = (b - a)/n, 作变换,令 x = a +th,则 0≤t≤n 。于是li(x)的分子、分母:

α i = ∫ li ( x)dx.
a

b

( x ? x0 )( x ? x1 ) ( xi ? x0 )( xi ? x1 )

( x ? x n ) = thi(t ? 1)hi i(t ? n)h = t (t ? 1) (t ? n)h n +1 , ( xi ? x n ) ( ?( n ? i ) h) ( xi ? xi ?1 )( xi ? xi +1 )( xi ? xi + 2 )

= ihi(i ? 1)hi i2hihi(?h)i(?2h)
于是我们得到
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= (?1) n ?i ii !i(n ? i )!ih n ,
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α i = ∫ l i ( x )dx
a

b

=∫ =∫

b

a n

( x ? x 0 )( x ? x1 ) ( x ? x n ) ( x ? xi )( xi ? x 0 ) ( xi ? xi ?1 )( xi ? xi +1 ) t (t ? 1) (t ? n ) h n +1 i hdt n ?i n (t ? i ) h i( ?1) ii !i( n ? i )!i h

( xi ? x n )

dx

0

( ?1) n ?i h n t (t ? 1) (t ? n ) = dt ∫0 i !i( n ? i )! (t ? i )
n t (t ? 1) (t ? n ) ( ?1) n ?i dt = (b ? a ) ∫0 (t ? i ) nii !i( n ? i )!

b?a h= n

= (b ? a )ici( n )

∑α
i=0

n

i

=∫

b

a

∑l
i=0

n

i

( x )d x = ∫ 1d x.
a

b

=b?a
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它与积分节点和积分区间无直接 关系,只与插值的节点数有关。

ci(n)称为Newton-Cotes系数,

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Newton-Cotes系数(n =1,2,…,8)
n 1 2 3 4 5 6
( c 0n )

c1( n ) 1 2 4 6 3 8 16 45 25 96 9 35

( c 2n )

( c3n )

( c 4n )

( c5n )

( c 6n )

( c 7n )

( c8 n )

1 2 1 6 1 8 7 90 19 288 41 840

1 6 3 8 2 15 25 144 9 280

1 8 16 45 25 144 34 105

7 90 25 96 9 280

19 288 9 35

41 840

8

989 5888 ?928 10496 ?4540 28350 28350 28350 28350 28350
67/95

10496 28350

?928 28350

5888 28350

989 28350

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Newton-Cotes公式的稳定性 考察Newton-Cotes求积公式的数值稳定性问题,即 数值计算过程中舍入误差对计算结果的影响大小. 考察Cotes系数
1 n n t ?i C(n) = ∫ ∏ dt , k = 0,1, k n 0 i =0 k ? i
i≠k

,2

只与积分区间[ a, b]的节点 xi的划分有关 , 与函数 f ( x )无关

其值可以精确给定
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因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由

函数值f ( xk )的计算引起

只需讨论f ( xk )的舍入误差对公式的影响

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~ 假设f ( xk )为精确值, 而以f ( xk )作为f ( xk )的近似值 (计算值 ) ~ ε k = f ( xk ) ? f ( xk ) 为误差
则用f ( xk )近似代替f ( xk ), 求积公式产生的误差为

E

~ = (b ? a )∑ Ck [ f ( xk ) ? f ( xk )]
k =0

n

= (b ? a )∑ Ck ε k
k =0

n

记ε = max{| ε k |}
0≤ k ≤ n
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若 ?k ≤ n , Ck > 0, 有

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E ≤ (b ? a )∑ Ck ε k ≤ (b ? a )ε
k =0

n

性质: Ck = 1 ∑
k =0

n

此时,计算结果的误差可以控制,计算过程是稳定的.

若Cotes系数Ck 有正有负,则

∑C
n

n

并且n越大, Ck 的值越大,此时公式(2)的计算误差越大. ∑
k =0

k =0

k

>1

因此,在实际应用中一般不使用高阶Newton-Cotes公式
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Newton-Cotes公式的余项
n阶的Newton ? Cotes求积公式的余项为
R ( f ) = ∫ f ( x)dx ? ∫ Pn ( x)dx
a a b b

=∫

b

a

f ( n+1) (ξ ) n ∏ ( x ? xi )dx (n + 1)! i =0

其中,ξ ∈ (a, b), 且与x有关

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2 定理4.5. :若n是偶数,则n阶的Newton ? Cotes求积公式 至少具有n + 1次的代数精确度

证: 只要证明对f ( x) = x n +1 , R ( f ) = 0成立即可, 当f ( x) = x 时,可知
n +1

R( f ) = ∫

b

a

∏ ( x ? x )dx
i i =0

n

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做变量代换x = a + th, 则上式成为

R( f ) = h

n+ 2

∫ ∏ (t ? i)dt
n 0 i =0
?m m i =0

n

n 当n是偶数时, = m是奇数,再做变量替换u = t ? m,得 2 m 2m R( f ) = h n+2 ∫ ∏ (u + m ? i )du

= h n+ 2 ∫ u ∏ (u 2 ? i 2 )du
?m i =1

m

======== 0 所以代数精确度是n + 1, 证毕
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被积函数是奇函数

定理4.5.:若f ( x)在[a, b]上具有连续的二阶导数,则梯形 3 公式的余项表达式为 (b ? a )3 RT ( f ) = ? f ′′(η ),η ∈ [a, b] 12

证:

f ′′(ξ ) RT ( f ) = ∫ ( x ? a )( x ? b)dx a 2 f ′′(η ) b = ∫a ( x ? a )( x ? b)dx 2
b

f ( n+1) (ξ ) Rn ( x) = ωn ( x ) (n + 1)!

f ′′(η ) (b ? a ) =? 2 6 3 (b ? a ) =? f ′′(η ) 12
3

第二积分 中值定理

η ∈ [a , b]

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定理4.5. :若f (4) ( x)在[a, b]上连续,则Simpson公式的余项 4 表达式为: (b ? a )5 (4) Rs ( f ) = ? f (η ),η ∈ [a, b] 2880

证:
由定理4.5. 知,Simpson公式至少具有3次代数精确度, 2 所以考虑构造三次Hermite插值多项式H ( x), 使它 满足插值条件
H (a ) = f (a ), H (b) = f (b), H (c) = f (c), H ′(c) = f ′(c)

a+b 其中,c = , Hermite余项公式为 2
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f ( 4 ) (ξ ) f ( x) ? H ( x) = ( x ? a )( x ? c) 2 ( x ? b), ξ ∈ (a, b) 4!

因为H ( x)是三次多项式,所以Simpson公式对H ( x) 精确成立,即
b

b?a ∫a H ( x)dx = 6 [ H (a) + 4 H (c) + H (b)] b?a ∫a H ( x)dx = 6 [ f (a) + 4 f (c) + f (b)]
b

由插值条件得

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因此Simpson公式的余项为:
Rs ( f ) = ∫
b a

f ( 4 ) (ξ ) ( x ? a )( x ? c) 2 ( x ? b)dx 4!
第二积分 中值定理

f ( 4 ) (η ) b ( x ? a )( x ? c) 2 ( x ? b)dx = 4! ∫a (b ? a )5 ( 4 ) f (η ) =? 2880

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§4.6 复化求积方法

求积公式的收敛性和稳定性 考虑求积公式:



b

a

f ( x)dx ≈ ∑ α i f ( xi )
i =0
n b

n

(*)
b?a → 0? ? n ?

定义1 若

α i f ( xi ) = ∫ f ( x)dx, ? h = ? lim∑
n →∞ i = 0 a

?

则称求积公式(*)是收敛的。

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§4.6 复化求积方法
计算 f (xi)时可能产生误差δi而实际得到的是

fi ,

i.e.

f ( xi ) = f i + δ i .
定义2 如果对任意的ε>0,存在δ>0, 只要

就有

f ( xi ) ? f i < δ ,

∑α
i =0

n

i

f ( xi ) ? ∑ α i f i =
i =0

n

∑α ( f (x ) ? f ) ≤ ε ,
i =0 i i i

n

则称求积公式(*)是稳定的。
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§4.6 复化求积方法 定理4.6.1 如果N.-C.求积系数αi>0(i=0,1,2,…,n), 则求
积公式是稳定的。

当n >7时,Newton-Cotes积分公式是不稳定的。因此不可能用高阶N.-C. 积分公式来提高求积精度。

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复化梯形公式

设f ( x)在[a, b]上有连续的二阶导数
将定积分 ∫ f ( x )dx的积分区间[ a , b ]分割为n等份
a b

各节点为

xi = a + ih , i = 0,1,

在子区间[ xi , xi +1 ](i = 0,1,

b?a h= n , n ? 1)上使用梯形公式及其余项

,n


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xi +1

xi

h h3 f ( x)dx = [ f ( xi ) + f ( xi+1 )] ? f ′′(ηi ) 2 12

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其中,ηi ∈ [ xi , xi +1 ].于是有
I = ∫ f ( x)dx = ∑ ∫
b a i =0 n ?1 n ?1 xi +1 xi

f ( x)dx

n ?1 3 h h = ∑ [ f ( xi ) + f ( xi+1 )] ? ∑ f ′′(ηi ) i =0 2 i =0 12

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n ?1 h h3 n?1 = [ f (a ) + 2∑ f ( xi ) + f (b)] ? ∑ f ′′(ηi ) 2 12 i =0 i =1

因为f ′′( x)在[a, b]上连续,有介值定理知,必存在η ∈ [a, b], 使

1 n?1 f ′′(η ) = ∑ f ′′(ηi ) n i =0

所以式(1)变为 I = Tn + RTn
其中
复合梯形公式
n ?1 h Tn = [ f (a ) + 2∑ f ( xi ) + f (b)] 2 i =1

h3 (b ? a )3 复合梯形公式的余项为 RT = ? nf ′′(η ) = ? f ′′(η ),η ∈ [a, b] 2 n 12 12n
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若 f ′′( x) ≤ M , x ∈ [a, b], 则有估计式
(b ? a )3 RTn ≤ M 2 12n

复化梯形求积公式的系数均大于零,且满足 n h ∑ Ai = 2 [1 + 2(n ? 1) + 1] = nh = b ? a i =0
因此,复化梯形求积公式的计算过程是数值稳定的

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复化Simpson公式
设f ( x)在[a, b]上有连续的四阶导数
将积分区间[a, b]分割为n等份 在子区间[ xi , xi+1 ]上使用Simpson公式及其余项
h h5 f ( x)dx = [ f ( xi ) + 4 f ( x 1 ) + f ( xi +1 )] ? f ( 4) (ηi ) ∫xi i+ 6 2880 2 b?a 其中,ηi ∈ [ xi , xi +1 ], h = .于是有 n
xi +1

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I = ∫ f ( x)dx = ∑ ∫
b a i =0

n ?1

xi +1

xi

f ( x)dx

h n?1 h5 n?1 ( 4 ) = ∑ [ f ( xi ) + 4 f ( x 1 ) + f ( xi +1 )] ? ∑ f (ηi ) i+ 6 i =0 2880 i =0 2
n ?1 n ?1 h = [ f (a ) + 4∑ f ( x 1 ) + 2∑ f ( xi ) + f (b)] i+ 6 i =0 i =1 2

h5 ? nf ( 4 ) (η ), η ∈ [a, b] 2880
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复化Simpson公式 复合抛物线公式 复化Simpson公式 的余项为

n ?1 n ?1 h S n = [ f (a ) + 4∑ f ( x 1 ) + 2∑ f ( xi ) + f (b)] i+ 6 i =0 i =1 2

h5 (b ? a ) 5 ( 4 ) ( 4) RS n = ? nf (η ) = ? f (η ), η ∈ [a, b] 4 2880 2880n

复化Simpson求积公式的系数均大于零,且总和为b ? a
因此,复化Simpson求积公式的计算过程是 数值稳定的

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三、复化Cotes公式
复化Cotes公式
Cn =
n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 h [7 f ( a ) + 32∑ f ( x 1 ) + 12∑ f ( x 2 ) + 32∑ f ( x 3 ) +14∑ f ( xi ) + 7 f (b)] i+ i+ i+ 90 i =0 i =0 i =1 i =0 4 4 4

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b?a 其中,h = , xi = a + ih, i = 0,1,2, n
复化Cotes公式 的余项为

,n

(b ? a ) 7 f ( 6 ) (η ), η ∈ [a, b] RCn = ? 1935360n 6

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sin x dx 例1. 使用各种复化求积公式 计算定积分 I = ∫ 0 x 解: 为简单起见,依次使用8阶复化梯形公式、4阶 复化Simpson公式和2阶复化Cotes公式
1

可得各节点的值如下表

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Trapz x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
92/95

Simp . Cotes x0 x0 x
0+ 1 2

x x

0 +

1 4 1 2 3 4

x1 x
1+ 1 2

0 +

x

0 +

x2 x
2+ 1 2

x1 x x
1 2
1 + 1 4 1 2 3 4

x3 x
3+

1 +

x x

1 + 2

xi 0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1

f ( xi )
1 0.99739787 0.98961584 0.97672674 0.95885108 0.93615564 0.90885168 0.87719257 0.84147098

x4

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分别由复化Trapz、Simpson、Cotes公式有
7 1 T8 = [ f (0 ) + 2 ∑ f ( xk ) + f (1)] = 0.94569086 16 k =1
3 3 1 S 4 = [ f (0 ) + 4∑ f ( xk + 1 ) + 2 ∑ f ( xk ) + f (1)] 24 k =0 k =1 2

= 0.94608331

C2
1 1 1 = [7 f (0 ) + ∑ [ 32 f ( x 1 ) + 12 f ( x 2 ) + 32 f ( x 3 )] + 14∑ f ( xk ) + 7 f (1)] k+ k+ k+ 180 k =0 k =1 4 4 4

= 0.94608307
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精度最低 比较三个 公式的结果 精度次高 精度最高 原积分的精确值为
1

T8 = 0.94569086

S 4 = 0.94608331

C2 = 0.94608307

sin x dx = 0.9460830703 67183 I =∫ 0 x

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