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立体几何的计算



教 师 姓 名 授 课 日 期 年 授课班级 月 日 第 周


授课形式 授课时数

授课章节名称

立体几何的计算

教 学 目 的

计算立体几何中的有关角度和距离以及一些体积问题

教 学 重 点

二面角和

几何体的体积

教 学 难 点

二面角的计算

更 新、补 充、 删 节 内 容

使 用 教 具

三角板

课 外 作 业

补充

课 后 体 会

注意立体图形与平面图形的转化

授 课 主 要 内 容 或 板 书 设 计

一、复习知识点 1. 有关角的计算 ⑴异面直线所成的角 a. 定义:设 a , b 是异面直线,过空间任一点 o 引 a' ? a, b' ? b ,则 a ' 与 b ' 所成的锐角 (或直角)叫异面直线 a , b 所成的角。 b.范围 (0? ,90? ] c. 求法:作平行线,将异面转化成相交 ⑵线面所成的角 a. 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫这条斜线和这个平 面所成的角。 b.范围: [0? ,90? ] c. 求法:作垂线,找射影 ⑶二面角 a. 定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角,其大小通过二面 角的平面角来度量。 b.二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线所成的角叫二面角的平面角。 c. 范围: [0, ? ] d.作法:
1? 定义法:过棱上任一点 o 在两个半平面内分别引棱的两条垂线 OA, OB ,则
?AOB 为二面角的平面角

2? 三垂线定理法:过二面角的一个半平面内一点 A ,作棱 l 的垂线,垂足为 O ,

作另一个面的垂线,垂足为 B ,连接 OB ,则 ?AOB 为二面角的平面角。
α A O

B β

3? 作棱的垂面法: 过二面角内任意一点 O , 分别向两个平面作垂线, 垂足为 A, B

则 AO, BO 所确定的平面与棱 l 交于 P ,则 ?APB 为二面角的平面角。

O α

A

β

P

B

2.有关距离的计算 ⑴线线距 a. 定义:两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度叫两条异面直 线间的距离。 b.求法:高考要求题中给出公垂线段,故只须直接找出即可。 ⑵点面距 a. 定义:从平面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫这个点到这 个平面的距离。 b.求法:
1? 直接法: 作点到平面的垂线, 然后通过解三角形或者向量自身的数量积来求其

长度
2? 作线的垂线,下证垂直于面

3? 等体积法
4? 平行转化法

⑶线面距 a. 定义:一条直线和一个平面平行,这条直线上任一点到平面的距离叫这条直线 和平面的距离 b.求法:转化成点面距 ⑷面面距 a. 定义:夹在两个平行平面之间的公垂线段的长度叫两平行平面之间的距离 b.求法:转化成线面距,点面距 3.面积与体积 名称 侧面积 体积 V ? sh 多面体 直棱柱 S ? ch 1 1 V ? sh 正棱锥 S ? ch ' 2 3 4 V ? ? R3 旋转体 球 S ? 4? R2 3 V ? Sh 圆柱 S ? 2? rh 1 V ? sh 圆锥 S ? ? rl 3

二、讲解例题 例 1、已知线段 PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面,且 PA ? AB ? a , 求⑴ P 到 BD 的距离 ⑵ PC 与 BD 所成的角
P

A

D

O B C

例 2、已知正四面体 ABCD 的棱长为 a , E 为 AD 的中点,连接 CE ⑴求证:顶点 A 在底面 BCD 内的射影是 ? BCD 的外心 ⑵求 AD 与底面 BCD 所成的角 ⑶求 CE 与底面 BCD 所成的角
A

E

B O F

D

C

例 3、设 ABCD ? A1B1C1D1 为正方体,棱长为 a , O 为 BD 的中点 ⑴求平面 A1BD 与平面 C1BD 的夹角的余弦 ⑵求点 B1 到平面 A1BC1 的距离

D1

C1

A1 B1

C D O A B

例 4. 年高考) (03 四棱锥 P ? ABCD 的底面是矩形,PA ? 平面 ABCD ,E 是 AB 的中点,二面角 P ? CD ? B ? 45? , BC ? 6, CD ? 4 3 ⑴求四棱锥 P ? AECD 的体积 ⑵求点 A 到平面 PCD 的距离
P

A D E

B

C

例 5. (04 年高考)已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,其边长为 a ,E,F 分别是棱 AB,BC 的中点 ⑴求二面角 B ? EF ? B1 的大小 ⑵求 ?EB1F ⑶求证:直线 EF ? 平面 BB1D1D

说明:教师备课笔记由学校自订式样并附后










D1 C1

A1

B1

D O F G A E B

C

三、练习. 1.(05 年高考)已知正四面体 ABCD 的棱长为 a ⑴求二面角 A ? CD ? B ⑵以 A 为顶点, ? BCD 的外接圆为底面作圆锥,求圆锥的高和底面半径 ⑶求⑵题中的圆锥内接正方体的体积(正方体的下底面在圆锥的底面上, 四个顶点在侧面上)
A A A

B B C D C

D

2. (06 年高考)在四面体 P ? ABC 中, PA ? 面 ABC, ? ABC 为正三角形,D, E 分别为 BC,AC 的中点,设 AB=2PA=2 ⑴如何在 BC 上找一点 F,使 AD ? 面 PEF?请说明理由 ⑵求点 B 到面 PEC 的距离 ⑶对于⑴中的点 F,求二面角 P ? EF ? A 的大小

P

E A F D C

B

四、课堂小结: 注意立体图形向平面图形的转化 五、作业:补充


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