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第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性


第三节

函数的奇偶性与周期性

考 纲 展 示

1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、 应用简单函数的周期性.

高频考点全通关——函数性质的综合应用 闯关一:了解考情,熟悉命题角度
【考情

分析】
高考常将函数的单调性、奇偶性及周期性相结合命题,以 选择题或填空题的形式考查,难度稍大,为中高档题.

【命题角度】
高考对函数性质综合应用的考查主要有以下几个命题角度: (1)单调性与奇偶性相结合;

(2)周期性与奇偶性相结合;
(3)单调性、奇偶性与周期性相结合.

高频考点全通关——函数性质的综合应用 闯关二:典题针对讲解——单调性与奇偶性相结合
[例 1] (2013·北京高考)下列函数中,既是偶函数 ) D. y=lg|x| 又在区间(0,+∞ )上单调递减的是( A.y = 1 x B. y=e
-x

C. y=-x2+1

1 【解析】 A 中 y= 是奇函数, A 不正确; x 1 - B 中 y=e x= e x 是非奇非偶函数, B 不正确; C 中 y=-x2+1 是偶函数且在(0,+∞ )上是 单调递减的,C 正确;D 中 y=lg|x|在(0,+∞ ) 上是增函数,D 不正确.故选 C.

【答案】

C

高频考点全通关——函数性质的综合应用 闯关二:典题针对讲解——周期性与奇偶性相结合
[例 2] (2012·浙江高考)设函数 f (x)是定义

在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x ∈[0,1]时, 3 f (x)=x+ 1,则 f 2 =________.

【解析】

3 1 1 - 1 3 f 2 =f 2 = f 2 = +1= . 2 2
3 2

【答案】

高频考点全通关——函数性质的综合应用 闯关三:总结问题类型,掌握解题策略
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的 定义,以及奇、偶函数图象的对称性. (2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题,常利 用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解 析式的函数定义域内求解. (3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利 用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.

高频考点全通关——函数性质的综合应用 闯关四:及时演练,强化提升解题技能
1. 函数 f(x)是周期为 4 的偶函数,当 x∈[0,2]时, f(x)=x-1,则不等式 xf(x)>0 在[-1,3]上的解集为( A.(1,3) B.(-1,1) )

C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)

解析:选 C f (x)的图象如图.

当 x∈(-1,0)时,由 xf (x)>0 得 x∈(-1,0); 当 x∈(0,1)时,由 xf (x)<0 得 x∈?; 当 x∈(1,3)时,由 xf (x)>0 得 x∈(1,3). 故 x∈(-1,0)∪(1,3).

高频考点全通关——函数性质的综合应用 闯关四:及时演练,强化提升解题技能
2. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x), 且在区间[0,2]上是增函数.若方程 f(x)=m(m>0)在 区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4=________.

解析:∵f(x)为奇函数并且 f(x-4)=-f(x). ∴f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),即 f(4-x)=f(x), 且 f(x-8)=-f(x-4)=f(x),即 y=f(x)的图象关于 x=2 对称, 并且是周期为 8 的周期函数. ∵f(x)在[0,2]上是增函数,∴f(x)在[-2,2]上是增函数, 在[2,6]上为减函数,据此可画出 y=f(x)的图象, 其图象也关于 x=-6 对称,∴x1+x2=-12,x3+x4=4, ∴x1+x2+x3+x4=-8. 答案:-8
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