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辽宁省葫芦岛市第一高级中学2012----2013学年度上学期高三期中考试


辽宁省葫芦岛市第一高级中学 2012----2013 学年度上学期 高三期中考试 数学(文科)试题

(本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分, 共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设全集 U=R,集合 P= ? x | 为( )

A.{x︱-1﹤x≤0,x∈R} C.{x︱x﹤0,x∈R}
y ? ln ( x ? 1)? ,集合

Q= ? y |

y ?

x

? ,则集合 P∩ C

u

Q

B.{x︱-1﹤x﹤0,x∈R} D.{x︱x>-1,x∈R} )
? 3x ? 2 ? 0

2.下列命题中错误的个数是( ①命题“若 x 2
? 3x ? 2 ? 0
R

则 x=1”的否命题是“若 x 2
?

则 x≠1”

②命题 P: ? x 0 ?
?
2

,使 s in

x 0 ? 1 ,则 P : ? x 0 ? R

,使 s in

x0 ? 1

③若 P 且 q 为假命题,则 P、q 均为假命题 ④"? A.1
? ? 2 k ? ( k ? Z ) " 是函数 y ? sin ( 2 x ? ? ) 为偶函数的充要条件

B.2
2

C.3
? y ? 2 5 的弦

D.4 AB 的中点,则直线 AB 的方程为 D.x-y-4=0

3.若点 P(3,-1)为圆 ( x ? 2 ) 2 ( ) A.x+y-2=0 4.若曲线

B.2x-y-7=0
?
2

C.2x+y-5=0

f ( x ) ? x ? sin x ? 1 在 x ?

处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂直,则实数 C.1 D.2
? 2 co s 2 ?

a 的值等于( A.-2

) B.-1
? ?2 x

5 若点 P (co s ? , sin ? ) 在直线 y A.
? 7 5

上,则 sin 2? C.
?2

=( D.
4 5

)

B.

?

14 5

6.已知 m、n 是两条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面,下列命题中错 误的是( )
-1-

A.若 m

? ?,m ? ?

则? ∥ ?

B.若 ? ∥ ? , ? ∥ ? 则 ? ∥ ? C.若 m
? ?,n ? ? ,m

∥n 则 ? ∥ ?
? ?,n ? ? ,m

D.若 m、n 是异面直线, m

∥ ? ,n∥ ? 则 ? ∥ ?

7. 已知数列 ? a n ? 是等差数列,a n A.
15 17

? 0

若 2 lg a 2

? lg a 1 ? lg a 4 , 则
13 15

a7 ? a8 a8 ? a9

的值是 (
13 15



B.1 或

15 17

C

D.1 或

8.若实数 A.3 9. 直线 y

?x ? y ? 0 ? x、y 满足条件 ? x ? y ? 0 ,则 2 x ? 4 y ?y ?1 ?

的最大值是(



B.4
2

C. 6
2

D.8 M、N 两点,若
MN ? 2 3

? kx ? 3 与圆 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3) ? 4 相交于

,则

k 的取值范围为( A ??
? ? 3 4 ,0 ? ? ?

) B ??
? ? 3 3 , 3? ? 3 ?

C ?? ?

3,

3? ?

D ??
?

?

2 3

,0

? ? ?

10.函数
?
2

f ( x ) ? A s in ( ? x ?

?
6

)( ? ? 0 ) 的图像与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差为
A sin ? x 的图像,只需将 f ( x )

的等差数列,要得到函数 g ( x ) ?
?
6

的图像(



A 向左平移 C.向左平移

个单位 个单位

B.向右平移

?
6

个单位
?
12

?
12

D.向右平移

个单位

11 . 函 数

f ( x ) ? 1? l o ag x a ? (

0a ? ,
1 m ?

1 的) 图 像 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线
1 n

m x ? ny ? 2 ? 0

上,其中 mn>0,则 B.2

的最小值为(

) D.4
x ? 2 时,f ( x ) ? x ? x
3

A.1 12.已知
f ( x)

C.3

是 R 上最小正周期为 2 的周期函数, 且当 0 ?



-2-

则函数 y A.6

? f (x)

在区间 ? 0, 6 ? 上的图像与 x 轴的交点个数为( B.7 C.8 第Ⅱ卷(非选择题 D.9 共 90 分)



二 填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线 上) 13.如图所示是一个几何体的三视图(单位:cm),主视图和左视图是底边长 为 4cm,腰长为 2
2

的等腰三角形,俯视图是边长为 4 的正方形,则这个几何体

的表面积是__________

主视图

左视图

俯视图

14. 设数列 ? a n ? 的前 n 项和为 s n , 已知数列 ? s n ? 是首项和公比都为 3 的等比数列, 则数列 ? a n ? 的通项公式为 a n =_____________________
b 15.已知向量 a、 满足 a ? b ? ?

?

?

? ? ? (0,1), a ? b ? ( ? 1, 2 )

,则 a ? b

? ?

?

___________
? c ? b ) tan B ?
2 2

16.△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 ( a 2 则 角 B 的值为____________

3ac



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知圆 M 过两点 C(1,-1)、D(-1,1)且圆心 M 在直线 x+y-2=0 上。 (1)、求圆 M 的方程 (2)、设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆 M 的两条切线,A、B 为切点,求四边形 PAMB 的面积的最小值。

-3-

18.(本小题满分 12 分) 已知
f ( x ) ? 2 s in ? x ? 2 3 s in ? x s in (
2

?
2

? ? x )( ? ? 0 ) 最小正周期为 ?

(1).求函数 (2).求函数

f (x)

的单调递增区间及对称中心坐标 在区间 ? 0 ,
? ? 2? ? 3 ? ?

f (x)

上的取值范围。

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ? a n ? 的前 n 项和为 s n ,满足 s n (1)求数列 ? a n ? 的通项公式 (2)设 b n
? ( 2 n ? 1)( a n ? 1) ,求数列 ? b n ? 的前 ? 2an ? n

n 项和 T n 。

20.(本小题满分 12 分) 在四棱柱
P ? A B C D中 , 底 面 A B C D是 直 角 梯 形 , AB ∥ CD , ∠ ABC= 9 0
0



AB=PB=PC=BC=2CD=2,平面 PBC⊥平面 ABCD (1)求证:AB⊥平面 PBC (2)求三棱锥 C-ADP 的体积 (3)在棱 PB 上是否存在点 M 使 CM∥平面 PAD? 若存在,求
PM PB

P

的值。若不存在,请说明理由。

C

D

B

A

21. (本小题满分 12 分) 若 a、b、c 是△ABC 三个内角 A、B、C 所对边,且 a sin (1)求
b a

A sin B ? b co s A ?
2

3a

-4-

(2)当 c o s C

?

3 3

时,求 co s( B ?

A)

的值

22.(本小题满分 12 分) 已知函数
f ( x ) ? m x ? 3( m ? 1) x ? (3 m ? 6 ) x ? 1 其中 m ? 0
3 2

(1)、若

f ( x)

的单调增区间是(0.1),求 m 的值
? f (x)

(2)、当 x ? ? ? 1,1 ? 时,函数 y 3m,求 m 的取值范围.

的图像上任意一点的切线斜率恒大于

-5-

高三期中考试数学试题答案(文科)

一、选择题 1.B 2.C 3.D 二、填空题 13. 16+16 2 4.D 5.C 6.C 7.B 8.D 9.B 10.D 11. B 12.B

14 15. 16.

a n ? { 2 ? 3 n ?1 ( n ? 2 )
?1

3 ( n ?1 )

?
3



2? 3

三、解答题 17.解:设圆 M 的方程为 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r
2 2 2

依题意 (1 ? a ) ? ( ? 1 ? b ) ? r
2 2

2

( ? 1 ? a ) ? (1 ? b ) ? r
2 2

2

a?b?2?0

(3 分) (4 分)
2 2

解得: a ? 1, b ? 1, r ? 2 所以圆 M 的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 (2)因为 PA 为圆的切线,所以 PA⊥AM S 四边形 PAMB=2S△APM= 2 ?
1 2 AM ? AP ? AM ? AP ? 2 PM
2

(5 分)

?4

(7 分) (9 分) (10 分)

当 PM 垂直于直线 3 x ? 4 y ? 8 ? 0 时, P M 所以四边形 PAMBR 的面积的最小值为 2 5

m in

?3

18.解:(1) f ( x ) ? 2 sin ? x ? 2 3 sin ? x sin (
2

?
2

? ? x ) = 1 ? co s 2 ? x ?

3 sin 2 ? x

= 2 s in ( 2 ? x ? ∵T=
2? ??

?
6

)?1

(2 分) (4 分)

?

∴? ? 1

-6-

∴ f ( x ) ? 2 s in ( 2 x ? 令?
?

?
6

) ?1
?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?
2

? 2k? (k ? Z )

?
6

? k? ? x ?

?
3

? k? (k ? Z )
? ?

∴ f ( x ) 的单调递增区间为 ? ? 令2x ?
?
6
f ( x ) 的对称中心坐标为 (

?
6

? k? ,

?
3

? k?

? (k ? Z ) ? ?

( 6 分)

? k ? ( k ? Z ) ,则 x ?

?
12

?

k 2

? (k ? Z )

?
12

?

k 2

? ,1)( k ? Z )

(8 分)

(2)∵ 0 ? x ?
? 1 2

2? 3

∴?
?
6

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? 6

? s in ( 2 x ?

)?1

(10 分)

0 ? f ( x) ? 3

∴ f ( x) 在 ?0,
?

?

2? ? 的取值范围是 ? 0, 3 ? 3 ? ?

(12 分)

19. 解:(1)∵ s n ? 2 a n ? n

当 n=1 时 a 1 当n
? 2

? s1 ? 2 a 1 ? 1 sn ? 2 a n ? n

, ,

∴ a1 ? 1
s n ?1 ? 2 a n ?1 ? n ? 1

(1 分)



? a n ? 2 a n ?1 ? 1 a n ? 1 ? 2 ( a n ? 1 ? 1) ? a1 ? 1 ? 2 ? 0
an ? 1 a n ?1 ? 1

(3 分)

∴ a n ?1 ? 1 ? 0



? 2

∴ ? a n ? 1? 是以首项为 2,公比为 2 的等比数列
an ? 1 ? 2 ? 2
n ?1

(5 分) (6 分) (7 分)

? 2
n

n

∴ an ? 2 ? 1
n

(2) b n ? ( 2 n ? 1) ? 2
2

T n ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? ? ? ( 2 n ? 1) ? 2
3

n ?1

? ( 2 n ? 1) 2

n

-7-

2 Tn ?

3 ? 2 ? 5 2? ?
2 3 2 3 4

?7

4

????? ? 2
n

n (?2 ? 1 ? 2 n ? ( 2 )
n n ?1

n?

1

1(8 分) )2

? T n ? 6 ? 2 ( ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? ( 2 n ? 1) 2
4 (1 ? 2
n ?1

(9 分)

? Tn ? 6 ? 2 ?

)

1? 2

? ( 2 n ? 1) 2

n ?1

(10 分)

n ? Tn ? ? 2 ? ( ? 2

?1)? 2
n ?1

n ?1

∴ T n ? 2 ? ( 2 n ? 1) ? 2

(12 )

20.解:(1)证明:因为∠ABC= 9 0 ,所以 AB⊥BC。

0

(1 分)

因为平面 PBC⊥平面 ABCD,平面 PBC∩平面 ABCD=BC AB ? 平面 ABCD,所以 AB⊥平面 PBC (4 分) (2)取 BC 的中点 O,连接 PO 因为 PB=PC,所以 PO⊥BC 因为平面 PBC⊥平面 ABCD 平面 PBC∩平面 ABCD=BC,PO ? 平面 PBC 所以 PO⊥平面 ABCD (5 分) 在等边△PBC 中 PO= 3
S ? ACD ? 1 2
1 3 S ? ACD ? P O ? 1 3 ?1 ? 3 ? 3 3

?1 ? 2 ? 1

P

V P ? ADP ? V P ? ACD ?

(8 分)

C O

D

(3)在棱 PB 上存在点 M 使得 CM∥平面 PAD,此时 证明:取 AB 的中点 N,连接 CM,CN,MN 则 MN∥PA,AN=
1 2 AB

PM PB

?

1 2
P

B

A

因为 AB =2CD 所以 AN=CD 因为 AB ∥CD 所以四边形 ANCD 是平行四边形。 所以 CN∥AD 因为 MN∩CN=N,PA∩AD=A 所以平面 MNC∥平面 PAD 因为 C N ? 平面 MNC 所以 CM∥平面 PAD 21.由正弦定理得 sin A sin B ? sin B co s A ?
2 2

M C D

B

A

(10 分)

N

( 12 分)
3 sin A

(2 分)

-8-

即 sin B (sin A ? co s A ) ?
2 2

3 sin A
? 3
2 2

故 sin B ?

3 sin A ,∴
3 3

b a

(6 分)

(2)由余弦定理

?

a ? 3a ? c
2

2 3a
0

2

,得 c ?

2a

(8 分)

b ? a ?c
2 2

2

∴B= 9 0

(10 分)
3 3

∴ c o s( B ? A ) ? sin A ? c o s C ?

(12 分)

22.解: f ( x ) ? m x ? 3( m ? 1) x ? (3 m ? 6 ) x ? 1( m ? 0 )
3 2 2 f ? ( x ) ? 3 m x ? 6 ( m ? 1) x ? (3 m ? 6 )( m ? 0 )

(1 分)

因为 则

f (x)

的增区间是(0,1) 的解集为(0,1) (3 分) (4 分)

2 f ? ( x ) ? 3 m x ? 6 ( m ? 1) x ? (3 m ? 6 ) ? 0

所以

f ? (0 ) ? 3 m ? 6 ? 0, f ?(1) ? 3 m ? 6 ( m ? 1) ? 3 m ? 6 ? 0

解得 m=-2 (2)、设 M
( x 0 , y 0 ) 为 y ? f ( x )( ? 1 ? x ? 1) 图像上任意一点
2 f ? ( x ) ? 3 m x 0 ? 6 ( m ? 1) x 0 ? (3 m ? 6 ) ? 3 m

切线斜率 K= 即 3m x0 2

? 6 ( m ? 1) x 0 ? 6 ? 0

在 x 0 ? ? ? 1,1 ? 上恒成立 ,则 ( g ( x 0 )) m in
? 1? 1 m ?1

令 g ( x0 ) ? 3m x0 2
2

? 6 ( m ? 1) x 0 ? 6 ( x ? ? ? 1,1 ? , m ? 0 )

? 0

(6 分)

g ( x 0 ) ? 3 m x 0 ? 6 ( m ? 1) x 0 ? 6 的对称轴为 x 0 ?

m ?1 m

ⅰ当 1 ?

1 m

? 0

即 ?1 ?

m ? 0

时 (8 分)

( g ( x 0 )) m in ? g (1) ? ? 3 m ? 0 ? ? 1 ? m ? 0

ⅱ当 0

?1?

1 m

? 1 即 m ? ?1 时

( g ( x 0 )) m in ? g ( ? 1) ? 9 m ? 1 2 ? 0

此时无解。 综上所述: m 的取值范围(-1,0)

(10 分) (12 分)

-9-


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