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函数的单调性问题教师版


高频考点

函数的单调性

知识点 5:函数单调性的定义及应用: 定义:在函数 y ? f ?x ? 的定义域 A 的某一区间 I 内任取 x1 , x 2 ? I ,且 x1 ? x 2 . 1 ○ x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则称 y ? f ?x ? 在区间 I 上为增函数; 2 ○ x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则称 y ? f ?x ? 在区间 I 上为减函数. 说明: (1)函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质; (2)函数的单调性是对某个区间而言的,在某一点上不存在单调性且单调区间不可写并集; (3)函数单调性的定义中,有两层意思: ①对于任意的 x1 , x2 ? M ,若 x1 ? x2 ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称 f ( x) 在 M 上是增函数; ②若 f ( x) 在 M 上是增函数,则当 x1 ? x2 时,就有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立. (4)图象特征:图象是上升趋势的为增函数;图象是下降趋势的为减函数. 1.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的增函数,则 f(x)=0 的根 ( C ) A.有且只有一个 B.有 2 个? C.至多有一个 D.以上均不对 2.已知函数 f(x)在区间[a,b]上单调,且 f(a) ·f(b)<0,则方程 f(x)=0 在区间[a,b] ) (D A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根? D.必有惟一的实根 题型 1:证明函数的单调性:步骤:一设,二作差,三变形判断符号,四结论 变形常用的手段有:通分,提取公因式、配方法、有理化、因式分解。

x +2 在 (-1, ??) 上是减函数。 x +1 x2 ? x1 x +2 x2 +2 ? ? 解:在 (-1, ??) 上任取 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 x1 +1 x2 +1 (x2 +1)(x1 +1) 因为 x2 ? x1 ? ?1 ,所以 x2 ? x1 ? 0, x2 +1>0,x1 +1 ? 0 。 x2 ? x1 x +2 ? >0 , 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ; f ( x2 )>f ( x1 ) , 故 f ( x) ? 即 在区间 (-1,+?) 上为减函数。 (x2 +1)(x1 +1) x +1
1.利用单调性的定义证明函数 f ( x) ? 练.证明函数 f ( x) ? x ? 2 在 R 上的单调递增。 题型 2.函数单调性的判定,有一些规律
3

〈1〉若 y ? f ?x ? ? , y ? g ?x ? ? ,则 y ? f ?x ? ? g ?x ? ? .(若 f (x) 单增, g (x) 单减,则 f ( x) ? g ( x) 单增) 〈2〉若 y ? f ?x ? ? , y ? g ?x ? ? ,则 y ? f ?x ? ? g ?x ? ? . 〈3〉若 f ? x ? 是增函数,那么 〈4〉若 f ? x ? 是减函数,那么

f ?x ? 是增函数, ? f ?x ?,

1 ( f ( x) ? 0或 ? 0 部分)是减函数。 f ?x ? 1 f ?x ? 是减函数, ? f ?x ?, ( f ( x) ? 0或 ? 0 部分)是增函数。 f ?x ?

1.设 f ( x) 是定义在 A 上的减函数,且 f ( x) ? 0 ,则下列函数① y ? 3 ? 2 f ( x) ;②

2 1 1 ;③ y ? ,其中为增函数的个数是( ) ? f ( x) ;④ y ? f ( x) ? f ( x) f ( x) f ( x) (A) 1 (B) 4 (C) 2 (D) 3 1 1 解:? f ( x) 是定义在 A 上的减函数,且 f ( x) ? 0 , ? y ? ? f ( x) 、 y ? 为增函数, y ? ? 为 f ( x) f ( x) 1 2 减函数, ? y ? 3 ? 2 f ( x) 、 y ? 1 ? 、y? ? f ( x) 为增函数,故选 D。 f ( x) f ( x) ax 2.讨论函数 f ?x ? ? , (a ? 0) 在区间(-1,1)内的单调性. 1? x2 ax1 ax2 a ( x1 ? x 2 )(1 ? x1 x 2 ) y ? 1?
解:设-1<x1<x2<1,则 f(x1)-f(x2)=

1 ? x1

2

-

1 ? x2

2



2 (1 ? x12 )(1 ? x 2 )
2 2

∵x1,x2∈(-1,1),且 x1<x2,∴x1-x2<0,1+x1x2>0,(1-x 1)(1-x 2)>0
1

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函数的单调性

于是,当 a>0 时,f(x1)<f(x2);当 a<0 时,f(x1)>f(x2). 故当 a>0 时,函数在(-1,1)上是增函数;当 a<0 时,函数在(-1,1)上为减函数. 题型 3:求单调区间:利用图象求函数的单调性 1.常见函数的单调性 (1)一次函数: y ? kx ? b(k ? 0) , k ? 0 ,一次函数在 R 上单调递增, k ? 0 ,一次函数在 R 上单调递减. (2)二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,二次函数的单调性决定于开口方向和对称轴,
2

(3)反比例函数 y ?

k (k ? 0) ,若 k ? 0 ,则函数在区间 (??,0) 和 (0,??) 都是单调递减, x

若 k ? 0 ,则函数在区间 (??,0) 和 (0,??) 都是单调递增,(注意不能说在定义域内单调递增). 1.函数 y=

1 的单调区间为____(-∞,-1)(-1,+∞) , x+1
2

2.函数 y==x -6x+10 在区间(2,4)上是( C ) A.递减函数 B.递增函数 C.先递减再递增 3.函数 f ( x) ? x (1 ? x) 在区间 A 上是增函数,则区间 A 是 (A) [0, ??) (B) (??, 0]
2

D.选递增再递减. ( )
y

(C) [0, ]

1 2

(D) ( , ??)

1 2

4.函数 f(x)=2x -3|x|的单调减区间是____[0, 练:函数 f(x)=|2x -3x|的单调减区间是____ 练: f ( x) ? 2 x ? 1 ? 3 x ? 2 的单调区间。 5.求函数 f ( x) ?
2

3 3 ](-∞,- ) , 4 4

1
O
1 2

x

? x 2 ? 16 的单调区间。
? x 2 ? 16 可看成 y ? u (u ? 0), u ? ? x 2 ? 16 复

2 2 ? 解:令 ? x ? 16 ? 0 ,即 x ? 16 ,??4 ? x ? 4 , y ?

2 2 合而成,x ? [?4, 0] 时,u ? ? x ? 16 单调递增; x ? [0, 4] 时, ? ? x ? 16 单调递减; y ? u (u ? 0) 当 又 u

为增函数,? y ? ? x ? 16 在 [?4,0] 上单调递增,在 [0, 4] 上单调递减。 题型 4:已知单调区间求参数
2

1.函数 f(x)=4x -mx+5 在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函数,则 f(1)等于 A.-7 B.1 C.17 D.25 2 2.函数 f(x)=-x +2( a -1)x+2 在(-∞,4)上是增函数,则 a 的范围是( A ) A.a≥5 B.a≥3 C.a≤3 D.a≤-5 2 解:本题作出函数 f(x)=-x +2(a-1)x+2 的图象,可知此函数图象的对称轴是 x=a-1,由图 2 象可知,当 a-1≥4,即当 a≥5 时,函数 f(x)=-x +2(a-1)x+2 在(-∞,4)上是增函数. 3. f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 [?1,4] 上单调,则 a 的取值范围是( ). 4.若函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的单调递增区间是 [3,??) ,则 a =__-6______。
2

2

5.已知函数 f (x) 为定义在区间 [?1,3] 的增函数,且满足: f (2 x ? 1) ? f ( x ? 1) ,则 x 的范围是( A. (??,2) B. (2,??) C. (0,2) D. [0,2)

).

?2 x ? 1 ? x ? 1 ?x ? 2 ? ? 解 由题意,则可得不等式组: ?? 1 ? 2 x ? 1 ? 3 ,解得: ?0 ? x ? 2 ,即 0 ? x ? 2 ,所以正确选项为 D. ?? 1 ? x ? 1 ? 3 ?? 2 ? x ? 2 ? ?
练.已知 y ? f ?x ? 是定义在 (-2, 上的增函数, f ?m ? 1? ? f ?1 ? 2m? , m 的取值范围是 2) 若 则 题型 5:抽象函数的单调性 1.函数 f ? x ? 对任意的 a , b ? R ,都有 f ?a ? b? ? f ?a ? ? f ?b? ? 1 ,并且当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 .
2

(- , )

1 2 2 3

.

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(2)若 f ?4? ? 5 ,解不等式 f 3m ? m ? 2 ? 3
2

(1)求证:函数 f ? x ? 是 R 上的增函数;

函数的单调性

练 . 函 数 f ? x ? 对 任 意 的 a , b ? R , 都 有 f ? a ? b ? f? a ? ? ?b, 并 且 当 x ? 0 时 , f ? x ? ? 0 . 且 有 ? ? f

?

?

f ?1? ? ?2 .试求函数 f ? x ? 在区间 ? ?3, 4? 上的最大值.
?

2.设函数 f ? x ? 的定义域为 R ,且满足条件 f ?4? ? 1 ,对于任意 x1 , x2 ? R ,有 f ?x1 .x2 ? ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,当
?

x1 ? x2 时,有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? .

(1)求 f ?1? 的值;

(2)如果 f ?3x ? 1? ? f ?2 x ? 6? ? 3 ,求 x 的取值范围.

练.若函数 f ? x ? 是定义在 ?0,??? 上的增函数,且对一切 a ,b ? ?0,??? ,都有 f ?

?a? ? ? f ?a ? ? f ?b ? .(1)求 ?b?

?1? (2)若 f ?4? ? 1, 解不等式 f ? x ? 6 ? ? f ? ? ? 2 f ?1? 的值; ? x?

3


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