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山东省济宁市高三数学一轮复习 专项训练 指数函数、对数函数(含解析)


指数函数、对数函数
2 -1 1.(12 分)已知函数 f(x)= x . 2 +1 (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)求证 f(x)在 R 上为增函数.
x 2 ? 2 -1 2 ? (1)解 因为函数 f(x)的定义域为 R, 且 f(x)= x =1- x , 所以 f(-x)+f(x)=?1- -x ? 2 +1 2 +1 ? 2 +1? x<

br />
2 ? 2 ? 2·2 ? 2?2 +1? ? ? 2 ? 2 +?1- x ?=2-? x + -x ?=2-? x + x ?=2- =2-2=0,即 f(-x) x 2 +1 ? 2 +1? ?2 +1 2 +1? ?2 +1 2 +1? =-f(x),所以 f(x)是奇函数 . (2)证明 设 x1,x2∈R,且 x1<x2,有

x

x

f(x1)-f(x2)=

2x1-1 2x2-1 2?2x1-2x2? - = , 2x1+1 2x2+1 ?2x1+1??2x2+1?

∵x1<x2,2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0, ∴f(x1)<f(x2),∴函数 f(x)在 R 上是增函数. -2 +b 2.(13 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)解关于 t 的不等式 f(t -2t)+f(2t -1)<0. -1+b -2 +1 解 (1)因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0,即 =0,解得 b=1,所以 f(x)= x+1 .又 2+ a 2 +a 1 - +1 2 -2+1 由 f(1)=-f(-1)知 =- .解得 a=2. 4+a 1+a -2 +1 1 1 (2)由(1)知 f(x)= x+1 =- + x . 2 +2 2 2 +1 由上式易知 f(x)在(-∞, +∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数 f(x)在 R 上是减函 数). 又因为 f(x)是奇函数, 所以不等式 f(t -2t)+f(2t -1)<0 等价于 f(t -2t)<-f(2t -1)=f(- 2t +1).因为 f(x)是减函数,由上式推得 t -2t>-2t +1,即 3t -2t-1>0,解不等式可得
? ? 1 ? ?t?t>1或t<- 3 ? ? ? ? ? ?. ? ?
x
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x

x

x

3.已知函数 f(x)=a +logax(a>0 且 a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为 loga 2+6,则 a 的 值为 A. 1 2 B. 1 4 C.2 D.4 ( ).

1

解析 由题意知 f(1)+f(2)=loga2+6,即 a+loga1+ a +loga2=loga2+6,a +a-6=0,解 得 a=2 或 a=-3(舍). 答案 C
?x +2ax,x≥2, ? 4 .已知函数 f(x)=? x ?2 +1,x<2, ?
1 2

2

2

且 f( f(1))>3a ,则 a 的取值范围是________.
2 2 2 2

2

解析 由已知得 f(1)=2 +1=3,故 f(f(1))>3a ?f(3)>3a ?3 +6a>3a .解得-1<a<3. 答案 (-1,3) 1 ?2 ? 5.函数 y=l og (3x-a)的定义域是? ,+∞?,则 a=________. 2 ?3 ?

a 1 a 2 ?a ? 解析 由 3x-a>0 得 x> .因此,函数 y=log (3x-a)的定义域是? ,+∞?,所以 = ,a=2. 3 3 2 3 3 ? ?
答案 2 6.已知 a=2 ,b=0.4 ,c=0.4 ,则 A.a>b>c C.c>a>b B.a>c>b D.b>c>a
0.2 0.6 0.2 0.2 0.2 0.6

(

).

解析 由 0.2<0.6,0.4<1, 并结合指数函数的图象可知 0.4 >0.4 ,即 b>c;因为 a=2 >1,b = 0.4 <1,所以 a>b.综上,a>b>c. 答案 A
?1-x,x≤0, ? 7.已知函数 f(x) =? x ? ?a ,x>0,
0.2

若 f(1)=f(-1),则实数 a 的值等于 ( ).

A.1

B.2

C.3

D.4

解析 根据题意,由 f(1)=f(-1)可得 a=1-(-1)=2,故选 B. 答案 B 8.在同一坐标系中画出函数 y=logax,y=a ,y=x+a 的图象,可能正确的是 ( ).
x

解析 当 a>1 时,三个函数 y=logax,y=a ,y=x+a 均为增函数,则排除 B,C.又由直线 y=x +a 在 y 轴上的截距 a>1 可得仅 D 的图象正确,故应选 D. 答案 D 9.函数 y= log0.5?4x-3?的定义域是________.
2

x

3 解析 由 log0.5(4x-3)≥0,得 0<4x-3≤1, <x≤1.因此,函数 y= log0.5?4x-3?的定义域 4

?3 ? 是? ,1?. ?4 ? ?3 ? 答案 ? ,1? ?4 ?
10.函数 f(x)=a ( A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 解析 由图象得函数是减函数,∴0<a<1. 又分析得,图象是由 y=a 的图象向左平移所得,∴-
x x-b

的图象如图所示,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是

).

b>0,即 b<0.从而 D 正确.
答案 D
x

11. 已知函数 f(x)=a +b 的图象如图所示,则 g(x)=loga(x+b)的图象是 ( ).

解析 由 f(x)=a +b 的图象知 0<a<1,b>0,则 g(x)=loga(x+b)为减函数,排除 A,B,又函 数 y=loga(x+b)的定义域为(-b,+∞),且-b<0,排 除 C. 答案 D
?10 ?x≤0?, ? 12.设 g(x)=? ?lg x?x>0?, ?
x

x

? ?1?? 则 g?g? ??=________. ? ?2??

1 ?1? 解析 由题可知 g? ?=lg <0, 2 ?2? 1 1 1 ? ?1?? 可得 g?g? ??=glg =10lg = . 2 2 2 ? ?2?? 答案 1 2
x

13 .已知函数 f(x)= a (a>0 ,且 a≠1)在区间 [1,2] 上的最大值与最 小值的差为 ,则 a 的值为 2

a

3

________. 解析 当 a>1 时,f(x)=a 在[1,2]上为增函数, 故 f(x)max=a ,f(x)min=a,
2

x

a 3 3 2 由题意知 a -a= ,解得 a=0(舍)或 a= ,故 a= , 2 2 2
当 0<a<1 时,f(x)在[1,2]上为减函数, 故 f(x)max=a,f(x)min=a ,
2

a 1 2 ∴a-a = ,解 a=0(舍)或 a= , 2 2
3 1 综上:a= 或 a= . 2 2

4


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