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【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 压轴大题突破练2 直线与圆锥曲线(二 )理


【步步高】 (全国通用)2016 版高考数学复习 考前三个月 压轴大题 突破练 2 直线与圆锥曲线(二 )理
1.设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e=

x2 y2 a b

3 x y 4 5 ,左顶点 M 到直线 + =1 的距离 d= , 2 a b 5

O 为坐标原点.<

br />(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆经过坐标原点,证明:点 O 到 直线 AB 的距离为定值.

3x 2 3 x y 2.若直线 l:y= - 过双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的一个焦点,且与双曲线的一条 3 3 a b 渐近线平行. (1)求双曲线的方程; (2)若过点 B(0,b)且与 x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点 M,N,MN 的垂直平分 线为 m,求直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围.

2

2

1

3.(2015·郑州市第二次质量检测)已知平面上的动点 R(x,y)及两定点 A(-2,0),B(2,0), 3 直线 RA,RB 的斜率分别为 k1,k2,且 k1k2=- ,设动点 R 的轨迹为曲线 C. 4 (1)求曲线 C 的方程; (2)四边形 MNPQ 的四个顶点均在曲线 C 上,且 MQ∥NP,MQ⊥x 轴,若直线 MN 和直线 QP 交于 点 S(4,0).问:四边形 MNPQ 两条对角线的交点是否为定点?若是,求出定点坐标;若不是, 请说明理由.

2

4.已知抛物线 C:x =2py (p>0)的焦点为 F(0,1),过点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点. 椭圆 E 的中心在原点,焦点在 x 轴上,点 F 是它的一个顶点,且其离心率 e= 3 . 2

2

(1)分别求抛物线 C 和椭圆 E 的方程; (2)经过 A,B 两点分别作抛物线 C 的切线 l1,l2,切线 l1 与 l2 相交于点 M.证明:AB⊥MF; (3)椭圆 E 上是否存在一点 M′, 经过点 M′作抛物线 C 的两条切线 M′A′, M′B′(A′, B′ 为切点),使得直线 A′B′过点 F?若存在,求出抛物线 C 与切线 M′A′,M′B′所围成图 形的面积;若不存在,试说明理由.

3

答案精析 压轴大题突破练 2 1.(1)解 由 e= 3 3 2 2 2 ,得 c= a,又 b =a -c , 2 2

1 所以 b= a,即 a=2b. 2 由左顶点 M(-a,0)到直线 + =1, 4 5 即 bx+ay-ab=0 的距离 d= , 5 |b?-a?-ab| 4 5 2ab 4 5 得 = ,即 2 = , 2 2 2 5 5 a +b a +b 把 a=2b 代入上式,得 4b
2

x y a b

5b



4 5 ,解得 b=1. 5

所以 a=2b=2,c= 3. 所以椭圆 C 的方程为 +y =1. 4 (2)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2), ①当直线 AB 的斜率不存在时,则由椭圆的对称性,可知 x1=x2,y1=-y2. → → 因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点,故OA·OB=0, 即 x1x2+y1y2=0,也就是 x1-y1=0, 又点 A 在椭圆 C 上,所以 +y1=1, 4 2 5 解得|x1|=|y1|= . 5 2 5 此时点 O 到直线 AB 的距离 d1=|x1|= . 5 ②当直线 AB 的斜率存在时, 设直线 AB 的方程为 y=kx+m,
2 2

x2

2

x2 1

2

y=kx+m, ? ? 2 与椭圆方程联立有?x 2 +y =1, ? ?4
消去 y,得(1+4k )x +8kmx+4m -4=0, 8km 4m -4 所以 x1+x2=- 2,x1x2= 2. 1+4k 1+4k 因为以 AB 为直径的圆过坐标原点 O,所以 OA⊥OB.
2 2 2 2

4

→ → 所以OA·OB=x1x2+y1y2=0. 所以(1+k )x1x2+km(x1+x2)+m =0. 4m -4 8k m 2 所以(1+k )· 2- 2+m =0. 1+4k 1+4k
2 2 2 2 2 2

整理得 5m =4(k +1), 所以点 O 到直线 AB 的距离 d1= |m|
2

2

2

2 5 = . 5 k +1

2 5 综上所述,点 O 到直线 AB 的距离为定值 . 5 2.解 (1)由题意,可得 c=2, = 所以 a =3b ,且 a +b =c =4, 解得 a= 3,b=1. 故双曲线的方程为 -y =1. 3 (2)由(1)知 B(0,1),依题意可设过点 B 的直线方程为 y=kx+1 (k≠0),M(x1,y1),N(x2,
2 2 2 2 2

b a

3 , 3

x2

2

y2). y=kx+1, ? ? 2 由?x 2 -y =1, ? 3 ?

得(1-3k )x -6kx-6=0,

2

2

6k 所以 x1+x2= 2, 1-3k 1 2 2 2 2 2 2 2 Δ =36k +24(1-3k )=12(2-3k )>0? 0<k < ,且 1-3k ≠0? k ≠ . 3 3 设 MN 的中点为 Q(x0,y0), 则 x0=

x1+x2
2



3k 1 2,y0=kx0+1= 2, 1-3k 1-3k

3k ? 1 1? 故直线 m 的方程为 y- 2? , 2=- ?x- 1-3k k? 1-3k ? 1 4 即 y=- x+ . k 1-3k2 所以直线 m 在 y 轴上的截距为 1 2 2 2 由 0<k < ,且 k ≠ , 3 3 得 1-3k ∈(-1,0)∪(0,1),
2

4 2, 1-3k

5

4 所以 2∈(-∞,-4)∪(4,+∞). 1-3k 故直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围为(-∞,-4)∪(4,+∞). 3.解 (1)由题意知 x≠±2,且 k1= 则

y y ,k2= , x+2 x- 2

y y 3 · =- , x+2 x-2 4 x2 y2

整理得,曲线 C 的方程为 + =1 (y≠0). 4 3 (2)设 MP 与 x 轴交于 D(t,0), 则直线 MP 的方程为 x=my+t (m≠0), 记 M(x1,y1),P(x2,y2), 由对称性知 Q(x1,-y1),N(x2,-y2),
? ?3x +4y =12, 由? ?x=my+t ?
2 2 2 2

消去 x 得:
2

(3m +4)y +6mty+3t -12=0, 6mt 由根与系数的关系得:y1+y2=- 2 , 3m +4

y1·y2=

3t -12 y1 -y2 , 由 M, N, S 三点共线知 kMS=kNS, 即 = , 所以 y1(my2+t-4)+y2(my1 2 3m +4 x1-4 x2-4

2

+t-4)=0,整理得 2my1y2+(t-4)(y1+y2)=0, 2m?3t -12?-6mt?t-4? 所以 =0, 2 3m +4 即 24m(t-1)=0,t=1,所以直线 MP 过定点 D(1,0),同理可得直线 NQ 也过定点 D(1,0), 即四边形 MNPQ 两条对角线的交点是定点,且定点坐标为(1,0). 4.(1)解 由已知抛物线 C:x =2py (p>0)的焦点为 F(0,1)可得抛物线 C 的方程为 x =4y, 设椭圆 E 的方程为 2+ 2=1 (a>b>0),半焦距为 c.
2 2 2

x2 y2 a b

b=1, ? ?c 3 由已知可得:? = , a 2 ? ?a =b +c ,
2 2 2

解得 a=2,b=1. 所以椭圆 E 的方程为 +y =1. 4 (2)证明 显然直线 l 的斜率存在,否则直线 l 与抛物线 C 只有一个交点,不合题意,故可

x2

2

6

设直线 l 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2) (x1≠x2), 由?
?y=kx+1, ? ?x =4y, ?
2

消去 y 并整理得 x -4kx-4=0,

2

∴x1x2=-4. 1 2 1 ∵抛物线 C 的方程为 y= x ,求导得 y′= x, 4 2 ∴过抛物线 C 上 A、B 两点的切线方程分别是

y-y1= x1(x-x1),y-y2= x2(x-x2),
1 1 2 1 1 2 即 y= x1x- x1,y= x2x- x2, 2 4 2 4 解得两条切线 l1,l2 的交点 M 的坐标为

1 2

1 2

?x1+x2,x1x2?, ? 2 ? 4 ? ?
即 M?

?x1+x2,-1?, ? ? 2 ?

→ → ?x1+x2 ,-2? FM·AB=? ?·(x2-x1,y2-y1) ? 2 ? 1 2 2 ?1 2 1 2? = (x2-x1)-2? x2- x1?=0, 4 ? 2 ?4 ∴AB⊥MF. (3)解 假设存在点 M′满足题意,由(2)知点 M′必在直线 y=-1 上,又直线 y=-1 与椭 圆 E 有唯一交点,故 M′的坐标为 M′(0,-1),设过点 M′且与抛物线 C 相切的切线方程 1 为 y-y0= x0(x-x0),其中点(x0,y0)为切点. 2 1 2 1 令 x=0,y=-1,得-1- x0= x0(0-x0), 4 2 解得 x0=2 或 x0=-2, 故不妨取 A′(-2,1),B′(2,1),即直线 A′B′过点 F. 综上所述,椭圆 E 上存在一点 M′(0,-1),经过点 M′作抛物线 C 的两条切线 M′A′、

M′B′(A′、B′为切点),能使直线 A′B′过点 F.
此时,两切线的方程分别为 y=-x-1 和 y=x-1. 抛物线 C 与切线 M′A′、M′B′所围成图形的面积为
2 2 S=2? 0[ x -(x-1)]dx

1 4

?1 3 1 2 ? 2 4 =2? x - x +x?|0= . 2 3 ?12 ?
7

8


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