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【热点重点难点专题透析】(新课标)2016届高考数学二轮复习 高考数学选择题的解题策略课件 理


第三篇 题 型 专 题

【引言】 数学选择题在高考试卷中,不但题目数量多,而且占总分值 的比例也较高. 在高考数学试题中,选择题基础性强,知识覆盖面广,灵活多 变,有一定的综合性和深度,渗透了各种数学思想和方法,主要考

查对基础知识的理解、基本技能的掌握、基本方法的运用及 基本计算的准确性、考虑问题的严谨性、解题速度的快捷性等. 考生

迅速、准确、全面、 简捷地解好选择题成为得分的关键, 对高考数学成绩影响很大.高考中的数学选择题一般是容易题或 中等难度题,个别题属于较难题,当中的大多数题可用特殊的方 法快速选择.解答选择题的基本策略:要充分利用题设和选项两 方面提供的信息作出判断.一般说来,能定性判断的,就不再使用 复杂的定量计算;能使用特殊值判断的,就不必采用常规解法;能 使用间接法解的,就不必采用直接法解;对于明显可以否定的选 项应及早排除,以缩小选择的范围;对于具有多种解题思路

的,宜选最简解法,等等.解题时应仔细审题、深入分析、正 确推演、谨防疏漏,初选后认真检验,确保准确无误. 解数学选择题的常用方法,主要分直接法和间接法两大类. 直接法是解答选择题最基本、最常用的方法,但高考的题量较大, 如果所有选择题都用直接法解答,不但时间不允许,而且有些题 目根本无法解答.因此,我们还要掌握一些特殊的解答选择题的 方法,如筛选法(也叫排除法、淘汰法)、特例法、图解法(数形结 合)等.

【题型示例】 方法一:直接法 所谓直接法,就是直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、 定理、法则和公式等知识,通过严密的推理和准确的运算,从而得 出正确的结论,然后对照题目所给出的选项“对号入座”,作出相 应的选择.涉及概念、性质的辨析或较简单题目的运算常用直接 法. 例1
+i 若复数 -1(a 3+4i 4

为实数,i 为虚数单位)是纯虚数,则 D.7

a=(

). A.-3
4

B.3

C.-7

【解析】 -1= 3+4i
3 -21 意得 =0 25

+i

( +i )(3-4i ) 3 +4-(4 -3)i 3 -21 4 -3 1 = 1 = - 25 i,依题 25 25 25

4 -3 且 ≠0,解得 25

a=7.

【答案】D

例 2 在(1+x)6(1+y)4 的展开式中,记 xmyn 项的系数为 f(m,n), 则 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( ). A.45 B.60 C.120 D.210

【解析】∵ 3 0 2 1 1 2 f(3,0)=C6 C4 =20;f(2,1)=C6 C4 =60;f(1,2)=C6 C4 =36;f(0,3)= 0 3 C6 C4 =4. ∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120. 【答案】C

例 3 为得到函数 y=sin(x+ )的图象,可将函数 y=sin x 的图 象向左平移 m 个单位长度或向右平移 n 个单位长度(m,n 均为正 数),则|m-n|的最小值为( ). A.
π 3

π 6

B.

2π 3

C.π

D.2π

【解析】 由题意可得 m= 6 +2k1π(k1∈Z),n=
5π 所以|m-n|=|- 3 +2(k1-k2)π|,故当 π 为 . 3

π

11 π +2k2π(k∈Z), 6

k1-k2=1 时,|m-n|取得最小值

【答案】A

例 4 有一个 7 人学习兴趣小组,从中选取 4 人发言,要求其中 组长和副组长至少有一人参加,若组长和副组长同时参加,他们 发言的顺序不能相邻,则不同的发言顺序有( ). A.720 种 B.600 种 C.360 种 D.300 种

【解析】根据题意可把事件分为两类,第一类,组长和副组长 1 3 4 只有一人参加,有C2 C5 A4 种方法;第二类,组长和副组长同时参加, 2 2 2 2 1 3 4 2 2 2 2 有C2 C5 A2 A3 种方法,所以共有C2 C5 A4 +C2 C5 A2 A3 =600 种方法. 【答案】B

例 5 下图是一个算法流程图,最后输出 x 的值是(

).

A.-20

B.-18

C.-10 D.-8

【解析】S=0,x=2,S=2,x=-1;…;S=-10,x=-10;S=-20,满足条 件,结束循环,输出 x=-10. 【答案】C

例 6 已知 sin(α+ 6 )-cos α=3,则 2sin αcos(α
π + 6 )=( 5 A.18

π

1

).
5 B. 18 7 C.9 7 D. 9

【解析】由题知,2sin αcos(α+ 6 )=2sin α( 2 cos α
1-cos 2 π 1 = sin (2α+ )- .因为 sin(α 2 6 2 π 3 1 3 1 + 6 )-cos α= 2 sin α+2cos α-cos α= 2 sin α-2cos α π 1 π π π π =sin(α- 6 )=3,又 sin(2α+ 6 )=cos[ 2 -(2α+ 6 )]=cos( 3 -2 π 2 7 π 7 1 5 α)=1-2sin2(α- 6 )=1-9=9,所以 2sin αcos(α+ 6 )=9-2=18 .

π

3

-2sin α)= 2 sin 2α-

1

3

【答案】B

例7

如图,已知双曲线

2 2 C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的右顶点为

A,O

为坐标原点,以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于 P、Q 两 点.若∠PAQ=60°且=3,则双曲线 C 的离心率为( ).

2 3 A. 3

7 B. 2

C.

39 6

D. 3

【解析】取 PQ 的中点 D,连接 AD,则 AD⊥PQ,设 AD=x,因为∠

PAQ=60°,AP=AQ,所以∠PQA=60°,tan 60°= ,所以 DQ= 3 x.又
=3,所以 OP=PD=DQ,所以
2 2 3 =e 1 = ,解得 2 4 2 3 3 OD= 3 x,tan∠DOA=2 3 = = 2 ,所以 x
3



3

e2=4,即 e= 2 .

7

7

【答案】B

例 8 已知函数 f(x)=ln + ,g(x)=ex-2,?n∈(0,+∞),?m∈R,使 得 f(n)=g(m)成立,则 n-m 的最小值为( ). A.-ln 2 B.ln 2 C.2 e-3 D.e2-3

1 2 2

【解析】令 f(n)=g(m)=t,所以 ln + =t,e =t,即

1 2 2 1 2

m-2

n=2e

-

1 2

,m=ln t+2,且 t>0,所以 n-m=2e
1 2

-ln t-2=h(t).因为
1

h'(t)=2e

1 1 t=2时,n-m=2e 2 -ln

- ,当 0<t<2时,h'(t)<0;当 t>2时,h'(t)>0,所以当 t-2 取得最小值为 ln 2.

1

1

【答案】B

【点评】直接法是解答选择题最常用的基本方法,直接法适 用的范围很广,只要运算正确必能得出正确的答案.提高直接法 解选择题的能力,准确地把握题目的“个性”,用简便方法巧解选 择题,是建立在扎实掌握“三基”的基础上,否则一味求快只会快 中出错. 方法二:特例法 用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普通条件,得出特 殊结论,对各个选项进行检验,从而作出正确的判断.常用的特例 有特殊数值、特殊角、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊位 置等.这种方法实际上是一种“小题小做”的解题策略,对解答某 些选择题往往十分奏效.

(

(1)特殊值 例 9 (2015 年浙江卷)存在函数 f(x)满足,对任意 x∈R 都有 ). A.f(sin 2x)=sin x B.f(sin 2x)=x2+x 2 2 C.f(x +1)=|x+1| D.f(x +2x)=|x+1|

【解析】取 x=0,可知 f(sin 0)=sin 0,即 f(0)=0,再取 x= , 可知 f(sin π)=sin ,即 f(0)=1,矛盾,∴A 错误;同理可知 B 错 误;取 x=1,可知 f(2)=2,再取 x=-1,可知 f(2)=0,矛盾,∴C 错误; 2 令 t=|x+1|(t≥0),则 f(t -1)=t(t≥0)?f(x)= + 1,符合题意, 故选 D. 【答案】D
π 2

π 2

例 10 已知函数 y=f(x)的定义域为{x|x≠0},满足 f(x)+f(-x)=0,当 x>0 时,f(x)=ln x-x+1,则函数 y=f(x)的大致图 象是( ).

【解析】因为函数 y=f(x)的定义域为{x|x≠0},满足 f(x)+f(-x)=0,所以函数 y=f(x)是奇函数,排除 C、D. 又因为当 x>0 时,f(x)=ln x-x+1,所以当 x=e 时,f(e)=1-e+1<0,故选 A. 【答案】A

(2)特殊函数 例 11 (2015 年新课标全国Ⅱ卷)设函数 f'(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时,xf'(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( ). A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)

【解析】(法一)记函数

( ) g(x)= ,则

'( )- ( ) g'(x)= ,因为 2

当 x>0 时,xf'(x)-f(x)<0,故当 x>0 时,g(x)<0,所以 g(x)在(0,+ ∞)单调递减.又因为函数 f(x)(x∈R)是奇函数,故函数 g(x)是偶 函数,所以 g(x)在(-∞,0)单调递增,且 g(-1)=g(1)=0.当 0<x<1 时,g(x)>0,则 f(x)>0;当 x<-1 时,g(x)<0,则 f(x)>0,综上所述, 使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1),故选 A. 1-, > 0, (法二)根据题意可令 f(x)= 0, = 0, 则 f(x)>0 成立的 x -1-, < 0, 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1). 【答案】A

(3)特殊数列 例 12 在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则数列{an}的前 11 项 和 S11=( ). A.58 B.88 C.143 D.176

【解析】(法一)S11=

11 ( 1 + 11 ) 11 ( 4 + 8 ) = =88. 2 2

(法二)采用特值法取 a4=a8=8,则 为每一项都等于 8 的常 数列,则 S11=11×8=88. 【答案】B

(4)特殊位置 - ≤ 10, 例 13 设变量 x,y 满足约束条件 0 ≤ + ≤ 20,则 2x+3y 的 0 ≤ ≤ 15, 最大值为( ). A.25 B.35 C.45 D.55

【解析】(法一)令 z=2x+3y,则 y=- x+ z,直线的斜率 k=- , - ≤ 10, 不等式组 0 ≤ + ≤ 20,表示的区域如图阴影部分,因为 0 ≤ ≤ 15

2 3

1 3

2 3

k=-3<k1=-1,所以在点 A(5,15)处取得最值,代入 z=2x+3y,得
2x+3y 的最大值为 55.

2

(法二)令 z=2x+3y,则 y=-3x+3z,由直线的几何意义知3z 为直 线的截距,则在上面端点处取得最值,解出两个端点坐标分别为 A(5,15),B(-15,15),分别代入 z=2x+3y,可知在点 A 处 2x+3y 取得 最大值为 55. 【答案】D

2

1

1

(5)特殊方程 2 例 14 已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 恰好是双曲线
2 2 - =1(a>0,b>0)的一个焦点,两条曲线的交点的连线过点 2 2

F,则

双曲线的离心率为( A. 2 B. 3

). C. 2+1

D. 3+1

【解析】不妨设抛物线 y2=2px(p>0)为 y2=4x,则由题意可得
2 1- 2 双曲线的半焦距 c=1, =2,即 =2,解得 去),所以双曲线的离心率 e= = 2+1.

a= 2-1 或 a=- 2-1(舍

【答案】C

(6)特殊图形 例 15 如图,网格纸上小正方形边长为 1,粗线是一个棱锥的 三视图,则此棱锥

的体积为(

).
4

A.3

8

B.3

C.4 3

D.2 3

【解析】由题中的三视图可在正方体中构造

此棱锥 P-ABCD 的直观图如图所示, 其底面 ABCD 为一个底边长为 2 2和 2 的矩形,面积 S=4 2, 高是点 P 到底面 ABCD 的距离,即 h= 2,故此棱锥的体积 【答案】A
【点评】正确的选择对象,在题设条件都成立的情况下,用特 殊方法(取得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷地得到正确 的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,这是解答本 类选择题的最佳策略.
1 8 V=3Sh=3.

方法三:图解法(数形结合) 图解法就是利用函数图象或数学结果的几何意义,将数的问 题(如解方程、解不等式、求最值、求取值范围等)与某些图形 结合起来,利用几何直观性,再辅以简单计算,确定正确答案的方 法.这种解法贯穿数形结合思想,每年高考均有很多选择题(也有 填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决,既简捷又迅速. 例 16 已知单位向量 a,b,若 a·b=0,且|c-a|+|c-2b|= 5, 则|c+2a|的取值范围是( ). A.[1,3] B.[2 3,3] C.[
6 5 ,2 5

2]

D.[

6 5 ,3] 5

【解析】因为 a·b=0,且|c-a|+|c-2b|= 5,设单位向量 a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y), 所以 c-a=(x-1,y),c-2b=(x,y-2), 所以 (-1) + 2 + 2 + (y-2) = 5.
2 2

即(x,y)到 A(1,0)和 B(0,2)的距离之和为 5,即表示(1,0) 和(0,2)之间线段上的点,如图, 又|c+2a|= ( + 2) + 2 表示点(-2,0)到线段 AB 上点的距 离,最小值是点(-2,0)到直线 2x+y-2=0 的距离, 所以|c+2a|的最小值为= 5= 的距离为 3, 所以|c+2a|的取值范围是[ 【答案】D
6 5 ,3]. 5 6 6 5 ,最大值是点(-2,0)到点(1,0) 5 2

例 17 已知函数 f(x)=x +bx +cx+d(b,c,d 为常数), 当 x∈ (0,1)时,f(x)取得极大值,当 x∈(1,2)时,f(x)取得极小值,则 (b+2) +(c-3) 的取值范围是(
37 ,5) 2 37 C.( ,25) 4 1
2 2

3

2

).

A.(

B.( 5,5) D.(5,25)

【解析】∵f(x)=x +bx +cx+d,∴f'(x)=3x +2bx+c. ∵函数 f(x)在 x∈(0,1)时取得极大值,在 x∈(1,2)时取得极 小值, ∴f'(x)=3x2+2bx+c=0 在(0,1)和(1,2)内各有一个根, > 0, ∴f'(0)>0,f'(1)<0,f'(2)>0,即 3 + 2 + < 0, 12 + 4 + > 0.

3

2

2

如图,在直角坐标系中画出其表示的区域,

1 2 ∵(b+2) +(c-3)2 表示点

1 A(-2,3)与可行域内的点连线的距离

的平方,
|-1+3+3| ∴点 3+2b+c=0 的距离为 = 5, 5 9 1 联立 12+4b+c=0 与 3+2b+c=0,可得交点为(-2,6),与点 A(-2,3) 1 A(-2,3)到直线

的距离为 5,

∴(b+2)2+(c-3)2 的取值范围是(5,25).
【答案】D

1

例 18 (2015 年新课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x)=e (2x-1)-ax+a, 其中 a<1,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是 ( ).
3 A.[-2e ,1) 3 3 C.[ , ) 2e 4 3 3 B.[-2e ,4) 3 D.[ ,1) 2e

x

【解析】∵f(0)=-1+a<0,∴x0=0. 又∵x0=0 是唯一的整数,∴ (-1) ≥ 0, (1) ≥ 0,

e-1 [2 × (-1)-1] + a + a ≥ 0, 3 即 解得 a≥ . 2e e(2 × 1-1)- + ≥ 0, 又∵a<1,∴ ≤a<1,故选 D. 【答案】D
3 2e

例 19 (2015 年陕西卷)设复数 z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤ 1,则 y≥x 的概率为( ). A.4+
3 1 2π 1 1 C. 2 π

B.2+

1 1

π 1 1 D. 4 2π

【解析】|z|= (-1) + 2 ≤1,即(x-1) +y ≤1,表示的是圆
2 2

2

及其内部,如图所示.当|z|≤1 时, y≥x 表示的是图中阴影部分, 其面积 S=4π×1 -2×1×1=
1
2

1

π-2 . 4

又圆的面积为π,根据几何概型公式得概率 P= 【答案】D

π-2 4

π

=4-

1

1



.

例 20 已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与 抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,则 A.
1 2 | | 等于( | |

).

B.

5 5

C.

2 2

D.

3 3

【解析】∵抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F(0,1),点 A 坐标为 (2,0),

∴抛物线的准线方程为 l:y=-1,直线 AF 的斜率为 k=
1

0 -1 2 -0

=-2,

1

过点 M 作 MP⊥l 于点 P,根据抛物线物定义得|FM|=|PM|,

∵在 Rt△MPN 中,tan∠MNP=-k=2, ∴ | |=2,可得|PN|=2|PM|,
| | 1

∴|MN|= || + |PM| = 5|PM|,

2

2

因此

| | | | 5 = = . | | | | 5

【答案】B
【点评】图解法并非属于选择题解题思路范畴,但它在解有 关选择题时非常简便有效.不过运用图解法解题一定要对有关函 数图象、方程曲线、几何图形较熟悉.图解法实际上是一种数形 结合的解题策略.

方法四:代入检验法(验证法) 将选项中给出的答案或其特殊值,代入题干逐一去验证是否 满足题设条件,然后选择符合题设条件的选项. 2 2 例 21 已知 a,b,c 为互不相等的正数,a +c =2bc,则下列关系 中可能成立的是( ). A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.a>c>b

【解析】若 a>b,则 a2+c2>b2+c2≥2bc,不符合条件,排除 A,D; 又由 a2-c2=a2+c2-2c2=2bc-2c2,所以 a-c 与 b-c 同号,排除 B; 2 2 且当 b>a>c 时,a +c =2bc 有可能成立,例如取 (a,b,c)=(3,5,1),故选 C. 【答案】C

例 22 设函数 y=f(x)在 R 上有定义,对于任一给定的正数 p, (),() ≤ , 定义函数 fp(x)= 则称函数 fp(x)为 f(x)的“p 界 ,() > , 2 函数”.若给定函数 f(x)=x -2x-1,p=2,则下列结论不成立的是 ( ). A.fp[f(0)]=f[fp(0)] B.fp[f(1)]=f[fp(1)] C.fp[fp(2)]=f[f(2)] D.fp[fp(3)]=f[f(3)]

【解析】∵函数 f(x)=x2-2x-1,p=2,

∴f2(x)=

2 -2x-1,-1 ≤ x ≤ 3, 2, > 3 或 < -1,

∴fp[f(0)]=f2(-1)=2,f[fp(0)]=f(-1)=2,故 A 成立; fp[f(1)]=f2(-2)=2,f[fp(1)]=f(-2)=7,故 B 不成立; f[f(2)]=f(-1)=2,fp[fp(2)]=f2(-1)=2,故 C 成立; f[f(3)]=f(2)=-1,fp[fp(3)]=f2(2)=-1,故 D 成立.
【答案】B

例 23 (2015 年北京卷)设{an}是等差数列,下列结论中正确的 是( ) A.若 a1+a2>0,则 a2+a3>0 B.若 a1+a3<0,则 a1+a2<0 C.若 0<a1<a2,则 a2> 1 3 D.若 a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0

【解析】设等差数列{an}的公差为 d,若 a1+a2>0,a2+a3=a1+d+a2+d=(a1+a2)+2d,由于 d 正负不确定,因而 a2+a3 符号不确定,故选项 A 错;若 a1+a3<0,a1+a2=a1+a3-d=(a1+a3)-d,由于 d 正负不确定,因而 a1+a2 符号不确定,故选项 B 错;若 0<a1<a2,可知 2 a1>0,d>0,a2>0,a3>0,∴ 2 -a1a3=(a1+d)2-a1(a1+2d)=d2>0,∴

a2> 1 3 ,故选项 C 正确;若 a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)=d·(-d)=-d2
≤0,故选项 D 错. 【答案】C

例 24 某程序框图如图所示,若该程序运行后输出 S 的值是 , 则( ).

7 4

A.a=3 C.a=5

B.a=4 D.a=6

【解析】若 a=3,根据算法的功能可得 S=1+1×2+2×3+3×4=4,故 选 A. 【答案】A 【点评】代入法适用于题设复杂,结论简单的选择题.若能根 据题意确定代入顺序,则能较大提高解题速度.

1

1

1

7

方法五:筛选法(也叫排除法、淘汰法) 筛选法就是充分运用选择题中单选题的特征,即有且只有一 个正确选项这一信息,从选项入手,根据题设条件与各选项的关 系,通过分析、推理、计算、判断,对选项进行筛选,将其中与题 设相矛盾的干扰项逐一排除,从而获得正确结论的方法.使用筛 选法的前提是“答案唯一”,即四个选项中有且只有一个答案正 确.

例25

函数y=xln|x|的图象大致是(

).

【解析】因为 f(x)=xln|x|,所以 f(-x)=-xln|-x|=-f(x),定 义域为{x|x≠0},则 f(x)是奇函数,排除 B;当 x>0 时,f(x)=xln x=0,可得 x=1,只有一个零点,排除 A;且当 x>1 时,f(x)>0,排除 D, 故选 C. 【答案】C

例 26

2 2 已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线

x2=24y 的焦点重合,其一条渐近线的倾斜角为 30°,则该双曲线 的标准方程为( ).
2 2 A. 9 -27 =1 2 2 C. - =1 12 24 2 2 B. 9 -27 =1 2 2 D. - =1 24 12

【解析】由题意知,抛物线 x2=24y 的焦点为(0,6),故 A 错.
3 2 1 根据题中条件可得 = 3 ,所以 2 =3,结合选项可知

B 正确.

【答案】B

例 27 在 Rt△ABC 中,CA=CB=3,M,N 是斜边 AB 上的两个动点, 且 MN= 2,则·的取值范围为(
5 A.[2,2]

). D.[4,6]

B.[2,4]

C.[3,6]

【解析】 以 C 为原点,CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,建立直角坐标系, 则点 C(0,0),A(3,0),B(0,3).当点 M 与点 A 重合时,点

M(3,0),N(2,1),此时·=6,故排除 A,B.结合 M,N 的变化特
点可知,当 M,N 是 AB 的三等分点时,·最小,此时点

M(2,1),N(1,2),则·=4,故选 D.
【答案】D

例 28 已知集合 A= | < 或 > 2 + 1 ,B= | = 2 -1 ,2 ≤ x ≤ 3 ,若 A∩B= A.(-∞,2) C.(-∞,-2)∪[ 3,2] ,则实数 a 的取值范围是( B.(-∞,- 3]∪[ 3,2] D.[ 3,2] ).

【解析】当 a=2 时,集合 A={x|y<2 或 y>5},集合 B={y|2≤y ≤4},此时满足 A∩B= ,所以 A 不正确;当 a=- 3时,A={x|y<,所以 C、D 不正确,故选 B.

3或 y>4},此时满足 A∩B= 【答案】B

例 29 已知 an=an +n,若数列{an}为递增数列,则实数 a 的取值范 围是( ). A.(0,+∞) B.[0,+∞)
1 C.(- ,+∞) 3 1 D.(-∞,-2]∪[0,+∞)

2

【解析】当 a=0 时,an=n 为递增数列,排除 A;当 时,an=-2n2+n,a1=2,a2=0,不满足题意,排除 D;当 a=-4
1 1 1 3 1

1 a=-2

时,an=-4n +n,a1=4,a2=1,a3=4,不满足题意,排除 C.故选 B. 【答案】B 【点评】筛选法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当 题目中的条件多于一个时,先根据某些条件在选项中找出明显与 之矛盾的,予以否定,再根据另外一些条件在缩小的选项范围内 找出矛盾,这样逐一筛选,直到得出正确的选项.它与特例法、图 解法等结合使用是解选择题的常用方法.

2

3

方法六:推理分析法 推理分析法就是对有关概念进行全面、准确、深刻的理解或 对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择的方法. (1)特征分析法——根据题目所提供的信息,如数值特征、结 构特征、位置特征等,进行快速推理,迅速作出判断的方法,称为 特征分析法. 例 30 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别为

a,b,c,asin Bcos C+csin Bcos A=2b,且 a>b,则 B=(
π π 2π A. 6 B. 3 C. 3 5π D. 6

1

).

【解析】 在△ABC 中,因为 a>b,所以 A>B,所以 B 为锐角,排除 C、D,再根据正弦定理可得 sin 【答案】A
1 B=2,所以 π B= 6 .

(2)逻辑分析法——通过对四个选项之间的逻辑关系的分析 , 达到否定谬误项,选出正确项的方法,称为逻辑分析法. 例 31 对?x∈(0, 2 ),下列四个命题:
π

①sin x+tan x>2x; ②sin x·tan x>x2; ③sin x+tan
8 x>3x;

④sin x·tan x>2x2,
其中正确命题的序号是( ). A.①② B.①③ C.③④ D.②④

【解析】比较题中四个命题可知,若④正确,则②必正确,排 除 C;若③正确,则①必正确,当 x= 时,则 sin +tan = +1< ×
π 2π = ,故③不成立,排除 4 3 π 4 π 4 π 2 4 2 8 3

B;当

π x= 6 时,则

π π 3 π sin 6 · tan 6 = 6 < 18 ,故④

2

不成立,排除 D,故选 A. 【答案】A 【点评】通过观察题目的特征,结合题意,巧妙运用逻辑推理 方法得出正确答案.推理分析法可以有效地缩短解题时间,对难 度中上的问题形成有效的突破,达到快速求解的目的.

方法七:估算法 估算法就是把复杂问题转化为较简单的问题,求出答案的近 似值,从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计,进而作 出判断的方法.

例 32 执行如图所示的程序框图,若输入 n=10,则输出的 S=( ).

5 A.11

10 B.11

36 C.55

72 D.55

【解析】(法一)不断反复代入计算,最后得

S=3+15+35+63 +99=11 .
(法二)不断反复代入计算,最后得 S=3+15 +35 +63 +99,根据数的 大小变化规律得 S< + = < ,故选 A. 【答案】A
1 2 7 1 3 15 15 2 1 1 1 1 1

1 1

1

1

1

5

例 33 若 a=20.5,b=ln 2,c=0.5e(e 是自然对数的底),则( A.a<b<c B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c

).

【解析】∵a=20.5>20=1,1=ln e>b=ln 2>ln e= ,c=0.5e<0.51= ,

1 2

1 2

∴a>b>c.
【答案】D

例 34 已知球的直径 SC=4,A、B 是该球球面上的两点,AB= 3, ∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥 S-ABC 的体积为( ). A.3 3 B.2 3 C. 3 D.1

【解析】根据题意画出图象如图所示,因为 SC 为直径,所以 ∠SAC=∠SBC=90°.

又∠ASC=∠BSC=30°,所以 AC=BC=2,SA=SB=2 3. 设 D 为 AB 中点,则 SD⊥AB,由 SD2=SA2-AD2,得 SD=
1 3 15 . SAB= AB·SD= 2 4 3 5 ,所以 2

S△

观察此题选项大小差距较大,可以直接采用估算法,算出棱 锥 S-ABC 体积的高 h 近似的认为是 AC,则 VS-ABC≈ S△SAB· AC≈ ×
1 3 1 3 3 15 4

×2=

15 ,此时我们将近似值平方后与选项做比较,发现与选项 2

C

最接近,所以直接选 C. 【答案】C 【点评】估算法省去了很多推导过程和比较复杂的计算,节 省了时间,从而显得快捷.它是人们发现问题、研究问题、解决问 题的一种重要方法.

方法八:极限法 从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变,应用极限思想 解决某些问题,可以避开抽象、复杂的运算,降低解题难度,优化 解题过程.在一些选择题中,有一些任意选取或者变化的元素,我 们对这些元素的变化趋势进行研究,分析它们的极限情况或者极 端位置,并进行估算,以此来判断选择的结果.这种通过动态变化, 或对极端取值来解选择题的方法称为极限法.

例 35

(2015 年安徽卷)函数 f(x)= ).

+
2

( + )

的图象如图所示,则下

列结论成立的是(

A.a>0,b>0,c<0 C.a<0,b>0,c<0

B.a<0,b>0,c>0 D.a<0,b<0,c<0

【解析】函数定义域为{x|x≠-c},结合图象知-c>0,∴c<0. 令 x=0,得 f(0)= 2 ,结合图象知 f(0)>0,∴b>0. 令 f(x)=0,得 【答案】C
x=- ,结合图象知- >0,∴a<0.

例 36 对任意的锐角α、 β,下列不等关系中正确的是( A.sin(α+β)>sin α+sin β B.sin(α+β)>cos α+cos β C.cos(α+β)<sin α+sin β D.cos(α+β)<cos α+cos β

).

【解析】取α→0°,β→0°,则 sin 0°=0,cos 0°=1,排除 A、B、C,故选 D. 【答案】D 【点评】极限法是解选择题的一种有效方法.它根据题干及 选项的特征,考虑极端情形,有助于缩小选择面,迅速找到答案.

【总结】 从考试的角度来看,解选择题只要选对就行,至于用什么“策 略”“手段”都是无关紧要的,所以解题可以“不择手段”,但在 平时做题时要尽量弄清每一个选项正确的理由与错误的原因.另 外,在解答一道选择题时,往往需要同时采用几种方法进行分析、 推理,只有这样,才能在高考时充分利用题目自身提供的信息,化 常规为特殊,避免小题大做,真正做到准确和快速. 总之,解答选择题既要用各类常规题型的解题思想原则,又 要充分挖掘题目的“个性”,寻求简便解法,充分利用选项的暗示 作用,迅速地作出正确的选择.这样不仅可以迅速、准确地获取正 确答案,还可以提高解题速度,为后续解题节省时间.

1.若( 3+i)z= 3-i,i 为虚数单位,则|z+1|=( A.1 B. 2 C. 3 D.2

).

【解析】由题意可得 z=

3-i ( 3-i ) = 4 3+i

2

1 3 =2- 2 i,所以

|z+1|=|2- 2 i|= 3.
【答案】C

3

3

2.已知集合 A={x|x2≥4},B={y|y=|tan x|},则( RA)∩B=( A.(-∞,2] B.(0,+∞) C.(0,2) D.[0,2)

).

【解析】由题意可得集合 A=(-∞,-2]∪[2,+∞),则 RA=(-2,2),排除 A、B.又集合 B=[0,+∞),排除 C,故选 D. 【答案】D

3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

).

A.12 B.24 C.30 D.48

【解析】(法一)由三视图可知其直观图如图所示,其由三棱 柱截去一个三棱锥所得,三棱柱的体积 V= ×4×3×5=30,三棱锥 的体积 V1= × ×4×3×3=6,故该几何体的体积为 30-6=24.故选 B.
1 3 1 2 1 2

(法二)因为三棱柱的体积为 30,所以设几何体的体积为 V,则 15<V<30,故选 B. 【答案】B

4.设四边形 ABCD 为平行四边形,| |=6,| |=4.若点 M、 N 满足 =3 ,=2 ,则·=( A.20 B.15 C.9 D.6 ).

【解析】如图所示,由题意知,

= += + , = += - ,
1 4 3 1 1 ·=( +4 )·(3 -4 )
3 1 1

3 4

1 3



=3| |2-16| |2+4 · -4 · =3×36-16×16=9.
【答案】C
1 3

1

5.已知{an}是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和为 Sn,若 a3,a4,a8 成等比数列,则( ). A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0 C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0

2 【解析】∵a3,a4,a8 成等比数列,∴4 =a3a8,∴

(a1+3d) =(a1+2d)(a1+7d),展开整理,得-3a1d=5d ,即 a1d=-3d .∵d
( -1) ≠0,∴a1d<0.又∵Sn=na1+ d,∴ 2 2 S4=4a1+6d,dS4=4a1d+6d2=-3d2<0.

2

2

5

2

【答案】B

6.执行如图所示的程序框图,如果输出的 S=3,那么判断框内应填 入的条件是( ).

A.k≤6 C.k≤8

B.k≤7 D.k≤9

【解析】 由框图可得 S=log23· log34· …· logk(k+1)=

lg ( +1) ,因 lg 2

为 S=3,所以解得 k=7,根据程序框图的特点和选项可知选 B. 【答案】B

7.已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,点 E 在 C 的准线上,且在 x 轴 上方,线段 EF 的垂直平分线与 C 的准线交于点 Q(-1, ),与 C 交于 点 P,则点 P 的坐标为( ). A.(1,2) B.(2,2 2) C.(3,2 3) D.(4,4)
3 2

【解析】 因为|QE|=|QF|,所以点 E(-1,4).又因为|PE|=|PF|, 根据抛物线的定义,可得点 P 的纵坐标为 4,所以点 P 的坐标为 (4,4). 【答案】D

- ≥ 0, 8.已知 x,y 满足约束条件 + ≤ 2,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 ≥ 0, a=( ). A.3 B.2 C.-2 D.-3

【解析】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示, 若 z=ax+y 的最大值为 4,则最优解为 x=1,y=1 或 x=2,y=0,经检验 知 x=2,y=0 符合题意,∴2a+0=4,解得 a=2,故选 B.

【答案】B

9.定义域为 R 的奇函数 y=f(x)的导函数为 y=f'(x),当 x≠0 时,f'(x)+
( ) >0,若

a=2f(2),b=-2f(-2),c=(ln2)f(ln2),则
D.c<a<b

1

1

1

1

a,b,c 的大小关系正确的是( ). A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c

【解析】(法一)利用条件构造函数 h(x)=xf(x),∴ h'(x)=f(x)+x·f'(x).∵y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴h(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x>0 时,h'(x)=f(x)+x·f'(x)>0,此时函数 h(x)单调递增.∵

a=2f(2)=h(2),b=-2f(-2)=2f(2)=h(2),c=(ln2)f(ln2)=h(ln2)=h
1 (-ln 2)=h(ln 2),又 2>ln 2>2,∴b>c>a.故选 A. 1 (法二)根据题中条件令 f(x)=x,则 a= ,b=4,c=(ln 4

1

1

1

1

1

1

2)2,所以

b>c>a.
【答案】A

10.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|< 2 )的部分 图象如图所示,将函数 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位后,得 到函数 g(x)的图象关于点( , )对称,则 m 的值可能为(
π 3 3 2

π

).

A. 6

π

B. 2

π

C.

7π 6

D. 12



【解析】根据题中的条件直接可求得 B= 2 ,A= 3,ω=2,所以
π 3 3 )在函数图象上,所以可 2 π π 3 求得φ= 6 ,所以 f(x)= 3sin(2x+ 6 )+ 2 ,所以 π 3 π 3 g(x)= 3sin(2x+2m+ 6 )+ 2 .因为 g(x)关于点( 3 , 2 )对称,所以 2 π π 5π π × 3 +2m+ 6 =kπ(k∈Z),即 m=- 12 + 2 (k∈Z),结合选项可知 D 正确.

3

f(x)= 3sin(2x+φ)+ 2 .又因为点( 6 ,

3

【答案】D

11.一种团体竞技比赛的积分规则是:每队胜、 平、 负分别得 2 分、 1 分、0 分.已知甲球队已赛 4 场,积 4 分,在这 4 场比赛中,甲球 队胜、平、负(包括顺序)的情况共有( ). A.7 种 B.13 种 C.18 种 D.19 种

2 【解析】根据题意可知分为三类,第一类,甲两胜两负,有C4 种情况;第二类,甲一胜两平一负,有A2 4 种情况;第三类,甲四平, 2 有 1 种情况,所以共有C4 +A2 4 +1=19 种情况. 【答案】D

12.已知

2 2 F1,F2 分别是双曲线 2 - 2 =1(x≠0)的左,右焦点,以线段

F1F2 为边作正△MF1F2,若边 MF1 的中点在双曲线上,则此双曲线的 离心率是( ).
A.4+2 3 B. 3-1 C.
3+1 2

D. 3+1

【解析】设双曲线的焦距为 2,即 c=1,则根据双曲线的对称 性可知点 M 必在 y 轴上,设 MF1 的中点为 G,则 F2G⊥F1G,所以 2a=|F2G|-|F1G|= 3-1,所以双曲线的离心率 e= = 【答案】D
1
3 -1 2

= 3+1.

13.若函数 y1=sin 2x1- 2 (x1∈[0,π]),函数 y2=x2+3,则 (x1-x2)2+(y1-y2)2 的最小值为(
2π A. 12 2 (π+18 ) C. 12
2

3

).

(π+18 ) B. 72 2 (π-3 3+15 ) D. 72

【解析】设 z=(x1-x2)2+(y1-y2)2,则 z 的几何意义是两条曲线 上动点之间的距离的平方, 函数 y=sin 2x- 2 (x∈[0,π])的导数 f'(x)=2cos 2x,直线
3

y=x+3 的斜率 k=1,
由 f'(x)=2cos 2x=1,即 cos 2x= ,解得 x= , 此时函数 y=sin 2x- 2 = 2 - 2 =0, 即函数 y=sin 2x- 在( ,0)处的切线和直线 y=x+3 平行,
则最短距离 d=
2

1 2

π 6

3

3

3

3 2

π 6

| +3| 2
2

π 6

,
| +3| 2
π 6

故(x1-x2) +(y1-y2) 的最小值为( 【答案】B

)

2

(π+18 ) = 72

2

.

14.三棱锥 P-ABC 内接于球 O,球 O 的表面积是 24π,∠
π BAC= 3 ,BC=4,则三棱锥 8 2 16 2 A. B. 3 3

P-ABC 的最大体积为(
C.
16 3

).

D.

32 3

【解析】由题意可得球的半径为 6,因为∠BAC= 3 ,BC=4,所 以可证得当底面为正三角形时,底面积最大为 4 3.设球心为 O, 可求得 O 到底面的距离为 3 ,OP= 6,三棱锥的高 h≤ 3 + 6= 所以三棱锥 P-ABC 的最大体积为 【答案】B
16 2 . 3 6 6 4 6 , 3

π

15.对于函数 f(x)=aex-x,若存在实数 m、n,使得 f(x)≤0 的解集 为[m,n](m<n),则实数 a 的取值范围是( ). A.(-∞,0)∪(0, ) C.(0, )
1 e 1 e

B.(-∞,0)∪(0, ] D.(0, ]
1 e

1 e

【解析】由题意可知,问题可以转化为 ae =x 有两个根,即 y=aex 与 y=x 有两个交点,当 a≤0 时,画出函数图象可知不符合题 意;当 a>0 时,y=x 与 y=aex 相切时是临界情况,此时 a=e ,结合图象 可知当 y=ae 与 y=x 【答案】C
x

x

1

1 有两个交点时,0<a< ,所以选 e

C.


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