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2015-2016学年高中数学 2.2.1第1课时对数学案 新人教A版必修1


2.2 2.2.1

对数函数 对数与对数运算 数

第 1 课时 对

[学习目标] 1.理解对数的概念, 掌握对数的基本性质.2.掌握指数式与对数式的互化, 能应 用对数的定义和性质解方程.

[知识链接] 1. 8 =4,(64)
x

2 3

>?

2 3



1 . 16
x

2.若 2 =8,则 x=3;若 3 =81,则 x=4. [预习导引] 1.对数的概念 一般地,如果 a =N(a>0,且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN,其 中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 2.常用对数和自然对数 (1)常用对数:通常我们将以 10 为底的对数叫做常用对数,并把 log10N 记为 lg N. (2)自然对数:在科学技术中常使用以无理数 e=2.718 28…为底数的对数,以 e 为底的对数 称为自然对数,并把 logeN 记为 ln N. 3.对数与指数的关系 当 a>0,且 a≠1 时,a =N?x=logaN. 4.对数的基本性质 (1)负数和零没有对数. (2)loga1=0(a>0,且 a≠1). (3)logaa=1(a>0,且 a≠1).
x x

要点一 指数式与对数式的互化 例 1 将下列指数式与对数式互化:
1

1 -2 2 (1)2 = ;(2)10 =100; 4 (3)e =16;(4)64
a

?

1 3

1 = ; 4

(5)log39=2;(6)logxy=z. 1 解 (1)log2 =-2. 4 (2)log10100=2,即 lg 100=2. (3)loge16=a,即 ln 16=a. 1 1 (4)log64 =- . 4 3 (5)3 =9. (6)x =y. 规律方法 1.对数式与指数式的互化图:
z
2

2.并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(-3) =9 就不能直接写成 log(-3)9=2,只有

2

a>0 且 a≠1,N>0 时,才有 ax=N?x=logaN.
跟踪演练 1 下列指数式与对数式互化不正确的一组是( A.e =1 与 ln 1=0 1 B.8 =2 与 log82= 3 C.log24=2 与 4 =2 D.log33=1 与 3 =3 答案 C 解析 由指对互化的关系:a =N?x=logaN 可知 A、B、D 都正确;C 中 log24=2?2 =4. 要点二 对数基本性质的应用 例 2 求下列各式中 x 的值: (1)log2(log4x)=0; (2)log3(lg x)=1; (3)log( 1
2-1) 1 0

)

1 3

1 2

x

2

2+1

=x.
0

解 (1)∵log2(log4x)=0,∴log4x=2 =1, ∴x=4 =4. (2)∵log3(lg x)=1,∴lg x=3 =3,∴x=10 =1 000.
2
1 3 1

(3)∵log(

2-1)

=x, 2+1 = 2-1,∴x=1. 2+1 1

1

∴( 2-1) =

x

规律方法 1.对数运算时的常用性质:logaa=1,loga1=0. 2.使用对数的性质时,有时需要将底数或真数进行变形后才能运用;对于多重对数符号的, 可以先把内层视为整体,逐层使用对数的性质. 跟踪演练 2 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的 x 值. 1 (1)log2x=- ;(2)logx25=2; 2 (3)log5x =2.
? 1 解 (1)由 log2x=- ,得 2 2 =x, 2 1
2

∴x=

2 . 2
2

(2)由 logx25=2,得 x =25. ∵x>0,且 x≠1,∴x=5. (3)由 log5x =2,得 x =5 , ∴x=±5. ∵5 =25>0,(-5) =25>0, ∴x=5 或 x=-5. 要点三 对数恒等式 alogaN=N 的应用 例 3 计算:3 解 3
1? log3
5

2

2

2

2

2

1? log3

5

-2
3

4 ? log 2

3

+10

3lg3

?1? log 5 +? ? 2 . ?2?

-2
4

4 ? log 2

+10
3

3lg3

?1? log 5 +? ? 2 ?2?
lg3 3

=3×3

log 3

5

-2 ×2
3

log 2

+(10 ) +(2
-1

log 2

5

)

-1

=3×5-16×3+3 +5 =-

29 . 5

规律方法 对于指数中含有对数值的式子进行化简,应充分考虑对数恒等式的应用.这就要 求首先要牢记对数恒等式,对于对数恒等式 aloga =N 要注意格式:(1)它们是同底的;(2) 指数中含有对数形式;(3)其值为对数的真数.
1
N

跟踪演练 3 求值:(1)9 2
1

log3

4

;(2)5
log 3
4

1 ? log 5

2

.

解 (1)9 2

log3

4

1

=(3 ) 2
2

log3

4

=3

=4.

3

(2)5

1 ? log 5

2

=5·5

log 5

2

=5×2=10.

1.2 =3 化为对数式是( A.x=log32 C.2=log3x 答案 B B.x=log23 D.2=logx3

x

)

解析 ∵2 =3,∴x=log23. 2.若 log3x=3,则 x 等于( A.1 B.3 C.9 D.27 答案 D 解析 ∵log3x=3,∴x=3 =27. 3.有下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以 10 为底的对数叫做常用对数; ④以 e 为底的对数叫做自然对数. 其中正确命题的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 对于②,(-2) =-8 不能化为对数式,∴②不正确,其余正确. 4.已知 log2x=2,则 x 答案 1 2
? 1 2
3 3

x

)

)

=________.

解析 ∵log2x=2,∴x=4, ∴x
? 1 2

=4

?

1 2



1
1 2

1 = . 2

4

5.若 lg(ln x)=0,则 x=________. 答案 e 解析 ∵ln x=1,∴x=e.

4

1.对数概念与指数概念有关,指数式和对数式是互逆的,即 a =N?logaN=b(a>0,且 a≠1,

b

N>0),据此可得两个常用恒等式:(1)logaab=b;(2)alogaN=N.
2.在关系式 a =N 中,已知 a 和 x 求 N 的运算称为求幂运算,而如果已知 a 和 N 求 x 的运算 就是对数运算,两个式子实质相同而形式不同,互为逆运算. 3.指数式与对数式的互化
x

一、基础达标 1 -3 1.2 = 化为对数式为( 8 )

A.log 1 2=-3 B.log 1 (-3)=2
8 8

1 1 C.log2 =-3 D.log2(-3)= 8 8 答案 C 解析 根据对数的定义知选 C. 2.有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若 10=lg x,则 x=10;④若 e =ln x,则 x=e .其中正确的是( A.①③ C.①② 答案 C 解析 lg(lg 10)=lg 1=0,ln(ln e)=ln 1=0,故①②正确;若 10=lg x,则 x=10 , ③错误;若 e=ln x,则 x=e ,故④错误. 1 3.若 log3(log2x)=1,则 x- 等于( 2 A. C. 1 1 B. 3 2 3 1 2 2 1 D. 3 3 )
e 10 2

)

B.②④ D.③④

答案 C 解析 ∵log3(log2x)=1,∴log2x=3, 1 1 1 3 ∴x=2 =8,则 x- = = . 2 8 2 2
5

4.方程 2

log 3

x

1 = 的解是( 4

)

1 3 A.x= B.x= 9 3 C.x= 3 答案 A 解析 ∵2
log 3
x

D.x=9

1 -2 = =2 , 4

1 -2 ∴log3x=-2,∴x=3 = . 9 5.已知 loga2=m,loga3=n,则 a A.5 B.7 C.10 D.12 答案 D 解析 ∵a =2,a =3,∴a =(a ) ·a =12. 6.ln 1+log( 答案 1 解析 ln 1+log(
2-1) 2-1) 2m+n

等于(

)

m

n

2m+n

=a ·a

2m

n

m 2

n

( 2-1)=________.

( 2-1)=0+1=1.

7.求下列各式中的 x. 3 (1)logx27= ; 2 2 (2)log2x=- ; 3 (3)logx(3+2 2)=-2; (4)log5(log2x)=0; 1 (5)x=log27 . 9 3 2 解 (1)由 logx27= ,得 x 2 =27,∴x=27 3 =3 =9. 2
? 2 (2)由 log2x=- ,得 2 3 =x, 3 2 3 2

∴x= 3

1 2
2

3 =

2 . 2
-2

(3)由 logx(3+2 2)=-2,得 3+2 2=x ,
6

即 x=(3+2 2)

?

1 2

= 2-1.
1

(4)由 log5(log2x)=0,得 log2x=1.∴x=2 =2. 1 1 x 3x -2 (5)由 x=log27 ,得 27 = ,即 3 =3 , 9 9 2 ∴x=- . 3 二、能力提升 7 8.若 logx y=z,则( A.y =x
7

)

z

B.y=x

7z

C.y=7x 答案 B

z

D.y=z

7x

7 7 z 解析 由 logx y=z,得 x = y, 7 7 z 7 7z ∴( y) =(x ) ,则 y=x . 9.对数式 log(a-2)(5-a)=b,实数 a 的取值范围是( A.(-∞,5) B.(2,5) C.(2,3)∪(3,5) 答案 C 解析 由 log(a-2)(5-a)必满足 5-a>0, ? ? ?a-2>0, ? ?a-2≠1, 得 2<a<5 且 a≠3, ∴a∈(2,3)∪(3,5). 10.方程 9 -6·3 -7=0 的解是________. 答案 x=log37 解析 设 3 =t(t>0), 则原方程可化为 t -6t-7=0, 解得 t=7 或 t=-1(舍去),∴t=7,即 3 =7. ∴x=log37. 11.(1)若 f(10 )=x,求 f(3)的值; (2)计算 2
3 ? log 2
3

)

D.(2,+∞)

x

x

x

2

x

x

+3
x

5 ? log 3

9

.

解 (1)令 t=10 ,则 x=lg t,
7

∴f(t)=lg t,即 f(x)=lg x ∴f(3)=lg 3. (2)2
3 ? log 2
3

+3
5

5 ? log 3

9

=2 ·2

3

log 2

3

3 + 9 log 3 3

5

3 =2 ×3+ =24+27=51. 9
3

三、探究与创新

? 3 12.已知 logax=4,logay=5(a>0,且 a≠1),求 A=?x· ?
解 由 logax=4,得 x=a ,由 logay=5,得 y=a , 所以 A=?x·
4 5

x-1? 2 的值. y2 ?

?1

? ?

3

x-1? 2 =x 2 ·[(x y2 ?
1
5

?1

1

?

1 2

1
-2

1

·y ) 3 ] 2

=x 2 ·?
5 12

1

?x

?

1 2

? 6 =x 12 ·y ? 3 ·y ?
-2 5

1

=(a )

4

·(a )

?

1 3

=a

5 5 ? 3 3

=a =1.

0

13.已知 logab=logba(a>0,且 a≠1;b>0,且 b≠1). 1 求证:a=b 或 a= .

b

证明 设 logab=logba=k, 则 b=a ,a=b ,∴b=(b ) =bk , ∵b>0,且 b≠1,∴k =1, 1 即 k=±1.当 k=-1 时,a= ;
2

k

k

k k

2

b

1 当 k=1 时,a=b.∴a=b 或 a= ,命题得证.

b

8


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