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2014海淀高三二模数学文科


北京市海淀区 2014 届高三下学期期末练习(二模) 数 学 (文科) 2014.5

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题: 本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1. 已知全

集为 R ,集合 A ? {x | x ≥ 1} ,那么集合 ?R A 等于 A. {x | x ? 1} B. {x | x ? ?1} C. {x | x ? 1} D. {x | x ? ?1}

2. 已知命题 p: ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p 为 A. ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 C. ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 B. ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0 D. ?x ? R,x 2 ? x ? 1 ? 0

(0, +?) 3. 下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递增的是
A. y ? x3 B. y ?

x

C. y ? cos x

D. y ? 2

x

4.设 a ? log 2 3 , b ? log 4 3 , c ? sin 90? ,则 A. a ? c ? b B. b ? c ? a C. c ? a ? b D. c ? b ? a

? x ? y ? 1 ? 0, 2 5.下面给出的四个点中, 位于 ? 表示的平面区域内,且到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 ?x ? y ? 1 ? 0
的点是 A. ( ?1,1) B. ( ?2,1) C. (0,3) D. (1,1)
B A D C

6.已知向量 AC , AD 和 AB 在正方形网格中的位置如图所示, 若 AC ? ? AB ? ? AD ,则 ? ? ? ? A. 2 B. ?2 C. 3 D. ?3

7. 如图所示,为了测量某湖泊两侧 A,B 间的距离,李宁同学首先选定 了与 A,B 不共线的一点 C ,然后给出了三种测量方案:( ?ABC 的角

B

A, B, C 所对的边分别记为 a , b, c ):
① 测量 A, C , b ② 测量 a, b, C ③测量 A, B, a

A

则一定能确定 A,B 间距离的所有方案的序号为

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A.①②

B. ②③

C. ①③

D. ①②③
C1 B1 A1 D1

8. 已知点 E , F 分别是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱 AB , AA1 的中点, 点 M , N 分别是线段 D1E 与 C1F 上的点,则与平面 ABCD 垂直的直线

F

MN 有

C

B A E

A.0 条

B.1 条

C.2 条

D.无数条

D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 复数 2+i 的模等于______.
开始

10. 若抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的准线经过双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左顶点,则 p ?S_____. =0,n=1 11. 执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为_______. 12. 下列函数中: ① y ? ? sin 2 x ;② y ? cos 2 x ;③ y ? 3sin(2 x ? ) , 4 S=S+n

?

n ? n2 ? 1

其图象仅通过向左(或向右)平移就能与函数 f ( x ) ? sin 2 x 的图象重合的是_____.(填上符合要 否 n>10 求的函数对应的序号) 是 ?a x , x ? 3, 13. 已知实数 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ( x ) ? ? 输出 S ? ax ? b , x ? 3.
结束 若数列 {an } 满足 an ? f (n) (n ? N* ) ,且 {an } 是等差数列,则 a ? ___, b ? ____.

14. 农业技术员进行某种作物的种植密度试验,把一块试验田划分为 8 块面积相等的区域(除了种 植密度,其它影响作物生长的因素都保持一致),种植密度和单株产量统计如下: 种植密度(株数/m2) 单株产量(千克)
5 4.5 4 3 2.4 2 1
1.28 1.0 0.72 0.6 0.4 0.2

区域
1 2 3 4 5 6 7 8 代号

O

区域
1 2 3 4 5 6 7 8

O

代号
2

根据上表所提供信息,第_____号区域的总产量最大,该区域种植密度为_____株/ m .

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
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15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2sin 2 x ? a , a ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 有零点,求实数 a 的取值范围.

16.(本小题满分 13 分) 下图为某地区 2012 年 1 月到 2013 年 1 月鲜蔬价格指数的变化情况:

记 Δx ? 本月价格指数 ? 上月价格指数. 规定:当 Δx ? 0 时,称本月价格指数环比增长; 当 ?x ? 0 时,称本月价格指数环比下降;当 ?x ? 0 时,称本月价格指数环比持平. (Ⅰ) 比较 2012 年上半年与下半年鲜蔬价格指数月平均值的大小(不要求计算过程); (Ⅱ) 直接写出从 2012 年 2 月到 2013 年 1 月的 12 个月中价格指数环比下降 的月份. 若从这 12 个月 .. 中随机选择连续的两个月进行观察,求所选两个月的价格指数都 环比下降的概率; . (Ⅲ) 由图判断从哪个月开始连续三个月的价格指数方差最大. (结论不要求证明)

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17.(本小题满分 14 分) 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , AA1 ? 底 面 ABC ,
C1 B1 F A1

AB ? AC, AC ? AA1 ,E、F 分别是棱 BC、CC1 的中点.
(Ⅰ)求证:AB⊥平面 AA1 C1C; (Ⅱ) 若线段 AC 上的点 D 满足平面 DEF //平面 ABC1 , 试确定点 D 的 置,并说明理由; (Ⅲ)证明: EF ⊥A1C.
C E B A



18.(本小题满分 13 分)
1 3 2 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 4 x ? b ,其中 a , b ? R 且 a ? 0 . 3

(Ⅰ)求证:函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线与 f ( x ) 总有两个不同的公共点; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 ( ?1,1) 上有且仅有一个极值点,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的离心率为

2 ,短轴端点分别为 A(0,1), B(0, ?1) . 2

(Ⅰ)求椭圆 G 的标准方程; (Ⅱ) 若 C , D 是椭圆 G 上关于 y 轴对称的两个不同点, 直线 BC 与 x 轴交于点 M , 判断以线段 MD 为直径的圆是否过点 A ,并说明理由.

20.(本小题满分 13 分) 给定正整数 k ? 3 ,若项数为 k 的数列 ?an ? 满足:对任意的 i ? 1, 2,

, k ,均有 ai ≤

Sk (其中 k -1

Sk ? a1 ? a2 ?

? ak ),则称数列 ?an ? 为“Γ数列”.

3 32 33 (Ⅰ)判断数列 ?1,3,5, 2, 4 和 , 2 , 3 是否是“Γ数列”,并说明理由; 4 4 4
(Ⅱ)若 ?an ? 为“Γ数列”,求证: ai ? 0 对 i ? 1, 2,

, k 恒成立;

(Ⅲ)设 ?bn ? 是公差为 d 的无穷项等差数列,若对任意的正整数 m ≥ 3 , b1 , b2 , 均构成“Γ数列”,求 ?bn ? 的公差 d .

, bm

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北京市海淀区 2014 届高三下学期期末练习(二模) 数 参考答案 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.C 2.B 3.D 4.B 5.A 6.A 7.D 8.B 学 (文科) 2014.5

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.

5

10. 2

11. 8

12. ①②

13. 2,0

14. 5,3.6

{第 13,14 题的第一空 3 分,第二空 2 分} 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分. 15.解: (Ⅰ) f ( x) ? 3sin2 x ? cos2 x ? a ? 1 ----------------4 分

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ) ? a ? 1 2 2 π ? 2sin(2 x ? ) ? a ? 1 6 ? 2(

-----------------6 分 ----------------7 分 ------------------8 分 -----------------------9 分 ---------------------11 分 -------------------12 分 ---------------------13 分

2π ? π. 2 π (Ⅱ)令 f ( x) ? 0 ,即 2sin(2 x ? ) ? a ? 1=0 , 6 π 则 a=1 ? 2sin(2 x ? ) , 6 π 因为 ?1 ? sin(2 x ? ) ? 1 , 6 π 所以 ?1 ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 , 6
∴周期 T ?

所以,若 f ( x) 有零点,则实数 a 的取值范围是 [ ?1,3] . 16.解:

(Ⅰ)上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值.-----------------4 分 (Ⅱ)从 2012 年 2 月到 2013 年 1 月的 12 个月中价格指数环比下降的月份有 4 月、5 月、6 月、9 月、10 月. ----------------------6 分

设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件 A, ------------------7 分 在这 12 个月份中任取连续两个月共有 11 种不同的取法,--------------------------8 分

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其中事件 A 有(4 月,5 月),(5 月,6 月),(9 月,10 月),共 3 种情况. ------9 分 ∴ P( A) ?

3 . 11

-------------------------10 分

(Ⅲ)从 2012 年 11 月开始,2012 年 11 月,12 月,2013 年 1 月这连续 3 个月的价格指数方差最大. --------------------------------13 分 17.解: (I)

A1 A ? 底面 ABC ,
? A1 A ? AB , AB ? AC , A1 A

---------------------2 分
AC ? A ,

? AB ? 面 A1 ACC1 . (II) 面 DEF //面 ABC1 ,面 ABC

-------------------4 分 面 DEF ? DE ,面 ABC 面 ABC1 ? AB , C1 ---------------7 分 ? AB // DE , 在 ?ABC 中 E 是棱 BC 的中点, B1 ------------8 分 ? D 是线段 AC 的中点. F (III) 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中 A1 A ? AC
? AC1 , ?侧面 A1 ACC1 是菱形,? AC 1

A1

-------------------------9 分

C E

D B

A

由(1)可得 AB ? A1C , AB AC1 ? A , ? AC ? 面 ABC1 , 1 分
? AC ? BC1 . 1 又 E , F 分别为棱 BC, CC1 的中点,

------------------11 ----------------12 分 -----------------13 分 ----------------14 分

?EF // BC1 , ? EF ? AC1 .
18. 解: (Ⅰ)由已知可得 f '( x) ? x 2 ? 2ax ? 4 .
? f '(0) ? 4 , 又 f (0) ? b ? f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? 4 x ? b .

------------------1 分 ------------------2 分 --------------------4 分

1 令 x3 ? ax2 ? 4 x ? b ? 4 x ? b ,整理得 ( x ? 3a) x2 ? 0 . 3
? x ? 0 或 x ? ?3a , a?0 ??3a ? 0 , ? f ( x ) 与切线有两个不同的公共点. f ( x ) 在 ( ?1,1) 上有且仅有一个极值点,

------------------5 分 --------------------6 分 -----------------------7 分

(Ⅱ)

? f '( x) ? x 2 ? 2ax ? 4 在 ( ?1,1) 上有且仅有一个异号零点,
由二次函数图象性质可得 f '( ?1) f '(1) ? 0 ,

-------------9 分

------------------------10 分

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5 5 或a ? ? , 2 2 5 5 综上, a 的取值范围是 (??, ? ) ( , ??) . 2 2
即 (5 ? 2a )(5 ? 2a ) ? 0 ,解得 a ? 19.解: (Ⅰ)由已知可设椭圆 G 的方程为: 由e ?

---------------12 分 -------------------13 分

x2 ? y 2 ? 1( a ? 1) -------------------------1 分 a2

a2 ? 1 1 2 ? ,-----------------------------------------3 分 ,可得 e 2 ? a2 2 2 2 解得 a ? 2 , ---------------------------------------4 分 2 x ? y2 ? 1 . 所以椭圆的标准方程为 -----------------------------------5 分 2 (Ⅱ)法一:
设 C ( x0 , y0 ), 则 D( ? x0 , y0 ), x0 ? 0 因为 A(0,1), B(0, ?1) , 所以直线 BC 的方程为 y ? --------------------------------------6 分

y0 ? 1 x ?1, x0

-------------------------------------7 分

令 y ? 0 ,得 xM ?

x0 x ,所以 M ( 0 ,0) . y0 ? 1 y0 ? 1

--------------------------------8 分

所以 AM ? (

x0 , ?1), AD ? (? x0 , y0 ? 1), y0 ? 1

------------------------------9 分

所以 AM ? AD ?

? x0 2 ? y0 ? 1 , y0 ? 1

-------------------------------10 分

又因为

x0 2 y0 2 2( y0 2 ? 1) ? ? 1 ,代入得 AM ? AD ? ? 1 ? y0 ? y0 ? 1 2 1 y0 ? 1

---------------11 分

因为 ?1 ? y0 ? 1 ,所以 AM ? AD ? 0 .

--------------------------------------12 分

所以 ?MAN ? 90 , ------------------------------------13 分 所以点 A 不在以线段 MN 为直径的圆上. ---------------------------------14 分 法二:设直线 BC 的方程为 y ? kx ? 1 ,则 M ( ,0) .

1 k

--------------------------------6 分

? x2 ? 2 y 2 ? 2 ? 0, 由? 化简得到 x2 ? 2(kx ? 1)2 ? 2 ? 0 , ? y ? kx ? 1,
所以 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kx ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 所以 y2 ? kx2 ? 1 ? k

4k , ---------------------------8 分 2k 2 ? 1

4k 2k 2 ? 1 ? 1 ? , 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

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4k 2k 2 ? 1 ?4 k 2 k 2 ? 1 , ) D ( , ) ------------------------------9 分 ,所以 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 1 ?4k 2k 2 ? 1 , ? 1), --------------------------------10 分 所以 AM ? ( , ?1), AD ? ( 2 k 2k ? 1 2k 2 ? 1 ?4 2k 2 ? 1 ?2 ? 2 ?1 ? 2 ? 0 , ----------------------------12 分 所以 AM ? AD ? 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 所以 ?MAN ? 90 , ----------------------------13 分 所以点 A 不在以线段 MN 为直径的圆上. ------------------------14 分 20.解: S 13 (Ⅰ)①因为 5 ? ? 5 ,数列 ?1,3,5, 2, 4 不是“ ? 数列”, ----------------------2 分 5 ?1 4 3 32 33 S 111 3 3 ②因为 3 ? ? ,又 是数列 , 2 , 3 中的最大项 4 4 4 3 ? 1 128 4 4 2 3 3 3 3 所以数列 , 2 , 3 是“ ? 数列”. -----------------------------4 分 4 4 4 (Ⅱ)反证法证明:
所以 C ( 假设存在某项 ai ? 0 ,则

a1 ? a2 ?

? ai ?1 ? ai ?1 ?

? ak ?1 ? ak ? Sk ? ai ? Sk .

设 a j ? max{a1 , a2 ,

, ai ?1, ai ?1,

, ak ?1, ak } ,则 ? ak ?1 ? ak ≤(k -1) aj ,

Sk ? ai ? a1 ? a2 ?

? ai ?1 ? ai ?1 ?
Sk , k ?1

所以 (k ?1)a j ? Sk ,即 a j ?

这与“ ? 数列”定义矛盾,所以原结论正确. (Ⅲ)由(Ⅱ)问可知 b1 ? 0, d ? 0 . ①当 d ? 0 时, b1 ? b2 ? ②当 d ? 0 时, b1 ? b2 ?

----------------------8 分

? bm ?

Sm S ? m ,符合题设; m m ?1

-------------------9 分

? bm
Sm 1 ,即 (m ? 1)[b1 ? (m ? 1)d ] ? mb1 ? m(m ? 1)d m ?1 2

由“ ? 数列”的定义可知 bm ?

整理得 (m ? 1)(m ? 2)d ? 2b1 (*) 显然当 m ? 2b1 ? 3 时,上述不等式(*)就不成立 所以 d ? 0 时,对任意正整数 m ? 3 , (m ? 1)(m ? 2)d ? 2b1 不可能都成立. 综上讨论可知 {bn } 的公差 d ? 0 . ---------------------------------13 分

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