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高中数学试题:三角函数单元复习题(三)


三角函数单元复习题(三)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 . 下 列 函 数 中 , 最 小 正 周 期 ( ) A.y=sin2x x B.y=cos 2 为 π 的 偶 函 数 是

1-tan2x C.y=sin2x+cos2xD.y= 1+tan2x . 设 函 数 y = cos(sinx) , 则 )

A.它的定义域是[-1,1] B.它是偶函数 C.它的值域是[-cos1,cos1] D.它不是周期函数 3.把函数 y=cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的两 2 ( 倍,然后把图象向左平移 ( ) A.y=2sin2xB.y=-2sin2x π x π C.y=2cos(2x+ )D.y=2cos( + ) 4 2 4 4 . 函 数 ( A. ) π 3 B. 2π 3 C.π D. 2 4π 3 ≤ m < - 1 , 则 α 角 所 在 象 限 是 y = 2sin(3x - π 4 ) 图 象 的 两 条 相 邻 对 称 轴 之 间 的 距 离 是 π 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为 4

5 . 若 sinα + cosα = m , 且 - ( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 6 . 函 数 ( )

y = |cotx|· sinx ( 0 < x ≤

3π 2



x≠π ) 的 图 象 是

7 (





y



cos2x 1+sinx























) A.y 有最大值也有最小值 C.y 有最小值但无最大值 . ) 3π π A.[kπ- ,kπ+ ](k∈ Z) 8 8 π 3π C.[kπ- ,kπ+ ](k∈ Z) 8 8 函 数 y = sin ( π 4

B.y 有最大值但无最小值 D.y 既无最大值又无最小值 - 2x) 的 单 调 增 区 间 是

8 (

π 5π B.[kπ+ ,kπ+ ](k∈ Z) 8 8 3π 7π D.[kπ+ ,kπ+ ](k∈ Z) 8 8

9.已知 0≤x≤π,且- ( ) A.2a+1

1 < a < 0 , 那 么 函 数 f(x) = cos2x - 2asinx - 1 的 最 小 值 是 2 C.-2a-1 D.2a

B.2a-1

π 10.求使函数 y=sin(2x+θ)+ 3 cos(2x+θ)为奇函数,且在[0, ]上是增函数的 θ 的一 4 个 ( A. 5π 3 值 ) B. 4π 3 C. 2π 3 D. π 3 为

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) cosx 11.函数 y= 的值域是_____________. 1+2cosx cosx 12.函数 y= 的定义域是_____________. lg(1+tanx) 13.如果 x,y∈ [0,π],且满足|sinx|=2cosy-2,则 x=___________,y=___________. 14.已知函数 y=2cosx,x∈ [0,2π]和 y=2,则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形 的面积是_____________ 15.函数 y=sinx+cosx+sin2x 的值域是_____________. 16.关于函数 f(x)=4sin(2x+ π )(x∈ R)有下列命题: 3

① f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 π 的整数倍; 由 π ② y=f(x)的表达式可改为 y=4cos(2x- ); 6 π ③ y=f(x)的图象关于点(- ,0)对称; 6

π ④ y=f(x)的图象关于直线 x=- 对称. 6 其中正确的命题的序号是_____________. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)如图为函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的一部分,试求 该函数的一个解析式.

18.(本小题满分 14 分)已知函数 y=(sinx+cosx)2+2cos2x.(x∈ R) (1)当 y 取得最大值时,求自变量 x 的取值集合. (2)该函数图象可由 y=sinx(x∈ R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

19.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)= log1 (sinx-cosx)
2

(1)求它的定义域和值域;(2)求它的单调减区间; (3)判断它的奇偶性;(4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的一个周期.

20.(本小题满分 15 分)某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠(如图),为降低成本, 必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m,渠深 3 米,则水渠 侧壁的倾斜角 α 应为多少时,方能使修建的成本最低?

21. (本小题满分 15 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,其图

3π π 象关于点 M( ,0)对称,且在区间[0, ]上是单调函数,求 φ 和 ω 的值. 4 2

三角函数单元复习题(三)答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.D 2.B 3.B 4.A 5.C 6.C 7.C 8.D 9.C 10.C 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1 11.(-∞, ]∪ [1,+∞) 3 13.x=0 或 π,y=0 14.4π 12.{x|- π π +2kπ<x<2kπ 或 2kπ<x< +2kπ(k∈ Z)} 4 2 16.② ③

5 15.{y|- ≤y≤1+ 2 } 4

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)如图为函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的一部分,试求 该函数的一个解析式. 【解】 由图可得:A= 3 ,T=2|MN|=π. 2π 从而 ω= =2,故 y= 3 sin(2x+φ) T π 2π 将 M( ,0)代入得 sin( +φ)=0 3 3 2π 2π 取 φ=- 得 y= 3 sin(2x- ) 3 3

5π 【评注】 本题若将 N( ,0)代入 y= 3 sin(2x+φ) 6 5π 5π 5π 2π 则可得:sin( +φ)=0.若取 φ=- ,则 y= 3 sin(2x- )=- 3 sin(2x- ), 3 3 3 3 π ? 它与 y= 3 sin(2x- )的图象关于 x 轴对称,故求解错误!因此,将点的坐标代入函数 y 3 = 3 sin(2x+φ)后,如何确定 φ,要看该点在曲线上的位置.如:M 在上升的曲线上,就相当 于“五点法”作图中的第一个点,故 2π +φ=0;而 N 点在下降的曲线上,因此相当于“五点 3

5π 2π 法”作图中的第三个点,故 +φ=π,由上可得 φ 的值均为- . 3 3 18.(本小题满分 14 分)已知函数 y=(sinx+cosx)2+2cos2x.(x∈ R) (1)当 y 取得最大值时,求自变量 x 的取值集合. (2)该函数图象可由 y=sinx(x∈ R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? π 【解】 y=1+sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+2= 2 sin(2x+ )+2. 4 π (1)要使 y 取得最大值,则 sin(2x+ )=1. 4 π π π 即:2x+ =2kπ+ ? x=kπ+ (k∈ Z) 4 2 8 π ∴ 所求自变量的取值集合是{x|x=kπ+ ,k∈ Z}. 8 (2)变换的步骤是: π π ① 把函数 y=sinx 的图象向左平移 个单位,得到函数 y=sin(x+ )的图象; 4 4 1 ② 将所得的图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得函数 y=sin(2x+ 2 π )的图象; 4 ③ 再将所得的图象上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),得函数 y= 2 π sin(2x+ )的图象; 4 π ④ 最后将所得的图象向上平移 2 个单位,就得到 y= 2 sin(2x+ )+2 的图象. 4 【说明】 以上变换步骤不唯一! 19.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)= log1 (sinx-cosx)
2

(1)求它的定义域和值域;(2)求它的单调减区间;

(3)判断它的奇偶性;(4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的一个周期. 【分析】 研究复合函数的性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性)应同时考 虑内层函数与外层函数各自的特性以及它们的相互制约关系. π 【解】 (1)由题意得 sinx-cosx>0,即 2 sin(x- )>0 4 π π 5π 从而得 2kπ<x- <2kπ+π,所以函数的定义域为(2kπ+ ,2kπ+ )(k∈ Z) 4 4 4 π ∵ 0<sin(x- )≤1,∴ 0<sinx-cosx≤ 2 4 即有 log1 (sinx-cosx)≥ log1
2 2

1 1 2 =- .故函数的值域是[- ,+∞).? 2 2 π π )在 f(x)的定义域上的单调递增区间为(2kπ+ ,2kπ 4 4

(2)∵ sinx-cosx= 2 sin(x- +

3π π 3π )(k∈ Z),函数 f(x)的递减区间为(2kπ+ ,2kπ+ )(k∈ Z). 4 4 4 (3)∵ f(x)的定义域在数轴上对应的点不关于原点对称, ∴ 函数 f(x)是非奇非偶函数. (4)f(x+2π)= log1 [sin(x+2π)-cos(x+2π)]= log1 (sinx-cosx)=f(x).
2 2

∴ 函数 f(x)是周期函数,2π 是它的一个周期. 20.(本小题满分 15 分)某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠(如图),为降低成本, 必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m,渠深 3 米,则水渠 侧壁的倾斜角 α 应为多少时,方能使修建的成本最低? 【分析】 本题中水与水渠壁的接触面最小,即是修建的 成本最低,而水与水渠壁的接触面最小,实际上是使水渠横断 面的周长? 最小.? 【解】 设水渠横断面的周长为 y,则: 3 1 3× 3 (y-2× )× 3+2× · =m sinα 2 2tanα 2-cosα m 即:y= +3· (0° <α<90° ). 3 sinα 2-cosα 欲减少水与水渠壁的接触面,只要使水渠横断面周长 y 最小,即要使 t= sinα (0° <α<90° )最小, ∵ tsinα+cosα=2. 2 1 ∴ sin(α+φ)= 2 ,(其中 φ 由 tanφ= ,φ∈ ,90° (0° )) t t +1



2 ≤1 得:t2≥3 ? t≥ 3 t +1
2

当且仅当 t= 3 ,即 tanφ=

3 ,即 φ=30° 时,不等式取等号,此时 sin(α+30° )=1 ? α 3

=60° . 【答】 水渠侧壁的倾斜角 α=60° 时,修建成本最低. 21. (本小题满分 15 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,其图 3π π 象关于点 M( ,0)对称,且在区间[0, ]上是单调函数,求 φ 和 ω 的值. 4 2 【解】 由 f(x)是偶函数,得 f(x)=f(-x) 即 sin(ωx+φ)=sin(-ωx+φ) ∴ -cosφsinωx=cosφsinωx 对任意 x 都成立. π 且 ω>0,∴ cosφ=0,依题设 0≤φ≤π,∴ φ= 2 3π 由 f(x)的图象关于点 M( ,0)对称,得, 4 3π 3π 3π 取 x=0,得 f( )=-f( ),∴ f( )=0 4 4 4 ∴ f( 3π 3ωπ π 3ωπ )=sin( + )=cos =0,又 ω>0 4 4 2 4 (2k+1),k=0,1,2,…

3ωπ π 2 ∴ = +kπ,k=0,1,2,…,ω= 4 2 3

2 2 π π 当 k=0 时,ω= ,f(x)=sin( x+ )在区间[0, ]上是减函数; 3 3 2 2 π π 当 k=1 时,ω=2,f(x)=sin(2x+ )在区间[0, ]上是减函数;? 2 2 10 π π 当 k≥2 时,ω≥ ,f(x)=sin(ωx+ )在区间[0, ]上不是单调函数; 3 2 2 2 所以,ω= 或 ω=2. 3


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