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2.4匀变速直线运动的位移和速度关系及各推论(优秀)



§2.4 匀变速直线运动的位移和速度关系

复习

1、匀变速直线运动的位移公式

1 2 x ? v0t ? at 2

2.匀变速直线运动的速度公式

v ? v0 ? at

公式的适应范围---匀变速直线运动

一、匀变速直线运动位移与速度的关系

v ? v0 v ? v0 ? at ? t ? a

1 2 x ? v0t ? at 2 2 2 v0 ?v ? v0 ? a ?v ? v0 ? v 2 ? v0 x? ? ? 2 a 2 a 2a 2 ? v 2 ? v0 ? 2ax

[例1]射击时,燃气膨胀推动弹头加速运动。若把子弹 在枪筒中的运动看做匀加速直线运动,设子弹的加 速度a=5×105m/s2,枪筒长x=0.64m,求子弹射出枪 口时的速度。

解:以子弹射出枪口时速度v方向为正方向
又由速度公式: v= v
由位移公式:
2

0+at
2 0

可得: v ? v ? 2ax
v ? 2ax ? v ? 2 ? 5 ? 10 ? 0.64 ? 0m / s ? 800m / s
2 0 5

推论1:v ? v ? 2ax
2 2 0

注意 1.该公式只适用匀变速直线运动 2.该公式是矢量式,有大小和方向 3因为υ0、v、α、x均为矢量,使用公式时应先规定正 方向。(一般以υ0的方向为正方向)若物体做匀加速 运动,a取正值,若物体做匀减速运动,则a取负值.

例1某飞机着陆时的速度是216km/h,随后匀减速滑 行,加速度的大小是2m/s2,机场的跑道至少要多长 飞机才能停下来?

解:由

v ? v ? 2ax
2 2 0

x ? 900 m

例2.汽车以10m/s的速度行驶,刹车后的加速度大小 为3m/s2,求它向前滑行12.5m,后的瞬时速度?

解:以汽车的初速度方向为正方向,则: v0=10m/s, a=-3m/s2, x=12.5m
由v2-v02=2ax得 v2=v02+2ax=102+2×(-3) ×12.5=25 所以v1=5m/s 或v2=-5m/s(舍去) 即汽车向前滑行12.5m后的瞬时速度大小为5m/s,方 向与初速度方向相同。

推论2和3、匀变速直线运动的平均速度
1 2 由x ? v0t ? at 2

x 且v ? t

1 2 v0t ? at 2v0 ? at 2 得:v ? ? t 2 v0 ? (v0 ? at) v0 ? vt ? ? 2 2

或者

1 2 v0t ? at 1 2 v? ? v0 ? at t 2 1 ? v0 ? a ? ( t ) ? v t 2 2

即:t 时间内的平均速度等于t/2时刻的瞬时速度 推论2和3:

v?

v0 ? v 2

? vt
2

注意:此公式只适用于匀变速直线运动

例3.一物体做初速度为4m/s的匀加速直线运动,加速 度为2m/s2,求(1)其速度为28m/s时,这段时间内的 平均速度。(2)6s末的瞬时速度?

推论4:在匀变速直线运动中,某段位移中间位置的 瞬时速度vx/2与这段位移的初速度v0和末速度v之间的 关系: 推导:由v2-v02=2ax 及vx/22-v02=2a(x/2) 可得

Vx ?
2

V02 ? V 2 2

例4.一物体由静止沿光滑斜面匀加速下滑距离 为 l 时,速度为 v,当它下滑距离为 l 时,速度 2 为多少?

推导一下 V t 和V x 谁大谁小
2 2

可以证明:无论是匀加速直线运动还是匀减速直线 运动,都有唯一的结论,即:

Vt ? Vx
2 2

推论5、匀变速直线运动利用打点纸带求加速 度公式
0

·x1 · x2 · x3

1

2

· x4

3

4

·

x5

·

5

上图为物体运动时,打点计时器打出 的纸带。设相邻两测量点间的时间 间隔为T,打0号测量点时瞬时速度 为 v0

1 x1 ? v0T ? aT 2

则有:

2

1 1 2? 3 2 ? 2? ? x2 ? ?v0 ? 2T ? a(2T ) ? ? ?v0T ? aT ? ? v0T ? aT 2 2 2 ? ? ? ?
1 1 5 2 ? 2? ? 2? x3 ? ?v0 ? 3T ? a(3T ) ? ? ?v0 ? 2T ? a(2T ) ? ? v0T ? aT 2 2 2 ? ? ? ?
1 1 7 2 ? 2? ? 2? x4 ? ?v0 ? 4T ? a(4T ) ? ? ?v0 ? 3T ? a(3T ) ? ? v0T ? aT 2 2 2 ? ? ? ?

所以: x

2

? x1 ? aT , x3 ? x2 ? aT ,
2 2 2 2

x4 ? x3 ? aT , x5 ? x4 ? aT ,
结论:匀变速直线运动,在连续相同相邻时 间内的位移之差是定值,即

?x ? aT

2

例5.有一个做匀变速直线运动的质点它在最初两 端连续相等的时间内通过的位移分别为24m和 64m,连续相等的时间为4s,求质点的加速度和初 速度?
解法1:由匀变速直线运动的位移公式求解。 解法2:用平均速度公式求解。

解法3:用推论公式△x=at2求解。

例7:汽车刹车做匀减速直线运动,加速度大小为 1m/s2。求汽车停止前最后1s内的位移?

推论6 逆向思维法: 末速度为零的匀
减速直线运动可看成初速度为零,加速度 大小相等的匀加速直线运动。

总结

匀变速直线运动主要规律 一、两个基本公式:
速度与时间关系式: v

? v0 ? at

1 2 x ? v t ? at 0 位移与时间关系式: 2

二、六个推论

1. v ? v ? 2ax
2 2 0

2和3

v?

v0 ? v 2

? vt
2

4.

Vx ?
2

V02 ? V 2 2
2

5. x2 ? x1 ? x3 ? x2 ? ? ? ? ? ?? ? aT 6.
逆向思维法

练习1:一物体做初速为零的匀加速直线运 动。求:
(1)1秒末、2秒末、3秒末……瞬时速度 之比 由速度公式 0

v ? v ? at ? at
(m/s)

v1 ? a ?1 (m/s) v2 ? a ? 2 (m/s)
v3 ? a ? 3

?v1 : v2 : v3 : ? ? ? ? ?? ? 1: 2 : 3 : ? ? ? ? ? ?

(2) 前1秒、前2秒、前3秒……位移之比 1 2 1 2 x ? v0t ? at ? at 由位移公式 2 2 1 2 x1 ? a ? 1 2

1 2 x2 ? a ? 2 2 1 2 x3 ? a ? 3 2

故 x1 : x2

: x3 : ? ? ? ? ?? ? 1 : 4 : 9 : ? ? ? ? ? ?

(3)第一秒、第二秒、第三秒……位移之比
第一秒内位移
1 2 x = a ? 1 Ⅰ 2
(m)

1 1 3 2 2 第二秒内位移 xⅡ= a ? 2 ? a ?1 ? a (m) 2 2 2 1 1 5 2 2 第三秒内位移 xⅢ = a ? 3 ? a ? 2 = a (m) 2 2 2


x :xⅡ:xⅢ : ? ? ? ? ? ?= 1 : 3: 5?????? Ⅰ

(4)通过连续相等位移所用时间之比 如图,物体从A点开始做初速为零的匀 加速直线运动, AB、BC、CD……距离 均为d,求物体通过AB,BC,CD…… 所用时间之比 1 2 at 由 x ? A B C D 2


2x 2d t? ? a a

故:

t AB ?

2d a

A

B

C

D

t BC

2 ? 2d 2d 2d ? t AC ? t AB ? ? ? ( 2 ? 1) a a a

2 ? 3d 2 ? 2d 2d tCD ? t AD ? t AC ? ? ? ( 3 ? 2) a a a

tAB : tBC : tCD : ????? ? 1:( 2 ?1):( 3 ? 2): ??????

练习2

物体从静止开始作匀加速直线运动, 则其第1s末的速度与第3秒末的速度之比 是 1:3 ;第3s内的位移与第5s内的位移 之比是 5:9 ; 若第1s的位移是3m,则 15 m。 第3s内的位移是

解 题 技 巧

练习3:某物体从静止开始做匀加速直线 运动,经过4s达到2m/s,然后以这个速度运 动12s最后做匀减速直线运动,经过4s停下来。 求物体运动的距离。 v/m· · s-1
2

x = 1/2( 12+20 )×2 = 32 m
0
4 8 12 16 20

t/s

总结

匀变速直线运动主要规律 一、两个基本公式:
速度与时间关系式: v

? v0 ? at

1 2 x ? v t ? at 0 位移与时间关系式: 2

二、六个个推论

1. v ? v ? 2ax
2 t 2 0

2和3

v?

v0 ? v 2

? vt
2

4.

Vx ?
2

V02 ? V 2 2
2

5. x2 ? x1 ? x3 ? x2 ? ? ? ? ? ?? ? aT 6.
逆向思维法

三.4个常用比例式。
? ?

(1)1秒末、2秒末、3秒末……瞬时速度 之比

v1 : v2 : v3 : ? ? ? ? ?? ? 1: 2 : 3 : ? ? ? ? ? ?
(2) 前1秒、前2秒、前3秒……位移之比 x1 : x2 : x3 : ? ? ? ? ?? ? 1 : 4 : 9 : ? ? ? ? ? ?
(3)第一秒、第二秒、第三秒……位移之比
x :x ?????? = 1 : 3 : 5?????? Ⅰ Ⅱ:xⅢ :

?
? ? ? ?

(4)通过连续相等位移所用时间之比
t AB : tBC : tCD : ? ? ? ? ? ? 1: ( 2 ?1)( 3 ? 2 ) : ? ? ? ? ? ?

四.一个解题技巧---图像法

点拨:
①运动学公式较多,故同一个题目往往有不同求 解方法。

②为确定解题结果是否正确,用不同方法求 解是一有效措施。 ③一般应该先用字母代表物理量进行运算, 得出用已知量表达未知量的关系式,然后 再把数值代入。 这样做能够清楚地看出未知量与已知 量的关系,计算也比较简便。


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