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2014届高考数学(理)第一轮复习学案——空间点、直线、平面间位置关系


空间点、直线、平面间的位置关系

[知识能否忆起] 一、平面的基本性质 名称 图示 文字表示 如果一条直线上的两 公理 1 点在一个平面内, 那么 这条直线在此平面内 过不在一条直线上的 公理 2 三点, 有且只有一个平 面 如果两个不重合的平 公理 3 面有一个公共点, 那么 它们有且只有一条过 该点的公共直线 P∈α,且 P∈β?α∩β =l,且 P∈l A∈l,B∈l,且 A∈α, B∈α?l?α 符号表示

二、空间直线的位置关系 1.位置关系的分类
? ?共面直线?相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; ? ? ?平行直线:同一平面内,没有公共点; ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.

2.平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4.异面直线所成的角(或夹角) (1)定义: a, 是两条异面直线, 设 b 经过空间中任一点 O 作直线 a′∥a, b′∥b, a′ 把 与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角. π (2)范围:?0,2?. ? ? 三、直线与平面的位置关系 位置关系 图示 符号表示 公共点个数

直线 l 在平面 α 内 直线 l 与平面 α 相交 直线 l 与平面 α 平行

l?α l∩α=A l∥α

无数个 一个 0个

四、平面与平面的位置关系 位置关系 两个平面平行 图示 符号表示 α∥β 公共点个数 0个

两个平面相交

α∩β=l

无数个(这些公共点均在交线 l 上)

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b( A.异面 C.不可能平行 B.相交 D.不可能相交 )

解析:选 C 由已知直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直 线,若 b∥c,则 a∥b.与 a,b 是异面直线相矛盾. 2.(2012· 东北三校联考)下列命题正确的个数为( ①经过三点确定一个平面; ②梯形可以确定一个平面; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. A.0 C.2 B.1 D.3 )

解析:选 C ①④错误,②③正确. 3.已知空间中有三条线段 AB,BC 和 CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线 AB 与 CD 的 位置关系是( A.AB∥CD B.AB 与 CD 异面 C.AB 与 CD 相交 D.AB∥CD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交 )

解析:选 D 若三条线段共面,如果 AB,BC,CD 构成等腰三角形,则直线 AB 与 CD 相交,否则直线 AB 与 CD 平行;若不共面,则直线 AB 与 CD 是异面直 线. 4.(教材习题改编)如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E, F 分别是 AB,AD 的中点,则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为 ________. 解析:连接 B1D1,D1C, 则 B1D1∥EF, 故∠D1B1C 为所求,又 B1D1=B1C=D1C, ∴∠D1B1C=60° . 答案:60° 5. (教材习题改编)平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中既与 AB 共面又与 CC1 共面的棱的条 数为________. 解析: 如图, AB 和 CC1 都相交的棱有 BC; AB 相交且与 CC1 与 与 平行的棱有 AA1,BB1;与 AB 平行且与 CC1 相交的棱有 CD,C1D1, 故符合条件的棱共有 5 条. 答案:5

1.三个公理的作用 (1)公理 1 的作用:①检验平面;②判断直线在平面内;③由直线在平面内判断直线上 的点在平面内. (2)公理 2 的作用:确定平面的依据,它提供了把空间问题转化为平面问题的条件. (3)公理 3 的作用:①判定两平面相交;②作两相交平面的交线;③证明多点共线. 2.异面直线的有关问题 (1)判定方法:①反证法;②利用结论即过平面外一点与平 面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线,如图. (2)所成的角的求法:平移法.

平面的基本性质及应用

典题导入

[例 1] (2012· 湘潭模拟)如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AB 的中点,F 为 A1A 的中点, 求证:CE,D1F,DA 三线共点. [自主解答] 1 ∵EF 綊 CD1, 2 ∴直线 D1F 和 CE 必相交. 设 D1F∩CE=P, ∵P∈D1F 且 D1F?平面 AA1D1D, ∴P∈平面 AA1D1D. 又 P∈EC 且 CE?平面 ABCD, ∴P∈平面 ABCD, 即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点. 而平面 ABCD∩平面 AA1D1D=AD. ∴P∈AD. ∴CE、D1F、DA 三线共点.

本例条件不变试证明 E,C,D1,F 四点共面. 证明:∵E,F 分别是 AB 和 AA1 的中点, 1 ∴EF 綊 A1B.又 A1D1 綊 B1C1 綊 BC. 2 ∴四边形 A1D1CB 为平行四边形. ∴A1B∥CD1,从而 EF∥CD1. ∴EF 与 CD1 确定一个平面. ∴E,C1,F,D 四点共面.

由题悟法 1.证明线共点问题常用的方法是:先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直 线上.

2.证明点或线共面问题一般有以下两种途径:①首先由所给条件中的部分线(或点)确 定一个平面,然后再证其余线(或点)均在这个平面内;②将所有条件分为两部分,然后分别 确定平面,再证平面重合.

以题试法 1.(1)(2012· 江西模拟)在空间中,下列命题正确的是( A.对边相等的四边形一定是平面图形 B.四边相等的四边形一定是平面图形 C.有一组对边平行的四边形一定是平面图形 D.有一组对角相等的四边形一定是平面图形 (2)对于四面体 ABCD,下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). ①相对棱 AB 与 CD 所在直线异面; ②由顶点 A 作四面体的高,其垂足是△BCD 三条高线的交点; ③若分别作△ABC 和△ABD 的边 AB 上的高,则这两条高所在的直线异面; ④分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点. 解析:(1)由“两平行直线确定一个平面”知 C 正确. (2)由四面体的概念可知,AB 与 CD 所在的直线为异面直线,故① 正确; 由顶点 A 作四面体的高,只有当四面体 ABCD 的对棱互相垂直时, 其垂足是△BCD 的三条高线的交点,故②错误;当 DA=DB,CA=CB 时,这两条高线共面,故③错误;设 AB,BC,CD,DA 的中点依次为 E,F,M,N,易证 四边形 EFMN 为平行四边形, 所以 EM 与 FN 相交于一点,易证另一组对棱中点的连线也过 它们的交点,故④正确. 答案:(1)C (2)①④ )

异面直线的判定

典题导入 [例 2] (2012· 金华模拟)在图中,G,N,M,H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点, 则表示直线 GH,MN 是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)

[自主解答] 图①中,直线 GH∥MN; 图②中,G,H,N 三点共面,但 M?面 GHN, 因此直线 GH 与 MN 异面; 图③中,连接 MG,GM∥HN,

因此 GH 与 MN 共面; 图④中,G,M,N 共面,但 H?面 GMN, 因此 GH 与 MN 异面. 所以图②④中 GH 与 MN 异面. [答案] ②④ 由题悟法 1.异面直线的判定常用的是反证法,先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行 或相交, 由假设的条件出发, 经过严格的推理, 导出矛盾, 从而否定假设肯定两条直线异面. 此 法在异面直线的判定中经常用到. 2.客观题中,也可用下述结论:过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该 点的直线是异面直线. 以题试法 2.已知 m,n,l 为不同的直线,α,β 为不同的平面,有下面四个命题: ①m,n 为异面直线,过空间任一点 P,一定能作一条直线 l 与 m,n 都相交. ②m,n 为异面直线,过空间任一点 P,一定存在一个与直线 m,n 都平行的平面. ③α⊥β,α∩β=l,m?α,n?β,m,n 与 l 都斜交,则 m 与 n 一定不垂直; ④m,n 是 α 内两相交直线,则 α 与 β 相交的充要条件是 m,n 至少有一条与 β 相交. 则四个结论中正确的个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:选 B ①错误,因为过直线 m 存在一个与直线 n 平行的平面,当点 P 在这个平 面内且不在直线 m 上时,就不满足结论;②错误,因为过直线 m 存在一个与直线 n 平行的 平面,当点 P 在这个平面内时, 就不满足结论;③正确,否则,若 m⊥n,在直线 m 上取 一点作直线 a⊥l,由 α⊥β,得 a⊥n.从而有 n⊥α,则 n⊥l;④正确.

异面直线所成角

典题导入 [例 3] (2012· 大纲全国卷)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为 BB1,CC1 的 中点,那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为________. [自主解答] 连接 DF,则 AE∥DF, ∴∠D1FD 即为异面直线 AE 与 D1F 所成的角. 设正方体棱长为 a,

则 D1D=a,DF=

5 5 a,D1F= a, 2 2

∴cos∠D1FD=

? 5a?2+? 5a?2-a2 ?2 ? ?2 ? 3
5 5 2· a· a 2 2

= . 5

[答案]

3 5 由题悟法

求异面直线所成的角一般用平移法,步骤如下: (1)一作:即找或作平行线,作出异面直线所成的角; (2)二证:即证明作出的角是异面直线所成的角; (3)三求:解三角形,求出所作的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角, 如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角. 以题试法 3.(2012· 唐山模拟)四棱锥 P-ABCD 的所有侧棱长都为 5,底面 ABCD 是边长为 2 的 正方形,则 CD 与 PA 所成角的余弦值为( 2 5 A. 5 4 C. 5 B. 5 5 )

3 D. 5

解析:选 B 如图所示,因为四边形 ABCD 为正方形,故 CD ∥AB, CD 与 PA 所成的角即为 AB 与 PA 所成的角∠PAB, 则 在△ PAB 内,PB=PA= 5,AB=2,利用余弦定理可知: PA2+AB2-PB2 5+4-5 5 cos ∠PAB= = = . 2×PA×AB 2×2× 5 5

1.(2013· 杭州模拟)若 a,b,c,d 是空间四条直线.如果“a⊥c,b⊥c,a⊥d,b⊥d”, 则( ) A.a∥b 且 c∥d B.a,b,c,d 中任意两条可能都不平行 C.a∥b D.a 与 b,c 与 d 中至少有一对直线互相平行 解析:选 D (1)若 a,b,c,d 在同一平面内,则 a∥b,c∥d.

(2)若 a,b,c,d 不在同一平面内, ①若 a,b 相交,则 a,b 确定平面 α,此时 c⊥α,d⊥α,故 c∥d. ②若 a,b 异面,则可平移 a 与 b 相交确定平面 β,此时,c⊥β,d⊥β,c∥d. ③若 a,b 平行,则 c,d 关系不定. 同理,若 c,d 相交,异面也可推出 a∥b, 若 c,d 平行,则 a,b 关系不确定. 综上知,a,b,c,d 中至少有一对直线互相平行. 2.l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 解析:选 B ①在选项 A 中:l1⊥l2,l2⊥l3,l1 与 l3 可以平行也可相交或异面,借助正 方体的棱很容易理解. ②在 B 中:l1⊥l2,l2∥l3,由异面直线所成角的定义可以推出 l1⊥l3.③l1∥l2∥l3,三直 线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱不共面.④共点的三条直线不一定共面,如三棱锥中共 顶点的三条棱不共面. 3.设四棱锥 P-ABCD 的底面不是平行四边形,用平面 α 去截此四 棱锥(如图),使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面 α( A.不存在 C.恰有 4 个 B.只有 1 个 D.有无数多个 ) )

解析: D 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m, 直线 m, 选 n, n 确定了一个平面 β,作与 β 平行的平面 α,与四棱锥的各个侧面相截,则截得的四边形必 为平行四边形,而这样的平面 α 有无数多个. 4.(2012· 广州模拟)在正四棱锥 V-ABCD 中,底面正方形 ABCD 的边长为 1,侧棱长为 2,则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为( π A. 6 π C. 3 π B. 4 π D. 2 )

解析:选 D 如图所示,设 AC∩BD=O,连接 VO,由于四棱锥 V-ABCD 是正四棱锥,所以 VO⊥平面 ABCD,故 BD⊥VO.又四边形 ABCD 是正方形,所以 BD⊥AC,所以 BD⊥平面 VAC.所以 BD⊥VA, π 即异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为 . 2

5.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段 AB,CD, EF,GH 在原正方体中互为异面的对数为( A.1 C.3 B.2 D.4 )

解析:选 C AB,CD,EF 和 GH 在原正方体中如图所示,显然 AB 与 CD,EF 与 GH,AB 与 GH 都是异面直线,而 AB 与 EF 相交, CD 与 GH 相交,CD 与 EF 平行.故互为异面的直线有且只有三对. 6. (2012· 重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2和 a, 且长为 a 的棱与长为 2的棱异面,则 a 的取值范围是( A.(0, 2) C.(1, 2) B.(0, 3) D.(1, 3) )

解析:选 A 如图所示的四面体 ABCD 中,设 AB=a,则由题意可得 CD= 2,其他边的长都为 1,故三角形 ACD 及三角形 BCD 都是以 CD 为斜边的等腰直角三角形,显然 a>0.取 CD 中点 E,连接 AE,BE,则 AE ⊥CD,BE⊥CD 且 AE=BE= 1-? 2 2?2 = ,显然 A,B,E 三点能 ?2? 2 2 >a,解得 0<a< 2. 2

构成三角形,应满足任意两边之和大于第三边,可得 2×

7.已知 E,F,G,H 是空间四点,命题甲:E,F,G,H 四点不共面,命题乙:直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙成立的________条件. 解析:E,F,G,H 四点不共面时,EF,GH 一定不相交,否则,由于两条相交直线共 面,则 E,F,G,H 四点共面,与已知矛盾,故甲可以推出乙;反之,EF,GH 不相交, 含有 EF,GH 平行和异面两种情况,当 EF,GH 平行时,E,F,G,H 四点共面,故乙不 能推出甲.即甲是乙的充分不必要条件. 答案:充分不必要 8.如图是一几何体的平面展开图,其中 ABCD 为正方形,E,F 分别为 PA,PD 的中点.在此几何体中,给出下面四个结论: ①直线 BE 与 CF 异面;②直线 BE 与 AF 异面;③直线 EF∥ 平面 PBC;④平面 BCE⊥平面 PAD. 其中正确的有________个.

解析:如图,易得 EF∥AD,AD∥BC,

∴EF∥BC,即 B,E,F,C 四点共面,则①错误,②正确,③正确,④不一定正确. 答案:2

9.如图所示,在三棱锥 C-ABD 中,E,F 分别是 AC 和 BD 的中点,若 CD=2AB=4,EF⊥AB,则 EF 与 CD 所成的角是________. 解析:取 CB 的中点 G,连接 EG,FG, ∴EG∥AB,FG∥CD. ∴EF 与 CD 所成角即为∠EFG. 又∵EF⊥AB,∴EF⊥EG, 1 在 Rt△EFG 中,EG= AB=1, 2 1 FG= CD=2, 2 1 π ∴sin ∠EFG= .∴∠EFG= . 2 6 π ∴EF 与 CD 所成的角为 . 6 π 答案: 6 10.已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别是边 BC、 CD 的中点. (1)求证:BC 与 AD 是异面直线; (2)求证:EG 与 FH 相交. 证明:(1)假设 BC 与 AD 共面,不妨设它们所共平面为 α,则 B、C、 A、D∈α. 所以四边形 ABCD 为平面图形, 这与四边形 ABCD 为空间四边形相 矛盾.所以 BC 与 AD 是异面直线. (2)如图,连接 AC,BD,则 EF∥AC,HG∥AC,因此 EF∥HG; 同理 EH∥FG,则 EFGH 为平行四边形. 又 EG、FH 是?EFGH 的对角线, 所以 EG 与 HF 相交. 11.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1C 与截面 DBC1 交 于 O 点,AC,BD 交于 M 点,求证:C1,O,M 三点共线. 证明:∵C1∈平面 A1ACC1, 且 C1∈平面 DBC1.

∴C1 是平面 A1ACC1 与平面 DBC1 的公共点. 又∵M∈AC,∴M∈平面 A1ACC1. ∵M∈BD,∴M∈平面 DBC1, ∴M 也是平面 A1ACC1 与平面 DBC1 的公共点, ∴C1M 是平面 A1ACC1 与平面 DBC1 的交线. ∵O 为 A1C 与截面 DBC1 的交点, ∴O∈平面 A1ACC1,O∈平面 DBC1, 即 O 也是两平面的公共点, ∴O∈直线 C1M,即 C1,O,M 三点共线.

12.(2012· 许昌调研)如图,平面 ABEF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 与 1 1 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90° ,BC 綊 AD,BE 綊 FA,G,H 2 2 分别为 FA,FD 的中点. (1)求证:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C,D,F,E 四点是否共面?为什么? 解:(1)证明:由题设知,FG=GA,FH=HD, 1 1 所以 GH 綊 AD.又 BC 綊 AD,故 GH 綊 BC. 2 2 所以四边形 BCHG 是平行四边形. (2)C,D,F,E 四点共面.理由如下: 1 由 BE 綊 AF,G 是 FA 的中点知,BE 綊 GF, 2 所以 EF 綊 BG. 由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,故 EC,FH 共面.又点 D 在直线 FH 上,所以 C,D, F,E 四点共面.

1.将图 1 中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 的中线折起得到四面体 ABCD(如图 2), 则在四面体 ABCD 中,AD 与 BC 的位置关系是( )

A.相交且垂直 B.相交但不垂直

C.异面且垂直 D.异面但不垂直 解析:选 C 在图 1 中的等腰直角三角形 ABC 中,斜边上的中线 AD 就是斜边上的高,

则 AD⊥BC,翻折后如图 2,AD 与 BC 变成异面直线,而原线段 BC 变成两条线段 BD,CD, 这两条线段与 AD 垂直,即 AD⊥BD,AD⊥CD,故 AD⊥平面 BCD,所以 AD⊥BC. 2.(2012· 哈尔滨模拟)若两条异面直线所成的角为 60° ,则称这对异面直线为“黄金异 面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有________对. 解析:正方体如图,若要出现所成角为 60° 的异面直线,则直线需为 面对角线,以 AC 为例,与之构成黄金异面直线对的直线有 4 条,分别是 A′B,BC′,A′D,C′D,正方体的面对角线有 12 条,所以所求的黄 12×4 金异面直线对共有 =24 对(每一对被计算两次,所以要除以 2). 2 答案:24 3. (2012· 池州模拟)正方形 ABCD 中, E, 分别在 AB, 上, 点 F CD 且 AE=2EB,CF=2FD,将直角梯形 AEFD 沿 EF 折起到 A′EFD′ 的位置,使点 A′在平面 ABCD 上的射影 G 恰好落在 BC 上. (1)判断直线 AA′与 DD′的位置关系,并证明; (2)证明平面 A′AE⊥平面 A′BC; 解:(1)AA′∥DD′. 设直线 AD 与 EF 相交于点 O,翻折后直线 A′D′仍过 O 点, ∴A,A′,D,D′四点共面于平面 OAA′. 又 FD∥AE,FD?平面 A′AE, AE?平面 A′AE, ∴FD∥平面 A′AE. 同理,FD′∥平面 A′AE,而 FD∩FD′=F, ∴平面 DFD′∥平面 A′AE. 又平面 OAA′∩平面 DFD′=DD′, 平面 OAA′∩平面 A′AE=AA′, ∴AA′∥DD′. (2)∵A′G⊥平面 ABCD, ∴A′G⊥AB. 又 AB⊥BC,BC∩A′G=G, ∴AB⊥平面 A′BC. 又 AB?平面 A′AE, ∴平面 A′AE⊥平面 A′BC.

1.(2012· 襄阳模拟)关于直线 a,b,l 以及平面 M,N,下面命题中正确的是( A.若 a∥M,b∥M,则 a∥b B.若 a∥M,b⊥a,则 b⊥M C.若 a⊥M,a∥N,则 M⊥N D.若 a?M,b?M, 且 l⊥a,l⊥b,则 l⊥M

)

解析:选 C 同平行于一个平面的两条直线可平行也可相交或异面,故 A 错.a∥M,b ⊥a 时,b 与 M 的位置关系不确定,B 错;当 a∥b 时,l⊥a,l⊥b,l 不一定垂直于 M,故 D 错误. 2.(2012· 蚌埠模拟)如图在四面体 OABC 中,OA,OB,OC 两两垂直, 且 OB=OC=3,OA=4.给出如下判断: ①存在点 D(O 点除外),使得四面体 DABC 有三个面是直角三角形; ②存在点 D,使得点 O 在四面体 DABC 外接球的球面上; ③存在唯一的点 D 使得 OD⊥平面 ABC; ④存在点 D,使得四面体 DABC 是正棱锥; ⑤存在无数个点 D,使得 AD 与 BC 垂直且相等. 其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号填上). 解析:①作 OH⊥平面 ABC 于 H 并延长至 D,使 OH=HD,则四面体 DABC 与四面体 OABC 全等,故①正确; ②在以 O,A,B,C 确定的球上,显然存在点 D 满足条件,故②正确; ③过 O 做平面 ABC 的垂线,在垂线上任取一点 D,显然 OD⊥平面 ABC,故③不正确; ④△ABC 不是正三角形,以△ABC 为底面没有正棱锥. 取 BC 的中点 O1,在平面 AOO1 内取 D,使 BC=BD=CD=3 2且 AD=5,则四面体是 以△BCD 为底的正棱锥,这样的 D 点存在,所以④正确. ⑤BC 垂直于④所作的平面 AOO1,在平面 AOO1 内以 A 为圆心,以 BC 为半径作圆,圆 周上任一点满足条件,所以这样的 D 点有无数个,故⑤正确. 答案:①②④⑤ 3.(2012· 西安模拟)在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=BC,则 直线 PC 与 AB 所成角的大小是________. 解析:分别取 PA,AC,CB 的中点 F,D,E 连接 FD,DE,EF,AE,则∠FDE 是直 线 PC 与 AB 所成角或其补角.

设 PA=AC=BC=2a,在△FDE 中,易求得 FD= 2a,DE= 2a,FE= 6a, 2a2+2a2-6a2 1 根据余弦定理,得 cos ∠FDE= =- ,所以∠FDE=120° . 2 2× 2a× 2a 所以直线 PC 与 AB 所成角的大小是 60° . 答案:60°


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