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数列的概念与简单表示法教学案例


一、教学目标 1、技能目标: 通过学习数列的概念和简单表示法,使学生掌握数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本数学模 型,能利用函数的观点来研究数列,以及利用数列来研究现实问题。 2、德育目标: 通过让学生观察日常生活中的实例,感受并得出数列的概念,从而培养了学生从实际问题中抽象出数列的 一般性概念的能力,了解数列是一种特殊函数,能够借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的

问题, 可以进一步培养学生利用数学知识间的关联,用已知去研究或预测未知的能力。 3、审美目标: 通过让学生感受数列在大自然中的体现,以及生活中很多事情的发生(比如斐波那数列与日常生活中出现 的事例有关)都与数列有着密切的关联,从而培养学生发现生活中的数学美,感受数学的魅力无处不在。 并水到渠成地培养和提高了学生学习数学的兴趣。 二、教学重点: 理解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型;探索并掌握数列的几种简单表示法。 三、教学难点: 1、数列是一种特殊的函数。 2、发现数列的规律,找出数列可能的通项公式和递推公式。 四、教学过程: 1、创设问题情境; 师:问题⑴中国银行人民币活期存款每年利率为 0.72%,假设某人存入 10 万元人民币后,既不加进存款 也不取钱,如果不考虑利息税,用 an 表示第 n 年到期时的存款余额,求①a1、a2、a3、以及 an,并把它 们按从第 1 年到第 n 年进行排列,从而得到一列数,那这一列数有什么规律吗?这一列数与它表示的存款 余额序号有什么关系? 问题⑵观察下图: □ □□□ □□□□□□ □□□□□□□□□□ 问:图中的三角形分别代表哪些数,这些数有什么规律?与它表示的三角形序号有什么关系? 问题⑶章前图中的树苗在第一年长出一条新枝,新枝成长一年后变为老枝,老枝每年都长出一条新枝,每 一条树枝都按照这个规律成长,则每年的分枝数正好可以排成一列这样的数: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89… 问:这些数有什么规律?与它表示的分枝数序号有什么关系? 生:对问题⑴的看法:①a1=10×(1+0.72%)=10.0072 a2=10×(1+0.72%)2≈10.144518 a3=10×(1+0.72%)2≈10.217559 an=10×(1+0.72%)n 把第 1 年到第 n 年的到期存款余额排成一列数: 10.0072 10.144518 10.217559 …, 10×(1+0.72%)n 这一列数是按照从第 1 年到第 n 年的顺序排列着的,与它表示的存款余额序号有对应关系。 对问题⑵的看法:图中的三角形分别代表 1、3、6、10 这些数,这些数是按到从小到大的顺序排列着的, 并都表示三角形,与它表示的三角形序号有对应关系。 对问题⑶的看法:这些数是按照从第 1 年开始的顺序排列着的,与它表示的分枝数序号有对应关系, 师:上述 3 个问题中三个一列数的共同特征是什么? 生:它们都是按照一定的顺序排列着的一列数。 师:归纳出数列的概念: 一般地,按照一定的顺序排列着的一列数称为数列。

师:数列 1,2,3,4,…n,与数列 n,n-1,……1 是相同的数列吗? 生:不同,因为数列中的数是按照一定的顺序排列着的,因此如果组成两个数列的数相同,而排列顺序不 同,那么它们就是不相同的数列。 师:很好!数列中的数我们可以给它一个名字称为项,即数列中的每一个数都叫做该数列中的项,根据数 列的概念,我们知道数列 1,2,…n,与 n,n-1,……1 是不同的,理由是刚才那位同学所说的,那么数列 中排在第一位的数称为这个数列的第一项……排在第 n 位的数称为第 n 项,因此数列的一般形式可以表示 为 a1,a2…,an,…简记为﹛an﹜。 因此数列中的项与它表示的序号的对应关系是可以表示成: a1, a2, a3, a4,… an,…, 1, 2, 3 , 4,… n ,…, 所以两数列要相同首先项要相同,其次排列的次序也要相同。 师:上述项与它表示的序号关系是什么关系呢? 生:函数关系 师:即可以把数列看成以正整数集 N*(或它的有限子集﹛1,2,…,n )为定义域的函数 an= f(n),当自 变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值(如图) 。 n f(n)

1 a1 2 a2 3 a3 :: n an :: 所以说,数列是一类特殊的函数,特殊性表现在它的定义域限制在 N*或﹛1,2,…n﹜这两种集合中,反 过来对于函数 y= f(X),如果 f(i) (i=1,2,3,…)有意义,那么我们可以得到一个数列。 f(1) ,f(2) ,f(3) ,…,f(n)… 师:因为数列是一种特殊的函数,我们可以用函数的观点来研究数列,请大家观察以下几个数列: ⑴1,1,1,…,1,… ⑵1,2,3,4,…,n, ⑶n,n-1,…,1, ⑷-1,1,-1,1,…, 问:四个数列有什么特点呢? 生:数列⑴、⑷是项数有无穷多个的数列; 数列⑵、⑶是项数有有限多个的数列; 数列⑵中的项 an 随着 n 的增大而增大; 数列⑶中的项 an 随着 n 的增大而减小; 数列⑴中的项 an 随着 n 的增大却不变; 数列⑷中的项 an 随着 n 的增大没有以上有规律。 师:很好!这位同学能从函数的观点来研究数列的某些性质即: ⑴项数有限的数列叫做有穷数列,其定义域为﹛1,2,3,…,n﹜;项数无限的数列叫做无穷数列,其定义 域为﹛1,2,3,…,n,…﹜。 ⑵i)若从第 2 项起,每项都不小于它的前一项的数列叫做递增数列,即对于定义域内的 n1,n2 只要 n1

ⅱ)若从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列叫做递减数列,即对于定义域内的 n1,n2,只要 n1 ⅲ)每一项都相等的数列叫做常数数列,即对于定义域内的 n,都有 an=a(a 为常数) ⅳ)若从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列,叫做摆动数列,即该类数列没 有以上数列的性质。 师:请同学们观察函数 y=7x+9 与 y=3x,当 x 依次取 1,2,3,…时,其函数值构成的数列各有什么特点? 生: y=7×1+9 中的 x 依次取 1, 3, 当 2, …时, 构成的数列为: 7×1+9=a1, 7×2+9=a2, 7×n+9=an…。 …, 由此可知,该数列的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以用一个公式来表示即 an=7n+9。 当 y=3x 中的 x 依次取 1,2,3,…时构成的数列为 a1=3,a2=3a1=9=32,a3=3a2=33…,an=3an-1=3n, 由此可知该数列的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以表示为 an=3n 并且又可以表示为 an= 3 (n=1) 3an-1 (n>1) 以上是学生中的观点之一,其实还可以有很多种看法(比如递增数列等等) 师:若数列﹛an﹜的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列 的通项公式(比如 an=7n+9 和 an=3n 都是通项公式) ,我们可以根据数列的通项公式写出数列。 而如果由 an= 3 (n=1) 3an-1 (n>1) 给出数列的方法叫做递推法。 而 an=3an-1 (n>1)叫做递推公式。 师:例 1:写出下面数列的一个通项公式,使它的前四项分别是下列各数: ⑴1,- 1 , 1 ,- 1 , 234 ⑵2,0,2,0, 例 1 的解答过程就是算法思想的体现,因为解答一道题的算法不只一个,因此通项公式不唯一,通项公式 的求解是本节的难点之一。 例 2 是由图形呈现数列的例子,数列与函数一样,可以用图象、列表等方法表示,由解答例 2 的过程得知 数列的图象是一系列孤立的点,列表法的定义域必须从 1 开始: 即 n12…n… an a1 a2 … an … 例 3 是递推公式给出数列的例子与例 1 是相反的。 课堂小结: 1、数列中的数是按照一定的次序排列着的; 2、在数列中同一个数可以重复出现(如常数数列) ; 3、数列是一种特殊的函数; 4、数列的表示法:①通项公式,②列表法,③图象法,④递推公式法; 5、数列的分类; 6、数列的通项公式不唯一。


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