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5[1].4(1)最新)两角和与差的余弦公式(1)


1 2 ? 已知 有 : cos60 ? , cos 45 ? 2 2 ? ? ? ? ? cos60 ? cos45 那么 cos(60 ? 45 ) ?
?

验算 : 左 ? cos105 ? 0, 右 ? 0
?

多数情况下 : cos(? ? ? ) ? cos? ? cos?

那么:

cos(? ? ? ) ? ?

1, 单位圆上点的表示(用任意角α的三角比) y 如图,由定义,得: α的终边 α 的终边 P(cosα , sinα ) P(x,y). sinα= y cosα= x α 由此,也可以说: . (1,0) o P点的横坐标 x = cosα P点的纵坐标 y = sinα 2,直角坐标系中, P1(x1,y1) , P2(x2,y2) 两点间的 距离公式:
y

x

P2(x2,y2)

P P2 ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) 1
2

O
2

x P3

P1(x1,y1)

y

P3

P4
? ?? ?

P4 (cos? , sin ? )
P2 (cos(?? ),sin(?? ))
x

o ??

P1

P2
P2 P4 ?

P3 (cos(? ? ? ),sin(? ? ? ))
2 2

P (1,0) 1

?cos? ? cos(?? )? ? ?sin ? ? sin(?? )?

P P3 ? 1

?cos(? ? ? ) ? 1? ? ?sin(? ? ? ) ? 0?
2

2

y
?

P2

P3

y
? +?

-? O P4

x

P1 O

x

P2(COS ? ,Sin ? )
P4(COS(-? ),Sin(-? ))

P1 (1,0) P3 (COS(? +? ),Sin(? +? ))
2 2

P2 P4 ?

?cos? ? cos(?? )? ? ?sin ? ? sin(?? )?

P P3 ? 1

?cos(? ? ? ) ? 1? ? ?sin(? ? ? ) ? 0?
2

2

|P1P3|=|P2P4|

|P1P3 | ? = [COS(? +?)-1] ?+Sin ?(? +?)
= COS ?(? +?)+ 1 - 2 COS(? +?) +Sin ?(? +?) =2 - 2 COS(? +?) |P2P4 |?=[COS ? -COS(- ? )] ?+[Sin ? -Sin(-? )] ? = COS?? +COS?? -2 COS ? COS ? + Sin? ? + Sin?? + 2Sin ? Sin? =2-2(COS ? COS ? -Sin ? Sin? ) ∵|P1P3| ?=|P2P4| ?

∴2 - 2 COS(? +?)=2-2( COS ? COS ? -Sin ? Sin? )

整理得 : cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

[公式C(? ? ? ) ] :

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

在上式中,若将β替换成-β,则可得:

[公式C(? ? ? ) ] :

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

左边是复角α +β 的余弦,右边是单角α 、β 的余弦积与正弦积的差. 左边是复角α-β的余弦,右边是单角α、β 的余弦 积与正弦积的和.

第一关:小试身手
请用特殊角分别代替公式中α、β,你能求 哪些非特殊角的值呢? (选择的特殊角可以是30°60°45°等)

(1)
(2)

cos15 ?
0

6? 2 ; ______ 4

cos 75

0

(3) cos1050

6? 2 ? ______ 4 6? 2 ? ? ______ ;…… 4

π 若β固定,分别用 π , 代替α,你将会发现 2 什么结论呢?
? ?

第二关:再接再厉

? cos ? ? cos ? (1) cos(? ? ? ) ? ___________(2) cos(? ? ? ) ? ________

? sin ? (3) cos( ? ? ) ? __________(4) cos( ? ? ) ? ________ sin ? 2 2

第三关:各显神通
倘若让你对C(α±β)公式中的α、β自由 赋值,你又将发现什么结论呢? 2 (1) cos ? ? ? ) __________ ( ? 2
2 2 (2) cos ? ? ?) ____________ ( ? cos ? ? sin ?

4

2

cos ? ?

2

sin ?

? ? ? ? cos(_____) cos? ? ? ?) ? ? ? cos(_____) ( ? (3) + ? _____sin(_ ? ? ____) ?____)sin(_

? cos? ? ? ?) ? ? ?)? cos(_____) ? ? ? ( ? ( ? ? ? cos(_____) (4) ?? ? ___) ? ____sin(__ ? ___)sin(__ ? + ……

例题:
2 ? 3 3 sin ? ? , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , ? ? (? , ? ) 3 2 5 2

已知

求 cos( ?

? ? ) 的值。

检测: (1)cos80°cos20°+sin80°sin20° (2)cos130°cos5°-sin130°sin5° (3)cos215°-sin215°, (4)(2004全国高考题) 3 ? ? ? ,若 cos ? ? 设 ? ? ? 0, ? , 5 ? 2? ?? ? 则 2 cos ? ? ? ? ? _____ 4? ?

小结:
1、牢记公式的结构特点,学会逆用公式。 不符合公式结构特点的,常通过诱导公式变 形使之符合。 2、注意公式中α、β的任意性,是本节内 容的主线,它赋予了公式的强大生命力。

作业布置
? 1. 教材第54页,第 1,2. 题;练习册20 第 1,2(1)题 4 5 已知 cos ? 2.思考题: ? , ?都是锐角, ? ? , cos(? ? ? ) ? ? ,
5 13 求 cos ?的值。

3. 探究:知道了 cos(? ? ? ) ,你觉得

sin(? ? ? ) 也有类似的规律吗?


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§3.1.1__两角和与差的余弦

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§15.1.1两角和与差的正弦、余弦公式(一)

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