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厦门市2012-2013学年(下)高一质量检测数学试题参考答案


厦门市 2012-2013 学年(下)高一质量检测

数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1-5: BAACB 6-10: CCDDB 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. 12? 12.

1 2

13. 3 2

r />
14. ?2

15 4

16.

26 5
E

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分. 17. (本题满分 12 分) 证明: )? EA ? 底面 ABCD ,且 BC ? 面ABCD , (Ⅰ ∴ EA ? BC . --------------------------------------------2 分 ---------------------3 分

F G A O B C D

正方形 ABCD 中, AB ? BC ,

EA ? AB ? A ,

? CB ? 平面 ABE . -----------------------------------------5 分

(Ⅱ )连接线段 OG .在三角形 AEC 中,中位线 OG / / AE ,且 AE ? 2OG ------------------------7 分 已知 EA ? 2 FD , ? OG / / DF 且 OG ? DF , -------------------------------------------------------9 分 即平面四边形 DOGF 为平行四边形,----------------------------------------------------------------------10 分

? FG / / OD ,又? FG ? ABCD, OD ? ABCD ,-------------------------------------------------------11 分

? FG / / 面ABCD . --------------------------------------------------------------------------------------------12 分
18. (本题满分 12 分) 解: )? f ( x) ? 2 3sin x ? cos x ? 2cos2 x ?1 ? 3sin 2x ? cos 2 x ---------------------------------2 分 (Ⅰ

? 2sin(2 x ? ) ---------------------------------------------------------------------------------4 分 6 2? ? ? -----------------------------------------------------------------------6 分 ? f ( x) 的最小正周期为 T ? 2 1 1 3 (Ⅱ)? sin ? ? cos ? ? , ? sin 2? ? ? 1 ? ? -------------------------------------------------------9 分 2 4 4 5? 3 ? f (? ? ) ? 2sin(2? ? ? ) ? ?2sin 2? ? -----------------------------------------------------------12 分 12 2
19. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)要使圆 C 的面积最小,则 AB 为圆 C 的直径,----------------------------------------------------2 分 圆心 C ? 0, ?4 ? ,半径 r ?

?

1 AB ? 5 -----------------------------------------------------------------------4 分 2
2

2 所以所求圆 C 的方程为: x ? ? y ? 4 ? ? 5 . --------------------------------------------------------------6 分

高一数学答案

第1页

共4页

(Ⅱ)法一:因为 k AB ?

1 , AB 中点为 ? 0, ?4 ? , 2
--------------------------------------------8 分

所以 AB 中垂线方程为 y ? 4 ? ?2 x ,即 2 x ? y ? 4 ? 0 解方程组 ?

?2 x ? y ? 4 ? 0 ? x ? ?1 得: ? ,所以圆心 C 为 (?1, ?2) .-------------------------------10 分 ?3x ? y ? 5 ? 0 ? y ? ?2

根据两点间的距离公式,得半径 r ? 10 ,------------------------------------------------------------11 分 因此,所求的圆 C 的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 10 . ------------------------------------------------12 分 法二:设所求圆 C 的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , 根据已知条件得

?(2 ? a)2 ? (?3 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ?(?2 ? a) ? (?5 ? b) ? r -------------------------------------------------------------------------------6 分 ?3a ? b ? 5 ? 0 ?
?a ? ?1 ? ? ?b ? ?2 --------------------------------------------------------------------------------------------------11 分 ?r 2 ? 10 ?
所以所求圆 C 的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 10 . ---------------------------------------------------12 分

20. (本题满分 12 分) 解: ) p ? ( ,2) , m ? ( ,1) ,依题意得 p ? m ? ( ,2) ,又 n ? ( , ? ) , (Ⅰ

? ?

8

??

? ? 4 ? ?? ? 4 ? ? 1 ∴( p ? m) ? n ? ? ? 2 ? (? ) ? 0 ,------------------------------------------------------------------2 分 ? 4 2 ? ?? ? ? ∴( p ? m) ? n .---------------------------------------------------------------------------------------------4 分

1 2

? ?

??

4

?

?

1 2

(Ⅱ ) OP ? ( x0 ,sin x0 ) , OQ ? ( x, y) , 由 OQ ? m ? OP ? n 得 ( x, y ) ? ( x0 ?

??? ?

????

????

??

??? ? ?

1 2

?

1 ,sin x0 ? ) ,-----------------------------------------6 分 4 2

1 ? ? ? x ? 2 x0? 4 ? 即? ,----------------------------------------------------------------------------------------7 分 ? y ? sin x ? 1 0 ? ? 2 ? 1 1 1 消去 x0 ,得 y ? sin(2 x ? ) ? ? ? cos 2 x ? ,即 f ( x) ? ? cos 2 x ? ------------------10 分 2 2 2 2 ? 令 2k? ? ? ? 2 x ? 2k? (k ? Z ) 得 k? ? ? x ? k? (k ? Z ) ------------------------------------11 分 2 ? ? 函数 f ( x) 的单调递减区间是: [k? ? , k? ](k ? Z ) ------------------------------------------12 分 2
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21. (本题满分 14 分) 解:依题意,钢梁(侧棱)与底面的夹角 ?PBO ? ? . ∴OP ? 10sin ? , --------------------------------------------------2 分 则 OE ?

P

2 OB ? 5 2 cos ? , BC ? 10 2 cos ? ------------4 分 2
?1 ? PE ?BC ? ? 200cos ? 1 ? sin 2 ? -------------8 分 ?2 ?

D E B

C

在 RT ?POE 中, PE ? OP2 ? OE 2 ? 5 2 1 ? sin 2 ? ,---6 分 ∴S侧面 ? 4 ? ?
A

O

?

? 200 1 ? sin4 ? ------------------------------------------10 分 1 3 ?? ? ? 又 ? ? ? , ? ,则 ? sin ? ? ,----------------------------11 分 2 2 ?6 3?
3 3 4 时, S侧面 取最小值是 200 1 ? ( ) ? 50 7 -----------------------13 分 2 2 1 此时相应 cos? ? , AB ? 5 2 , OP ? 5 3 .即冷水塔的底面边长应设计为 AB ? 5 2 米,高 2 OP ? 5 3 米时,侧面钢板用料最省- -----------------------------------------------------------------------14 分
当且仅当 sin ? ? 22. (本题满分 14 分)

? 解: )法一:记 C (0,1) ,连接 PC ,则 PC ? (Ⅰ

?
2

?

?
3

?

?
6

-------------------------------------------2 分

? 依题意 OM ? PN ? cos 60? ? PC ? PC ------------------------------------------------------------3 分

? OM ?

?
6
-

----------------------------------------------------------------------------------------------4 分

法二:∵?xOP ?

?
3

,∴ OM ?| OP | cos

?
3

?

1 3 ? ,------------------------------------------2 分 2 6

3 ? 显然 ? ? 3 即 ? ,-----------------------------------------------------------------------------------------3 分 6 6
则 OM ?

?

6

.-------------------------------------------------------------------------------------------------4 分

(Ⅱ )设∠AOx ? ? , ? ? [0, 记 f (? ) ? OA ? OB

?

1 3 ] , P( , ), 4 2 2

y N P B

??? ??? ? ?

1 1 1 1 ? ] 时, A( , tan ? ), B( , tan(? ? )) -----------5 分 12 2 2 2 2 4 ??? ??? 1 1 ? ? ? ? f (? ) ? OA ? OB ? ? tan ? ? tan(? ? ) -----------------------6 分 4 4 4
⑴ ? ? [0, 当

?

A O M x

1 1 ? tan ? 1 1 ? tan 2 ? ? (1 ? tan ? )? ? 4 1 ? tan ? 4 1 ? tan ?

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?
?

1 1 ? 4 cos ? (cos ? ? sin ? )
1 1 1 1 ? ? ? 2 4 cos ? ? cos ? sin ? 2 1 ? cos 2? ? sin 2? 1

y N B P

A O M x

?

2(1 ? 2 cos(2? ? ) 4

?

-------------------------8 分

⑵ ? ?( 当

1 1 3 3 , ] 时, A( , tan ? ), B( , ) ? 2 ---------------9 分 12 4 2 2 2 tan(? ? ) 4

? ?

??? ??? ? ? 3 1 ? f (? ) ? OA ? OB ? ( ? tan ? ) -------------------------------10 分 4 tan(? ? ? ) 4

3 1 ? tan ? 3 1 ? tan 2 ? ? ( ? tan ? ) ? ? 4 1 ? tan ? 4 1 ? tan ?

?

3 1 3 1 ? ? ? 4 cos ? (cos ? ? sin ? ) 2 1 ? cos 2? ? sin 2?
3 1 ? ----------------------------------------------------------------------12 分 2 1 ? 2 sin(2? ? ? ) 4
1 1 ? 2 1 ? 2 cos(2? ? ? ) 4 3 1 ? 2 1 ? 2 sin(2? ? ? ) 4 (? ? [0,

?

? ? ??? ??? ? ? ? ? 综上, f (? ) ? OA ? OB ? ? ? ? ? ?
f (? ) 在 ? ? [0,

?
12

])

(? ? ( , ]) 12 4

? ?

] 增函数,在 ? ? ( , ] 是减函数,在 ? ? ( , ] 是增函数,---------13 分 12 12 8 8 4

?

? ?

? ?

1 ? 3 ?1 ? 6? 3 ? 3 , f( )? , f( )? ? f (0) ? , f ( ) ? 4 12 2 8 2 4 4 ??? ??? 1 3 ? ? ? f (? ) ? OA ? OB ? [ , ] -----------------------------------------------------------------------------14 分 4 4

高一数学答案

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