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高一数学二次函数在闭区间上的最值


高中数学

二次函数在闭区间上的最值

例1、已知函数f(x)= x2–2x –3. (1)若x∈[ –2,0 ], 求函数f(x)的最值;
y

–2

0 1

3

x

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例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. (1)若x∈[ –2,0 ],求函数f(x)的最值;
(2)若x∈[ 2,4 ],求函数f(x)的最值;
y

–1 0 1

2

3 4

x

例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
(1)若x∈[ –2,0],求函数f(x)的最值; (2)若x∈[ 2,4],求函数f(x)的最值;

1 5 (3)若x∈[ , ],求 2 2

y

函数f(x)的最值;
1 2 5 2

–1 0 1

2

3 4

x

例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3
(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值; (2)若x∈[ 2,4 ],求函数f(x)的最值;

1 3 (4)若x∈[ ? , ], 2 2

1 5 (3)若x∈[ , ],求函数f(x)的最值; y 2 2

求函数f(x)的最值;
?

1 2

3 2

–1 0 1

2

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x

例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值; (2)若x∈[ 2,4],求函数f(x)的最值;

1 5 (3)若x∈[ , ],求函数f(x)的最值; 2 2 y 1 3 (4)若x∈[ ? , ],求 2 2
函数f(x)的最值;

(5)若 x∈[t,t+2]时, 求函数f(x)的最值.

t t +2 –1 0 1 2

3 4

x

例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值; (2)若x∈[ 2,4],求函数f(x)的最值;

1 5 (3)若x∈[ , ],求函数f(x)的最值; 2 2 y 1 3 (4)若x∈[ ? , ],求 2 2
函数f(x)的最值;

(5)若x∈[t,t+2]时, 求函数f(x)的最值.

t –1 0 1

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x

例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值; (2)若x∈[ 2,4],求函数f(x)的最值;

1 5 (3)若x∈[ , ],求函数f(x)的最值; 2 2 y 1 3 (4)若x∈[ ? , ],求 2 2
函数f(x)的最值;

(5)若x∈[t,t+2]时, 求函数f(x)的最值.

t –1 0 1

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x

例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值; (2)若x∈[ 2,4],求函数f(x)的最值;

1 5 (3)若x∈[ , ],求函数f(x)的最值; 2 2 y 1 3 (4)若x∈[ ? , ],求 2 2
函数f(x)的最值;

(5)若x∈[t,t+2]时, 求函数f(x)的最值.

t
–1 0 1

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x

例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值; (2)若x∈[ 2,4],求函数f(x)的最值;

1 5 (3)若x∈[ , ],求函数f(x)的最值; 2 2 y 1 3 (4)若x∈[ ? , ],求 2 2
函数f(x)的最值;

(5)若x∈[t,t+2]时, 求函数f(x)的最值.

t
–1 0 1

2

t +2 3 4

x

y

t t +2 –1 0 1 2

3 4

x

评注:例1属于“轴 定区间变”的问题, 看作动区间沿x轴移 动的过程中,函数最 值的变化,即动区间 在定轴的左、右两侧 及包含定轴的变化, 要注意开口方向及端 点情况。

例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1,2]上的最值.
y

–1 0 1

2

x

例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1,2]上的最值.
y

–1 0 1

2

x

例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1,2]上的最值.
y

–1 0 1

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x

例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1,2]上的最值.
y

–1 0 1

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例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1,2]上的最值.
y y

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x

例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1,2]上的最值.
y y

–1 0 1

2

x

–1 0 1

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x

评注:例2属于“轴变区间定”的问题,看作 对称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化, 即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定 区间上变化情况,要注意开口方向及端点情况。
y
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–1 0 1

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x

–1 0 1

2

x

总结:求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m,n]上 的最值或值域的一般方法是:
b (1)检查x0= ? 是否属于 [ m,n]; 2a

(2)当x0∈[m,n]时,f(m)、f(n)、f(x0) 中的较大者是最大值,较小者是最小值; (3)当x0 ?[m,n]时,f(m)、f(n)中的较大 者是最大值,较小者是最小值.


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