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2.4双曲线的简单几何性质(第二课时)


第二课时

y 图形

y

A1

.
2 2

B2 O

F1

.

F2

A2

x

. .
B2

F1

(-c,0) B1 F2(c,0)
方程 范围

F1(-c,0)
2

F1

A1 A2
O

F2

B1
2

x F2(c,0)

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b
2

2

x y ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b
2 2

?a? x?a

?b ? y ?b

x ? a 或 x ? ?a,y ? R

对称性 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 离心率 渐进线
A1(- a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

c e? a

(0 ? e ? 1)

c e? a

(e ? 1)



b y?? x a

B2

. .
A2 B2
2 2 2 2

图形

. .
F1

y

y
F2

F2(0,c)
B1

A1 A2
O

F2

x

F1(-c,0)
2 2

B1 F2(c,0)

A1 O F1

x F1(0,-c)

方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b
2 2

y x ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b

x ? a 或 x ? ?a,y ? R

y ? a 或 y ? ?a,x ? R

关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

关于x轴、y轴、原点对称
A1(0,-a),A2(0,a)

c e? a
b y?? x a

(e ? 1)

c e? a

(e ? 1)

a y?? x b

1、“共渐近线”的双曲线

x2 y 2 x2 y 2 与 2 ? 2 ? 1共渐近线的双曲线系方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0,?为参数), a b a b
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线;λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。

2、“共焦点”的双曲线
x2 y 2 (1)与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)有共同焦点的双曲线方程表 a b

示为

x2 y2 ? ? 1(b2 ? ? ? a 2 ). a 2 ? ? ? ? b2

x2 y 2 (2)与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)有共同焦点的双曲线方 a b 2 x y2 程表示为 2 2

a ??
2

?

b ??
2

? 1(?b ? ? ? a )

复习练习:
x2 y 2 1、求与椭圆 ? ? 1有公共焦点,且离心率 49 24 5 e ? 的双曲线方程。 4
y x 2. 求与椭圆 ? ? 1 有共同焦点,渐近线方程为 16 8
2 2

x?

3y ? 0 的双曲线方程。
2 2

x y 3、求以椭圆 ? ? 1 的焦点为顶点,以椭圆的 8 5 顶点为焦点的双曲线的方程。

例题讲解
例1、双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线
的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的 最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径

为25m,高55m.选择适当的坐标系,求出此
双曲线的方程(精确到1m).
C′ A′ 0

y
13 C 12 A x

B′

25

B

一、第二定义
引例:点M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线 c a2 x ? 的距离比是常数 (c>a>0),求点M的轨迹.
c
a

解: 设点M(x,y)到l的距离为d,则
| MF | c ? 即 d a
( x ? c) ? y
2 2

a2 x? c 点M的轨迹也包括双

c ? a

M

yl
O

M F x

曲线的左支. ? a ( x ? c )2 ? y 2 ?| a 2 ? cx |
? a 2 ( x 2 ? 2cx ? c 2 ? y 2 ) ? a 4 ? 2a 2cx ? c 2 x 2

化简得 (c2-a2)x2- a2y2=a2 (c2 - a2) 就可化为: b2x2-a2y2=a2b2 即

设c2-a2 =b2, (a>0,b>0)

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.

双曲线的第二定义
平面内,若定点F不在定直线l上,则到定点F的 距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是 双曲线。 定点F是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线 的准线,常数e是双曲线的离心率. y x2 y2 对于双曲线 2 ? 2 ? 1 类似于椭圆 l′ l a b 2 a 是相应于右焦点F(c, 0)的 x?
M

c 右准线 a2 是相应于左焦点F′(-c, 0) x?? c 的左准线

x F′
2

o

F

点M到左焦点与左准线的距 离之比也满足第二定义.

a2 a x? x?? c c

相应于上焦点F(c, 0)的是上准线 点,焦点在y轴上 的双曲线的准线 a2 方程是怎样的? y?
c

想一想:中心在原

y F o
a2 y? c x

相应于下焦点F′(-c, 0)的是下准线
a2 y?? c

a2 y?? c

F′

例2、点M(x,y)与定点F(5,0),的距离 16 x 和它到定直线 l : ? 的距离的比是常 5 5 数 , 求点M的轨迹. 4
y

l
d 0

x2 y2 例3、已知双曲线 16 ? 9 ? 1, F1、F2是它的左、右焦点. 4 设点A(9,2), 在曲线上求点M,使 | MA | ? | MF2 | y5 的值最小,并求这个最小值. 5 解: 由已知: a=4, b=3, c=5, e ? M 4 16 N 双曲线的右准线为l: x ? A 5 A1

作MN⊥l, AA1⊥l, 垂足分别是N, A1,
| MF2 | 5 ? ? | MN | 4

x

4 ? | MA | ? | MF2 |?| MA | ? | MN | ?| AA1 | 5 当且仅当M是 AA1与双曲线的交点时取等号, ? 4 13 ? 29 4 13 令y=2, 解得: x ? 即 M? , 2 ? , 最小值是 . ? 3 ? 5 2 ? ?

4 ? | MF2 |?| MN | 5

o

F2

归纳总结 1. 双曲线的第二定义
平面内,若定点F不在定直线l上,则到定点F的 距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是 双曲线。定点F是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线 的准线,常数e是双曲线的离心率。

2. 双曲线的准线方程
对于双曲线
x2 y2 a2 ? 2 ? 1 , 准线为 x ? ? 2 a b c2 a y2 x2 ? 2 ? 1 准线为 y ? ? c a2 b

对于双曲线

注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.

二、直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法

相离
判断方法
(1)联立方程组 (2)消去一个未知数 (3)

相切

相交

?<0

?=0

?>0

1) 位置关系种类
Y

O

X

种类:相离;相切;相交(0个交点,一个交点, 一个交点或两个交点)

2)位置关系与交点个数
Y

相交:两个交点
相切:一个交点
O X

相离:0个交点

Y

相交:一个交点

O

X

3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

?y = kx + m ? 2 消去y,得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 ? x y2 ? 2 - 2 =1 ?a b

1.二次项系数为0时,L与双曲线的渐近线平行 或重合。

重合:无交点;平行:有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 Δ=0 Δ<0 直线与双曲线相交(两个交点) 直线与双曲线相切 直线与双曲线相离

注:
①相交两点: △>0 同侧:x1 ? x2>0 异侧: x1 ? x2 <0 一点: 直线与渐进线平行 △=0
△<0

②相切一点:
③相 离:

特别注意直线与双曲线的 位置关系中: 一解不一定相切,相交不一定 两解,两解不一定同支

例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k< ? 5或k> 5 ;

且 (2)有两个公共点; (2) ? 5 <k< 5 ; k ? ?1
2 2

2

2

(3)只有一个公共点; (3)k=±1,或k= ± 5 ;
2

(4)交于异支两点; (4)-1<k<1 ; (5)与左支交于两点.

5 ? k ? ?1 2

x2 y2 ? ?1 1.过点P(1,1)与双曲线 只有 一个 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______条. (1,1)


变题:将点P(1,1)改为

O

X

1.A(3,4)
2.B(3,0)

3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的? 1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.

2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点 0 ? ??,? ? ?1 ? (异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_________, ? ?

x2 y2 ? ?1 交于两点的直线斜率的 3.过原点与双曲线 ? 4 3 ?3 ? 3 ? ? 取值范围是 ??, ? ? ? ?? , ?? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ?

三、弦长问题
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F2 , 例4、如图,过双曲线 3 6 ? 倾斜角为 30 的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.

练习:
? x2 y2 ? ? 1 的左焦点 F1 作倾角为 1.过双曲线 4 9 16

的直线与双曲线

192 交于 A、B 两点,则|AB|= 7 .
2.双曲线的两条渐进线方程为 x ? 2 y ? 0 ,且截直线x ? y ? 3 ? 0
8 3 所得弦长为 ,则该双曲线的方程为( ) 3 x2 y2 y2 x2 ? 1 (C) x 2 ? ? 1 (D) ? y 2 ? 1 (A) ? y 2 ? 1 (B) x 2 ? 2 4 2 4

D

2-y2=3, 例.已知双曲线方程为3x --韦达定理与点差法

求: (1)以2为斜率的弦的中点轨迹; (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹; (3)以定点B(2,1)为中点的弦所在 的直线方程. (4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗? 说明理由;

小结:
1 .位置判定 2.弦长公式 3.中点问题 4.垂直与对称

5.设而不求(韦达定理、点差法)

拓展延伸

x2 y 2 1.已知P为双曲线 ? ? 1右支上的一点,F1 , F2 16 9 分别为左、右焦点,若PF1 : PF2 ? 3 : 2,试求点 P ( x0 , y0 )的坐标。 y2 2.已知双曲线x 2 ? ? 1左、右焦点分别为F1 , F2, 3 双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d,且 d,PF1 , PF2成等比数列,试求点P ( x0 , y0 )的坐标.

x2 2 3、设双曲线C: 2 ? y ? 1(a ? 0) 与直线 l : x ? y ? 1 a 相交于两个不同的点A、B。
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围。
??? 5 ??? ? ? (2)设直线l与y轴的交点为P,且PA ? PB, 求a的值。 12

17 2a 所以 x 2 ? ? . 2 12 1? a 2 5 2 2a x2 ? ? . 2 12 1? a 2 2a 289 消去, x 2 , 得 ? ? 2 60 1? a 17 由a ? 0, 所以a ? 13

2

x y ? ? 1上的一点P与左、右 4、由双曲线 9 4 两焦点 F1、F2构成 ?PF1 F2 ,求 ?PF1 F2的内切圆与
边 F1 F2 的切点坐标。
说明:双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 F1、F2 构成 的三角形称之为焦点三角形,其中 | PF1 | 、PF2 |和 | F1 F2 | | 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题,要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦 定理。

2

2


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