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三角函数图像及性质教师版


三角函数
一、三角函数的基本概念和同角三角函数关系
板块一: 任意角的概念与弧度制

(一)知识内容
1. 角的概念的推广 ⑴角:一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.其中顶点,始边,终边称为角的

三要素.角可以是任意大小的.
⑵角按其旋转方向可分为:正角,零角,负角. ①正角:习惯

上规定,按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角; ②负角:按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角; ③零角:当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角,叫做零角. ⑶在直角坐标系中讨论角: ①角的顶点在原点,始边在 x 轴的非负半轴上,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. ②若角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限,它叫轴线角.

2.终边相同的角的集合:设 ? 表示任意角,所有与 ? 终边相同的角,包括 ? 本身构成一个集合,这个 集合可记为 S 素为 ? .
3.弧度制和弧度制与角度制的换算
? ? ? ? ? ? ? k ? 3 6 0 ? , k ? Z ? .集合 S

的每一个元素都与 ? 的终边相同,当 k

? 0

时,对应元

⑴角度制:把圆周 3 6 0 等分,其中 1 份所对的圆心角是 1 度,用度作单位来度量角的制度叫做角度制.

<教师备案>一些特殊角的度数与弧度数的对应表: 度数
弧度
0?

15°
π 12

30?
π 6

45?
π 4

60?

75°
5π 12

90?
π 2

120?

135?

150?

0

π 3
270?

2π 3

3π 4
360?

5π 6

度数
弧度

180?

210°
7π 6

225°
5π 4

240°
4π 3

300°
5π 3

315°
7π 4

330°
11π 6

π

3π 2



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⑵1 弧度的角:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. 规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.任一已知角 ? 的弧 度数的绝对值 ?
? l r

,这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制.
1 2

(3)弧长公式: l ? ? R ;扇形面积公式: S ?

?R

2

?

1 2

Rl 。

(4)弧度与角度的换算: 1 8 0 ?
板块二:任意角的三角函数

? π rad

,1

? 180? ? ra d ? ? ? ? 5 7 .3 0 ? ? 5 7 ? 1 8 ? ? π ?

(一)知识内容
1.三角函数定义 在直角坐标系中,设 ? 是一个任意角, ? 终边上任意一点 P (除了原点)的坐标为 ( x , 的距离为 r ( r ⑴比值
y r x r y x
x y
y ) ,它与原点

?

|x| ?| y| ?
2 2

x ? y
2

2

? 0)

,那么
? y r x r y x
x y

叫做 ? 的正弦,记作 sin ? ,即 s in ?



⑵比值

叫做 ? 的余弦,记作 co s ? ,即 c o s ?

?



⑶比值

叫做 ? 的正切,记作 tan ? ,即 ta n ?

?



⑷比值

叫做 ? 的余切,记作 c o t ? ,即 c o t ?

?



⑷比值

r x
r y

叫做 ? 的正割,记作 sec ? ,即 s e c ?

?

r x



⑸比值

叫做 ? 的余割,记作 csc ? ,即 c s c ?

?

r y

.

2.三角函数的定义域、值域 函数
y ? sin ?

定义域

值域
[ ? 1 , 1]

R

y ? co s ?
R

[ ? 1 , 1]

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y ? tan ?

π ? ? ? kπ , k ? Z ? ?? | ? ? 2 ? ?

R

3.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知: ⑴正弦值 ⑵余弦值 ⑶正切值
y r
x r y x

对于第一、二象限为正( y 对于第一、四象限为正( x

? 0, r ? 0

) ,对于第三、四象限为负( y

? 0, r ? 0

) ; ) ;

? 0, r ? 0

) ,对于第二、三象限为负( x ?

0, r ? 0

对于第一、三象限为正( x ,

y

同号) ,对于第二、四象限为负( x ,

y

异号).

可以用下图表示:

说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值. 4.同角三角函数的基本关系式: 平方关系: sin 2 商数关系:
x ? co s x ? 1 , sec x ? tan x ? 1 , csc x ? co t x ? 1
2 2 2 2 2

sin x co s x

? tan x



cos x sin x

? cot x

倒数关系: se c x

?

1 cos x

, c sc x ?

1 cos x

, ta n x ?

1 cot x

6.诱导公式: (奇变偶不变,符号看象限) : sin( ? ? ? )=sinα,cos( ? ? ? )=-cosα,tan( ? ? ? )=-tanα; sin( ? ? ? )=-sinα,cos( ? ? ? )=-cosα,tan( ? ? ? )=tanα; sin( ? ? )=-sinα,cos( ? ? )=cosα,tan( ? ? )=-tanα; sin( 2 ? ? ? )=-sinα,cos( 2 ? ? ? )=cosα,tan( 2 ? ? ? )=-tanα; sin( 2 k ? ? ? )=sinα,cos( 2 k ? ? ? )=cosα,tan( 2 k ? ? ? )=tanα ( k ? Z ) ; sin(
?
2 ? ? )=cosα,cos(

?
2

? ? )=sinα;

sin(

?
2

? ? )=cosα,cos(

?
2

? ? )=-sinα。

4.三角函数式的化简与三角恒等式的证明是个难点,需要学生熟悉并灵活运用所学的公式与知识, 一般情 况下,化简的基本思路是:减少角的种数,减少三角函数的种数,适当配凑和拆分,统一切割化弦等等.
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二、三角函数的图象与性质
板块一: 任意角的概念与弧度制

(一)知识内容
⑴单位圆: 半径等于单位长的圆叫做单位圆.设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与 x 轴交点分别为
A (1, 0 )

, A ? ( ? 1, 0 ) ,而与 y 轴的交点分别为 B (0,1) , B ? (0 , ? 1) .由三角函数的定义可知,点 P 的坐标为 ,即 P (co s ? , sin ? ) .其中 co s ?
y
B(0,1) N A'(-1,0) P(cos ? ,sin? ) A(1,0)
? OM

(co s ? , sin ? )

, sin ?

? ON

.

y

T(1,tan? )

?

A(1,0)

O

x

O
B'(0,-1)

M

x
T'

这就是说,角 ? 的余弦和正弦分别等于角 ? 终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.过点
A (1 , 0 )

作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其反向延长线交与点 T (或 T ? ) ,则 tan ?

? AT

(或 A T ? ).

⑵有向线段: 坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向.具有方向的线段叫做有向线段. 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负. ⑶三角函数线的定义:

设任意角 ? 的顶点在原点 O , 始边与 x 轴非负半轴重合, 终边与单位圆相交于点 P

( x, y )

, P 作x 过

轴的垂线,垂足为 M ;过点 A (1, 0 ) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其反向延长线交与点 T . 我们就分别称有向线段 M P , O M , A T 为正弦线、余弦线、正切线.
????
???? ?

????

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板块一:三角函数的图象

(一) 知识内容
1.三角函数的图象
y
y

-2? -?
O ?

2?

x
-? /2 ? /2 O ? 3? /2

y=sinxx
y
-? -2?
O ? 2?

-3? /2

-?

x

x

y=tanx y=cosx

2.函数 y ? A sin ? ? x ? ? ?

? A ? 0, ? ? 0, x ? R ? 的图象的作法――五点法


①确定函数的最小正周期 T ? ②令 ? x ? ? =0、 、π 、
2 π
3π 2

?


? ?

、2 π , x ? ? 得
1 ( π 2

、 (
?
1

1

π 2

??)、

1

?

(π ? ? ) 、 1 ( 3π 2

1

?

(

3π 2

??)、 1

1

?

(2 π ? ? ) ,

于是得到五个关键点 ( ?

? ?

, 0 ) 、(

?

? ? ),1) 、(

?

( π ? ? ), 0 ) 、(

?

? ? ), ? 1) 、(

?

( 2 π ? ? ), 0 ) ;

③描点作图,先作出函数在一个周期内的图象,然后根据函数的周期性,把函数在一个周期内的图象 向左、右扩展,得到函数 y ? A sin ? ? x ? ? ? 3. 5、正弦型函数 y ? A sin( ? x ? ? ) 的图象变换方法如下: (1)先平移后伸缩:
? y ? sin x 的图象 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得 y ? sin( x ? ? ) 的图象
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得 y ? sin ? x ? ? )的图象 ? (
?
横坐标伸长( 0 ? ? ? 1)或缩短(

? A ? 0, ? ? 0, x ? R ? 的图象.

向右( ? ? 0 )或向左(

? ? 0 )平移

? 个单位长度

? ? 1)到原来的

1 (纵坐标不变)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得 y ? A sin( ? x ? ? ) 的图象
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得 y ? A sin ? x ? ? )? k 的图象。 ? (
向下( k ? 0 )或向上( k ? 0 )平移 k 个单位长度

纵坐标伸长(

A ? 1)或缩短(

0 ? A ? 1)为原来的

A 倍(横坐标不变)

(2)先伸缩后平移:
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y ? sin x 的图象 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得 y ? A sin x 的图象
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得 y ? A sin( ? x ) 的图象 ?
向右( ? ? 0 )或向左(
横坐标伸长( 0 ? ? ? 1)或缩短(

纵坐标伸长(

A ? 1)或缩短(

0 ? A ? 1)为原来的

A 倍(横坐标不变)

? ? 1)到原来的

1 (纵坐标不变)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 得 y ? A sin( ? x ? ? ) 的图象
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得 y ? A sin ? x ? ? )? k 的图象。 ? (
向下( k ? 0 )或向上( k ? 0 )平移 k 个单位长度

? ? 0 )平移

? ?

个单位长度

当函数 y ? A sin ( ? x ? ? ) 表示一个振动量时: A 叫做振幅; T 叫做周期; 位, ? 叫做初相. 板块二:三角函数图象变换 板块一: 任意角的概念与弧度制

1 T

叫做频率; ? x ? ? 叫做相

(一)知识内容
<教师备案>1.函数图象平移基本结论小结如下:
上加下减,左加右减

y ? f ( x ) ? ? ? ? ? ? ? ? y ? f (? x ) ?
?
A y ? f (x) ? ? ? ? ? ? ? ? Ay ? f (x) ? 各点纵坐标变成原来的 1 倍

各点横坐标变成原来的

1



y ? f (x) ? ? ? ? ? y ? f (x) ?

绕 x轴 翻 折

y ?

f (

) ? ? ? ?? x y

绕 y轴 翻 折

(f ?

) x?

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横坐标扩大

1 ? 1 ?

倍(0<??1)

y=sin?x
横坐标缩短

y=sinx
倍(??1)

向左平移 ? (?>0) 向右平移 ? (?<0)

y=sin(x+?)

? 向左平移 ? ? 向右平移 ? (?<0) (?>0) 横坐标扩大

1 ? 1 ?

倍(0<??1) 倍(??1)

y=sin(?x+?)
横坐标缩短 b A 向下平移 b A

纵坐标扩大为A倍(A>1) 纵坐标缩短为A倍(0<A<1)

向上平移

(b>0)

(b<0)

y=Asin(?x+?)

y=sin(?x+?)

向上平移b(b>0) 向下平移b(b<0)

纵坐标扩大为A倍(A>1)

y=Asin(?x+?)+b
纵坐标缩短为A倍(0<A<1)

板块三:三角函数的性质 板块一: 任意角的概念与弧度制 1.三角函数的性质
函数
y ? sin x
y ? co s x

y ? tan x

y ? co t x

{x | x ? R,且 x ?

定义域

R

R

k? ?

?
2

{x | x ? R , 且 x ? k? , k ? Z}

, k ? Z}

值域 奇偶性 周期性(最小正

[ ? 1,1]

[ ? 1,1]

R

R

奇函数
T ? 2π

偶函数
T ? 2π

奇函数
T ? π

奇函数
T ? π

周期)

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在 [2 kπ ? 在 [2 kπ ? (π ? Z )

π 2 π 2

, 2 kπ ? , 2 kπ ?

π 2

]? ]?

在 [( 2 k ? 1) π ,

在 [( k π ? kπ ? π 2 (k ? Z ) ]?

π 2

,

3π 2

单调性

2 kπ ] ? ,[2 kπ , ( 2 k ? 1) π ] ? (k ? Z )

在 [( k π , k π ? π ] ? (k ? Z )

x ? 2 kπ ?

π 2

x ? 2 kπ,

,

y m ax ? 1 ;
x ? ( 2 k ? 1) π ,

y m ax ? 1 ;

最值
x ? 2 kπ ?

π 2





,
y m in ? ? 1
(k ? Z)

y m in ? ? 1 ( k ? Z )

对称轴

x ? kπ ?

π 2

(k ? Z )

x ? kπ (k ? Z )





对称点

( k π , 0 )( k ? Z )

(kπ+

π 2

, 0)

( k π , 0 )( k ? Z )

(kπ+

π 2

, 0 )( k ? Z )

(k ? Z )

[基础训练]
一、选择题

1.设 ? 角属于第二象限,且 cos
A.第一象限 C.第三象限

?
2

? ? cos

?
2

,则

?
2

角属于(



B.第二象限 D.第四象限
sin 7? 10 tan 17 ? 9 cos ?

2.给出下列各函数值:① sin( ? 1000

0

) ;② cos( ? 2200

0

) ;③ tan( ? 10 ) ;④

.其中符号为

负的有( A.①

) B.② C.③ D.④

3. sin 120

2

0

等于(

)A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?

3 2

D.

1 2

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4.已知 s in ? ? A. ?
4 3

4 5

,并且 ? 是第二象限的角,那么 tan ? 的值等于(
3 4
3 4 4 3



B. ?
?
2

C.

D.

1.C

2k? ?

? ? ? 2 k ? ? ? , ( k ? Z ), k ? ?

?
4

?

?
2

? k? ?

?
2

, ( k ? Z ),

当 k ? 2 n , ( n ? Z ) 时,
?
2

?
2

在第一象限;当 k ? 2 n ? 1, ( n ? Z ) 时,
?
2

?
2

在第三象限;

而 cos

? ? cos

?
2

? cos

? 0 ,?

?
2

在第三象限;

2.C

sin ( ? 1 0 0 0 ) ? sin 8 0 ? 0 ; co s( ? 2 2 0 0 ) ? co s( ? 4 0 ) ? co s 4 0 ? 0
0 0 0 0 0

s in
tan ( ? 1 0 ) ? tan (3? ? 1 0 ) ? 0 ;

7?

cos ? ?

? s in ta n

7?

10 1 7? ta n 9

1 0 , s in 7 ? ? 0 , ta n 1 7 ? ? 0 1 7? 10 9 9

3.B

s in 1 2 0

2

0

? s in 1 2 0

0

?

3 2

4.A

sin ? ?

4 5

, cos ? ? ?

3 5

, ta n ? ?

sin ? cos ?

? ?

4 3

5、 sin 2 cos 3 tan 4 的值( A.小于 0
0

) C.等于 0 D.不存在 )

B.大于 0

6、若角 600 的终边上有一点 ? ? 4 , a ? ,则 a 的值是(

A. 4 3

B. ? 4 3

C. ? 4 3

D. 3

B

ta n 6 0 0 ?
0

a ?4

, a ? ? 4 ta n 6 0 0 ? ? 4 ta n 6 0 ? ? 4 3
0 0

7、函数 y ?

sin x sin x

?

cos x cos x

?

tan x tan x

的值域是(



A. ?? 1, 0 ,1, 3?

B. ?? 1, 0 , 3?

C. ?? 1, 3 ?

D. ?? 1,1?

C 当 x 是第一象限角时, y ? 3 ;当 x 是第二象限角时, y ? ? 1 ;

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当 x 是第三象限角时, y ? ? 1 ;当 x 是第四象限角时, y ? ? 1
?
2

8、已知 sin ? ? m , ( m ? 1) ,

? ? ? ? ,那么 tan ? ? (

).

A.

m 1? m
2

B. ?

m 1? m
2

C. ?

m 1? m
2

D. ?

1? m m

2

B

c o s ? ? ? 1 ? m , ta n ? ?
2

sin ? cos ?

? ?

m 1? m
2

9、若角 ? 的终边落在直线 x ? y ? 0 上,则

sin ? 1 ? sin
2

?

?

1 ? cos cos ?

2

?

的值等于(

).

A. 2

B. ? 2

C. ? 2 或 2

D. 0

D

sin ? 1 ? sin ?
2

?

1 ? cos ?
2

cos ?

?

sin ? cos ?

?

sin ? cos ?



当 ? 是第二象限角时,

sin ? cos ? s in ? cos ?

?

sin ? cos ? s in ? cos ?

? ? ta n ? ? ta n ? ? 0 ;

当 ? 是第四象限角时,

?

? ta n ? ? ta n ? ? 0

10、已知 tan ? ?

3 ,? ? ? ?

3? 2

,那么 cos ? ? sin ? 的值是(

).

A. ?

1? 2

3

B.

?1? 2

3

C.

1? 2

3

D.

1? 2

3

B

? ?

4? 3

, c o s ? ? s in ? ? ?

1 2

?

3 2

?

?1 ? 2

3

11、如果 1 弧度的圆心角所对的弦长为 2 ,那么这个圆心角所对的弧长为(



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A.

1 sin 0 . 5

B. sin 0 .5 D. tan 0 .5
1 r ? sin 0 .5, r ? 1 sin 0 .5 ,l ? ? ?r ? 1 sin 0 .5

C. 2 sin 0 .5 A 作出图形得

12、若 ? 为锐角且 cos ? ? cos

?1

? ? ? 2 ,则 cos ? ? cos

?1

? 的值为(



A. 2 2

B. 6

C. 6

D. 4

A

(co s ? ? co s

?1

? ) ? (co s ? ? co s ? ) ? 4 ? 8, co s ? ? co s ? ? 2 2
2 2

?1

?1

13、方程 s in ? x ? A. 5 C B. 6

1 4

x 的解的个数是(



C. 7

D. 8
1 4 x 的图象,左边三个交点,

在同一坐标系中分别作出函数 y 1 ? s in ? x , y 2 ? 右边三个交点,再加上原点,共计 7 个

14、在 ( 0 , 2 ? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围为(
?
4



A. (

,

?
2

) ? (? ,

5? 4

)

B. (

?
4

,? )

C. (

?
4

,

5? 4

)

D. (

?
4

,? ) ? (

5? 4

,

3? 2

)

C 在同一坐标系中分别作出函数 y1 ? sin x , y 2 ? co s x , x ? (0, 2 ? ) 的图象,观察: 刚刚开始即 x ? (0 , 到了中间即 x ? ( 最后阶段即 x ? (
?
4 5? 4

?
4 ,

) 时, co s x ? sin x ; 5? 4 , 2 ? ) 时, co s x ? sin x ) 时, sin x ? cos x ;

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15、已知函数 f ( x ) ? sin ( 2 x ? ? ) 的图象关于直线 x ? 则 ? 可能是( A.
?
2

?
8

对称,


?

B.

?
4

C.

?
4

D.

3? 4

16、如果函数 f ( x ) ? sin (? x ? ? )(0 ? ? ? 2 ? ) 的最小正周期是 T ,且当 x ? 2 时取得最大值,那么( A. T ? 2 , ? ?
?
2



B. T ? 1, ? ? ? D. T ? 1, ? ?
?
2

C. T ? 2, ? ? ? C

对称轴经过最高点或最低点,
f(

?
8

) ? ? 1, sin ( 2 ?

?
8

? ? ) ? ?1 ? 2 ?

?
8

? ? ? k? ?

?
2

? ? k? ?

?
4

,k ? Z

17、函数 y ? cos

2

x ? 3 cos x ? 2 的最小值为(



A. 2

B. 0

C. 1

D. 6

2 B 令 co s x ? t , t ? [ ? 1,1] ,则 y ? t ? 3 t ? 2 ,对称轴 t ? ?

3 2



[? 1 , 1 ] 是函数 y 的递增区间,当 t ? ? 1 时 y m

i n

? 0;

二、填空题
1.设 ? 分别是第二、三、四象限角,则点 P (sin ? , cos ? ) 分别在第___、___、___象限.

1.四、三、二

? 当 ? 是第二象限角时,s i n ?

0 , c?o ? s

0 ? ;当 ? 是第三象限角时,s i n ?

0 , c?o ? s

;0

? 当 ? 是第四象限角时, s i n ?

0 , c?o ? s

;0

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2、设扇形的周长为 8cm ,面积为 4 c m ,则扇形的圆心角的弧度数是
2
S ? 1 2 ( 8 ? 2r )r ? 4 r ? ,
2

2



4? r

4?

0 ,? r

l ,? 2 ?

l 4,? r
0

?

2

3、化简: m tan 0 ? x cos 90 ? p sin 180
0 0

0

? q cos 270

? r sin 360

0

=____________

0

t a n 0?
0

0, cos? 0 9
0

0 , s i? 1 8 0 n
0

0 , ?c o s 2 7 0
0

0

?0, sin 360

0

4、 若集合 A ? ? x | k ? ?
?

?

?

? B ? x ? k ? ? ? , k ? Z ? , ? ? x | ? 2 ? x ? 2 ? , A ? B =___________________。 则 3 ? ? ? 2? 3

[?2, 0] ? [

?
3

, 2]

? ? A ? ? x| k ? ? ? 3 ?
x 2 ?

x ?

? ? ? , ?k ? Z . ?. ? [ k ? .

?0 ] ,

?
3

[? ? ,

]

...

5、函数 y ? ? cos(
[4k? ? 2? 3 , 4k? ?

?
3

) 的单调递增区间是___________________________.

8? 3

], k ? Z

函数 y ? c o s ( ?
2

x

?
3

) 递减时, 2 k ? ?

x 2

?

?
3

? 2k? ? ?

三、解答题
1.已知 ta n ? ,
1 ta n ?
2 2 是关于 x 的方程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的两个实根,且 3? ? ? ?

7 2

? ,求 cos ? ? sin ?

的值.2.已知 tan x ? 2 ,求

cos x ? sin x cos x ? sin x

的值。

2、化简:

sin( 540 tan( 900

0 0

? x) ? x)

? tan( 450
2

1
0

? x ) tan( 810

0

? x)

?

cos( 360

0

? x)

sin( ? x )
7 2

1. 解:? ta n ? ?

1 ta n ?

? k ? 3 ? 1,? k ? ? 2 ,而 3? ? ? ?

? ,则 ta n ? ?

1 ta n ?

? k ? 2,

得 tan ? ? 1 ,则 s in ? ? c o s ? ? ?
sin (1 8 0 ? x )
0

2 2

,? co s ? ? sin ? ? ? 2 。

2、解:原式 ?

ta n ( ? x )
? t a nx ?

?

1
0 0

ta n (9 0 ? x ) ta n (9 0 ? x ) sin ( ? x )
1 t axn ? ) sin x

?

cos x

?

s i nx ? t a nx

t ax ? ( n

3、已知 sin x ? cos x ? m , ( m ?

2 , 且 m ? 1) ,求(1) sin

3

x ? cos

3

x; (2) sin

4

x ? cos

4

x 的值。

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2 解:由 sin x ? co s x ? m , 得 1 ? 2 sin x co s x ? m , 即 sin x c o s x ?

m ?1
2

,

2 m ?1
2

(1) sin x ? c o s x ? (sin x ? c o s x )(1 ? sin x c o s x ) ? m (1 ?
3 3

)?

3m ? m 2

3

2 m ?1
2 4 2

(2) sin x ? c o s x ? 1 ? 2 sin x c o s x ? 1 ? 2 (
4 4 2 2

) ?
2

?m ? 2m ? 1 2

2

4、已知 f ( x ) ? ?

? cos ? x , x ? 1 ? f ( x ? 1 ) ? 1, x ? 1,

求 f ( ) ? f ( ) 的值。
3 3

1

4

解:? f ( ) ? c o s
3

1

?
3

?

1

4 1 1 , f ( ) ? f ( ) ?1 ? ? 2 3 3 2

1 4 ? f( )? f( )? 0 3 3

5、已知 tan x ? 2 , (1)求 (2)求 2 sin
2

2 3

sin

2

x?

1 4

cos
2

2

x 的值

x ? sin x cos x ? cos

x 的值。

2

解: (1)

2 3

s in x ?
2

1 4

s in x ?
2 2

1

cos x

2

2 ? 3

2 cos x ? 3

4 2 s in x ? c o s x
2 2

4 ? 7 ta n x ? 1 12
2

ta n x ?
2

1

(2) 2 sin x ? sin x c o s x ? c o s x ?
2

2 sin x ? sin x c o s x ? c o s x
2

sin x ? c o s x
2 2

?

2 t a nx ?
2

tan x? 1

t a nx ?
6 4 6

?

1 5

7

6、求

1 ? sin ? ? c o s ? 1 ? sin ? ? c o s ?
4

的值。

解:

1 ? sin ? ? c o s ?
6 4 6

1 ? sin ? ? c o s ?
4 2

?

1 ? (sin ? ? c o s ? )(sin ? ? sin ? c o s ? ? c o s ? )
2 2 4 2 2 4

1 ? (1 ? 2 sin ? c o s ? )
2 2 2

?

1 ? (1 ? 3 s in ? c o s ? ) 1 ? (1 ? 2 s in ? c o s ? )
2 2

?

3 2

7、判断函数 f ( x ) ?

1 ? sin x ? cos x 1 ? sin x ? cos x

的奇偶性。

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解:当 x ?

?
2

时, f ( ) ? 1 有意义;而当 x ? ?
2

?

?
2

时, f ( ?

?
2

) 无意义,

? f ( x ) 为非奇非偶函数。

8、求 ? 使函数 y ? 解: y ? 2 [ s i n
3 ? 2 s i n ( ?? 3

3 c o s (x3 ? ? ) ?

s i x ? 3 是奇函数。 n( ? )

?

c o xs ? ? ? (3

)

?
3

c o s x ?s?i n ( 3

)]

?

? x 3,为奇函数,则 )

? ?

?
3

? k? ,? ? k? ?

?
3

,k ? Z 。
?
6

9、已知定义在区间 [ ? ? , 当x?[ ?
?
6 2 3

2 3

? ] 上的函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? ?
?
2

对称,
?
2

,

? ] 时,函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ?

?? ?

)

, y

其图象如图所示. (1)求函数 y ? f ( x ) 在 [ ? ? ,
2 2

2 3

? ] 的表达式;
?

1
? ?

(2)求方程 f ( x ) ?

的解.


x ? ?

o
?
6

? 6

2? 3

x

解: (1) x ? [ ?

?
6

,

2 3

? ] , A ? 1,
2? 3

T 4

?

2? 3

?

?
6

, T ? 2? , ? ? 1 ? ? ? ? ,? ?
, f (? x ?
?
6

且 f ( x ) ? sin ( x ? ? ) 过 ( 当 ?? ? x ? ?
?
6

, 0 ) ,则

2? 3

?
3

, f ( x ) ? s in ( x ?

?
3

)

时, ?

?
6

? ?x ?

?
3

?

2? 3

?
3

) ? sin ( ? x ?

?
3

?

?
3

)

而函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? ? 即 f ( x ) ? sin ( ? x ?
?
3 ?

对称,则 f ( x ) ? f ( ? x ?
?
6

?
3

)

?
3

) ? ? sin x , ? ? ? x ? ?

? ? 2? ? sin ( x ? ), x ? [ ? , ] ? ? 3 6 3 ? f (x) ? ? ? ? sin x , x ? [ ? ? , ? ? ) ? 6 ?
?
6 2? 3

(2)当 ?
x?

? x?

时,

?
6

? x?

?
3

? ? , f ( x ) ? sin ( x ?

?
3

)?

2 2

?
3

?

?
4

,或

3? 4

,x ? ?

?
12

,或

5? 12
page 15 of 16

当 ?? ? x ? ?
x ? ?

?
6

时, f ( x ) ? ? sin x ?
3? 4

2 2

, sin x ? ?

2 2

?
4

,或 ? ,?

?x ? ?

?
4

3? 4

,?

?
12

,或

5? 12

为所求。

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