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2.3数学归纳法1


2.3 数学归纳法

数学归纳法
由一系列有限的特殊事例得出一般 复习归纳法: 结论的推理方法 归纳法又可分为完全归纳法 和 不完全归纳法 考察全体对象, 得到一般结论 的推理方法 考察部分对象,得 到一般结论的推 理方法

结论一定可靠

结论不一定可靠

数学归纳法
问题思考: 已知 a1 ? 1 且 an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ) ,求通项公式 an . 1 可从简单情形出发 解:∵ a1 ? 1 = 2 ? 1

∴ a2 ? 2a1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 3 = 22 ? 1 观察、归纳、猜想 3 a3 ? 2a2 ? 1 ? 2 ? 3 ? 1 ? 7= 2 ? 1 a4 ? 2a3 ? 1 ? 2 ? 7 ? 1 ? 15 = 24 ? 1 (不完全归纳法) 5 a5 ? 2a4 ? 1 ? 2 ? 15 ? 1 ? 31= 2 ? 1 … … … ∴所求通项公式为 an ? 2n ? 1(n ? N * )

上面的解答是否正确?

不完全归纳法,可以帮助我们发现规律,但不够严密.

费马(Fermat) 曾经提出一个猜想:

n 2 形如Fn=2 +1(n=0,1,2…)的数都是质数

n ? 0, Fn ? 3 n ? 1, Fn ? 5 n ? 2, Fn ? 17 n ? 3, Fn ? 257 n ? 4, Fn ? 65537
费马(1601--1665)法 国伟大的业余数学家。

……100年后…

F5 ? 4294967297 ? 6700417 ? 641 欧拉(1707~1783),瑞 费马您错了! 士数学家及自然科学家。
不完全归纳法能帮助我们发现猜想,但不能保证猜想正确.

问题思考: 已知 a1 ? 1 且 an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ) ,求通项公式 an . 怎么证明我们的猜想呢?

你玩过多米诺骨牌游戏吗?
能使多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?
只要满足以下两个条件,所有多米诺骨牌就 都能倒下: (1)第一块骨牌倒下; ( 2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定 导致后一块倒下。 其中道理可用于数学证明──数学归纳法.

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思考:已知 a1 ? 1 且 an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ) , 求通项公式 an . 我们运用不完全归纳法得出猜想: an ? 2n ? 1 , 怎么 严格论证呢?尝试用多米诺骨牌游戏的原理证明猜想. 多米骨牌游戏的原理 尝试证明猜想 an ? 2n ? 1 的方法
⑴第一块骨牌倒下 .(奠基)

⑴当 n ? 1 时猜想成立.

k (2)若第 k 块倒下时,则 ⑵假设当 n ? k 时猜想成立.即 ak ? 2 ? 1 相邻的第 k+1 块也倒下. 那么,当 n ? k ? 1 时 ak ?1 ? 2ak ? 1 (传递性)

∴ ak ?1 ? 2k ?1 ? 1 猜想也成立.

根 据 (1) 和 (2), 可 知 不 * ∴由⑴、 ⑵可知当 n ? N 时 论 有 多 少 块骨 牌 , 都 能 n an ? 2 ? 1 全部倒下.

这种一种严格的证明方法──数学归纳法.

数学归纳法:

关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以 采用下面方法来证明其正确性:
1.验证第一个命题成立(即n=n0第一个命题对应的n 的值,如n0=1); (归纳奠基) 2.假设当n=k时命题成立,证明当n=k+1时命题也 成立. (归纳递推) 由(1)、(2)知,对于一切n≥n0的自然数n都成立! 注意:运用数学归纳法证题,以上两步缺一不可. 若当n=k(k?n0 )时命题成立, 验证n=n0时命 证明当n=k+1时命题也成立 题成立 命题对从n0开始的所 有正整数n都成立.

1 研究等式: 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? n( n ? 1) ? 1 是否成立 2 因为⑴假设当 n ? k 时等式成立, 1 即1 ? 2 ? 3 ? ? k ? k ( k ? 1) ? 1 2 那么,当 n ? k ? 1 时,左边= 1 ? 2 ? 3 ? ? k ? (k ? 1) 1 1 ? k ( k ? 1) ? 1 ? ( k ? 1) ? ( k ? 1)( k ? 2) ? 1 2 2 即当 n ? k ? 1 时等式也成立. ⑵故原等式对任意 n ? N * 成立. 所以上面等式对一切正整数都成立.

思考1:下面的推理是否正确?

错在没有奠基等式

思考2:下面用数学归纳法证明的过程是否正 确: 1 ? 2 ? 2 2 ? ? 2 n ? 1 ? 2 n ? 1
证明: ? 1?当时,左边 ? 1 ? 右边;

? 2 ? 假设n ? k 成立,即1 ? 2 ? 2
? 1 ? ? 1 ? 2k ?1 ? ? 2k ?1 ? 1

2

?

?2

k ?1

? 2 ?1
k

那么n ? k ? 1时,左边 ? 1 ? 2 ? 22 ? 1? 2 所以n ? k ? 1时也成立;
*

? 2k

用上假设,递推才成立

故原命题对任意n ? N 成立

错在第二步证明没有用上假设

数学归纳法具体应用: 例1.用数学归纳法证明:

1+3+5+……+(2n-1)=n2(n∈N ).
第二步证明是关键:
1.要用到归纳假设作为理由. 2.看清从k到k+1中间的变化.

?

例1:用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=
证明: (1) 当n=1时,左=1,右=12=1

n2 (n ∈ N

?

).

∴n=1时,等式成立
那么,当n=k+1时

递推基 础1+3+5+…+(2k?1)=k2 (2) 假设n=k时,等式成立,即

左=1+3+5+…+(2k?1)+[2(k+1)-1] =k2+2k+1
递推依据

=(k+1)2=右
即n=k+1时等式成立 由(1)、(2)可知等式对任何n?N*都成立

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反馈练习 1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证 ( ) A n=1 B n=2 C: n=3 D n=4

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2.若n为大于1的自然数,求证
1 1 1 13 ? ??? ? n ?1 n ? 2 2n 24

课堂小结:
数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。其 格式主要有两个步骤、一个结论: (1)证明当n取第一个值n0(如 n0=1或2等)时结论正确; 找准起点,奠基要稳 验证初始条件 (2)假设n=k时结论正确,在假设之下,证明n=k+1时结论也正确; 假设推理 用上假 (3)由(1)、(2)得出结论. 设 下结论 递推才 写明结 真 论 才算完 ,结论写明莫忘掉。 注意:递推基础不可少,归纳假设要用到 整

2.“观察、猜想、证明”是解决与自然数有关的命题的 有效途径.

作业:课本 P A 组、 2 B 组、 1

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